第3节2 有效数字及其与误差的关系

1 证明如下：由 ( x) 10 n 1 及 x* (1 1) 10m1， 2(! 1)
* r
( x) x ( x) (1 1) 10
* * r
m 1

1 2(1 1)
10
n 1
1 10mn 2
即表示x*至少具有n位有效数字。
*
正整数，m 是整数。
1 若x 的绝对误差限为： e x x 10mn，则称 2 x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个 数字1 , 2 ,
n都是 x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确.注: 有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解： 3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有： 1 1 51 ( x) 10 104 23 6
* r
例2、为了使积分I e
0
1
x2
dx的近似值I *的相对误差不超过
0.1%，问至少需要几位有效数字。 解：可以知道I 0.7467 ，这样，1 7，有：
显然x*虽有三位小数，其中1 1, 2 5都是准确数 字，而第三位小数 3 4就不再是准确数字了，我们就称 它为存疑数字。
二、有效数字与误差的关系
1、有效数字与绝对误差的关系
1 由 e x x 10mn，可知从有效数字可以算出 2 近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误
*
差限也就越小。
2、有效数字与相对误差的关系 若x* 0.1 2
*
n 10m 有n位有效数字时，显然有
1 ( x) x x 10m n，又因为 x* 1 10m 1，其相对误 2 差有： 1 10m n ( x) 2 1 * n 1 r ( x) * 10 x 1 10m1 21 1 故相对误差限为： 10 n 1。 21
定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位
时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到 前 面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。 一般说，设有一个数x, 其近似值x*的规格化形式：
x* 2 ,
*
n都是0， 1, , 9中的一个数字，1 0，n 是
另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差 1 是 ( x) 0.0016，其绝对值超过了0.0005 （ 10 3 , 即第三位 2 1 小数的半个单位），但却没有超过0.005 （ 102 , 即第二位 2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a, 其中： 当0 at 1 / 2 0.a1a2 at a t 0 . a a a 当 / 2 at 1 t 1 2
, a1 0, x F , t , L,U M , m及M 是F , t , L,U 中的最小正数和
1 ( x) 10 n 1 0.1% 2 7 可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
* r
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
设计算机的数系为F , t , L, U , 某数 其中ai 0,1, 且满足m x 最大正数。
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此 可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
n 10m 表 1 * * * 示近似值x ，如想其相对误差 r ( x)能满足： r ( x) 10 n1 2(! 1)
则x*至少具有n位有效数字。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.1 2
, 1 i 1, 2,
x c 0.a1a2
at
计算机对x的舍入绝对误差满足： e x fl x 0.5 c t
舍入相对误差满足： er x fl x x 0.5 c t 1t 0.5 0.1 c
注意： 计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只 与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β 1-t为计算 机精度。 由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大， 其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也 称双精度数。