第3节-2 有效数字及其与误差的关系.

§3 有效数字及其与误差的关系
一、有效数字
例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其
近似值
3.1415926L
若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416 若取五位小数则得到其近似值为3.14159 这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。
3.1416 0.002 1 104 3.14159 0.000008 1 105
它为存疑数字。
二、有效数字与误差的关系
1、有效数字与绝对误差的关系 由 e x x* 1 10mn，可知从有效数字可以算出 2
近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误 差限也就越小。
2、有效数字与相对误差的关系
若x* 0.12 L n 10m 有n位有效数字时，显然有
(x)
x x*
示近似值x*，如想其相对误差
* r
(
x)能满足：
* r
(
x)
1
2(! 1)
10n1
则x*至少具有n位有效数字。
证明如下：由
* r
(
x)
1 10n1及
2(! 1)
x*
(1 1) 10m1，
(x)
x*
* r
(
x)
(1
1)
10m1
1
2(1
1)
10
n
1
1 10mn 2
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解：3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有：
* r
(
x)
1 1051 23
1 104 6
例2、为了使积分I 1ex2 dx的近似值I *的相对误差不超过 0
0.1%，问至少需要几位有效数字。
解：可以知道I 0.7467L ，这样，1 7，有：Fra bibliotek* r
(
x)
1 10n1 27
0.1%
可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
设计算机的数系为F ,t, L,U ,某数
x c 0.a1a2 L at L
其中ai 0,1,L , 1i 1, 2,L , a1 0, x F ,t, L,U 且满足m x M , m及M 是F ,t, L,U 中的最小正数和
最大正数。
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a%,
其中：
a%
0.a01a.a21La2
L at
at
t
当0 at1 / 2 当 / 2 at1
计算机对x的舍入绝对误差满足：
e x fl x 0.5 ct
舍入相对误差满足：
er
x
fl x
x
0.5 ct 0.1 c
1 10mn，又因为 x* 2
1 10m1，其相对误
差有：
* r
(
x)
(x)
x*
1 10mn
2
1
10m1
1 10n1
21
故相对误差限为： 1 10n1。 21
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此
可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.12 L n 10m 表
正整数，m 是整数。 若x*的绝对误差限为：e x* x 1 10mn，则称 2
x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个
数字1,2 ,L
都是
n
x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确.注: 有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差
是 (x) 0.0016，其绝对值超过了0.000（5 1 103,即第三位
2 小数的半个单位），但却没有超过0.00（5 1 102,即第二位
2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
显然x*虽有三位小数，其中1 1,2 5都是准确数 字，而第三位小数3 4就不再是准确数字了，我们就称
2
2
定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位
时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到 前
面第一一般位说非，零设数有字一为个止数的x,所其有近数似字值都x*的称规为格 有化 效形 数式 字。：
x* 0.12 L n 10m 1,2 ,L n都是0，1,L , 9中的一个数字，1 0，n 是
0.5 1t
注意：
计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只 与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β1-t为计算 机精度。
由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大， 其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也 称双精度数。