有效数字及误差

3. 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、 分数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，
如 ,e
20
4. 数据的第一位数大于等于8 的, 可按多一位 有效数字对待，如 9.45×104, 95.2%, 8.6
5. 对数与指数的有效数字位数按尾数计，
如 10-2.34 (2位); pH=11.02, 则[H+]=9.5×10-12
2、精密度：
xi x
dr
100 %
x
表示各次分析结果相互接近的程
度， 如数据较分散，则精密度较差。
5
3、精密度的表示： ①平均偏差
d d1 d2 dn n
②相对平均偏差
d dr 100 %
x
6
3、精密度的表示：
③标准偏差
S
n
( xi x )2
i 1
n 1
( x )2
e y f ( x) 1
2 2
2
2. 拐点在 x = μ ± σ 处.
3. 于x = μ 对称.
4. x 轴为渐近线. 15
随机误差的规律
定性： 1. 小误差出现的概率大, 大误差出现的 概率小, 特大误差概率极小; 2. 正、负误差出现的概率相等.
定量：某段曲线下的面积则为概率.
3.过失 由粗心大意引起, 可以避免。
重做!
12
3.1.5 随机误差的分布规律 1 .频率分布 事例：
p53
13
频 率 密 度
频率密度直方图
样 品 组 号
14
2. 正态分布曲线 N(,)
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准差
特点:
1. 极大值在 x = μ 处.
3.97mL(3) ★容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4) ★移液管:25.00mL(4); ☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2) 19
几项规定
1. 数字前的0不计,数字后的计入 : 0.02450(4位)
2. 数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表 示 : 1000 (1.0×103 ，1.00×103, 1.000 ×103 )
28
例
NaOH
CaCO3 HCl CaCl2 H2O CO2 HCl(过量)
w CaCO3

0.1000

25.00

0.1000

24.10

M
(
1 2
CaCO3
)
ms 103
0.1000 25.00 0.1000 24.10 100.1/ 2

0.2351 103
6. 误差只需保留1～2位；
7. 化学平衡计算中, 结果一般为两位有效数字 (由于K值一般为两位有效数字)；
8. 常量分析法一般为4 位有效数字(Er≈0.1%）， 微量分析为2~3位.
21
确定有效数字的位数
1.0008 0.1000 0.0382 100
5位 4位
3位 位数较含糊
4318 4位；54 2位
3.运算规则
加减法: 结果的绝对误差应与各项中绝对误差
最大的数相适应。(与小数点后位数最少的数 一致)
50.1
50.1
1.46
1.5
+ 0.5812
+ 0.6
52.1412
52.2
52.1 一般计算方法: 先计算，后修约.
26
计算示例：
23.64 + 4.402 + 0.3164
=28.3584
18
3.2 有效数字及其运算规则 1.有效数字
包括全部可靠数字及一位不确定数字在内
m ◇台秤(称至0.1g):12.8g(3), 0.5g(1), 1.0g(2)
◆分析天平(称至0.1mg):12.8218g(6),
0.5024g(4), 0.0500g(3)
V ★滴定管(量至0.01mL):26.32mL(4),
B: 0.0, +0.1, -0.7, +0.2, -0.1, -0.2, +0.5, -0.2, +0.3, +0.1
dA 0.24, dB 0.24 ;
sA 0.28, sB 0.33
9
3.1.3. 准确度与精密度的关系
x1 x2
x3
x4
1.精密度是保证准确度的先决条件; 2.精密度好,不一定准确度高.
Ea 0.02 mL 0.02 mL
Er 0.1% 1%
称量误差 称样质量应大于0.2g
m 0.2000 g 0.0200 g
Ea 0.2 mg 0.2 mg
Er 0.1% 1%
4
3.1.2 偏差和精密度 （deviation and precision）
1、偏差 d 的定义： d xi x
2
3、准确度的表示：
①绝对误差 Ea (absolute error)：
Ea= Xi – XT 如 Ea＞0，则 xi 偏高；Ea＜0，则 xi 偏低。
②相对误差 Er (relative error)：
Er

Ea xT
100 %
3
例: 滴定的体积误差 滴定剂体积应为20～30mL
V 20.00 mL 2.00 mL
7.40
75.35
75.4
74.45
74.4
24
特例：如测量值中被修约的数字等于 5 时，如果其后还有数字，则不按“五成 双”的规则，而一律进位。如
3.251→ →3.3
2.4508→ →2.5
修约口诀：
四要舍，六要入， 五后有数要进位，
五后无数（包括零）看前方，
前为奇数就进位，前为偶数全舍光。
25
(-ห้องสมุดไป่ตู้,+1)
(μ-1σ, μ+1σ)
概 率p
68.3%
(-1.96,+1.96) (μ-1.96σ, μ+1.96σ) 95.0%
(-2,+2)
(μ-2σ, μ+2σ) 95.5%
(-2.58,+2.58) (μ-2.58σ, μ+2.58σ) 99.0%
(-3,+3)
(μ-3σ, μ+3σ)
99.7%
34
第三章小结
一、误差的分类和表示(准确度：x、µ、
Ea、Er；精密度);
二、随机误差的分布: 规律、区间概率、
x、y 、μ 、σ、x-μ、u、p
三、有效数字: 位数确定、运算规则、修
约规则、报告结果.
35
30
报告结果:与方法精度一致, 由误差 最大的一步确定。
如 称样0.0320g, 则w(NaCl) = 99%(3位); 称样0. 3200g, 则w(NaCl) = 99.2%(4位);
光度法测w(Fe), 测量误差约5%, 则 w(Fe) = 0.064% (2位)
要求称样准至3位有效数字即可. 合理安排操作程序，实验既准又快！
第3章 分析化学中的误差与数据处理
3.1 分析化学中的误差 3.2 有效数字及其运算规则 3.3 分析化学中数据处理
1
3.1.1 误差和准确度 （error and accuracy）
1、误差（E）的定义： E = xi – xT
2、 准确度： 表示测定值与真实值接近的程度，
误差越小，准确度越高。
10
3.1.4 误差的分类及减免办法
1. 系统误差
具单向性、重现性，为可测误差. 方法误差: 溶解损失、终点误差
— 用其他方法校正 仪器误差: 刻度不准、砝码磨损
— 校准(绝对、相对) 操作误差: 颜色观察 试剂误差: 不纯 — 空白实验
对照实验：标准方法、标准样品、标准加入
11
2.随机误差 (偶然误差) 不可避免，服从统计规律。
= 28.36
各数绝对误差为 23.64 ± 0.01 4.402 ± 0.001 0.3164± 0.0001
0.01 ＞ 0.001＞ 0.0001
27
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对
误差最大的数相适应。 (即与有效数字位数最少的一致)
例 0.0121×25.66×1.0578＝0.328432 ＝0.328
高含量组分(＞10%) 保留四位有效数字
中含量组分(1~10%) 保留三位有效数字
低含量组分(＜1%) 保留二位有效数字
误差
保留二位有效数字
平衡离子浓度 保留二或三位有效数字
标准溶液浓度
保留四位有效数字
33
3.3 分析结果的 数据处理(自学)
总体
抽样
样本
观测
数据
统计处理
样本容量n: 样本所含的个体数.
16
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
-3 -2 - -3 -2 -
0
0

68.3% 95.5%
99.7%
123
2 3 + +2 +3
4u
x-
x
17
随机误差的区间概率
随机误差u出现的区间 (以σ 为单位)
测量值出现的区间
④相对标准偏差（又称变异系数RSD）
sr

s 100% x
7
4、平均偏差和标准偏差的作用： （1）平均偏差d 和标准偏差s 都可
说明一组数据的分散程度，即 精密度的好坏。