5_离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
![[理学]离散傅里叶变换及其快速算法](https://img.taocdn.com/s3/m/a4bbbd1b0912a21615792901.png)
非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.傅里叶变换的概念和意义1.傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法2.在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用II.快速傅里叶变换（FFT）的基本原理1.傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下2.快速傅里叶变换利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算3.FFT的基本算法思想：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题III.FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现2.迭代实现方法的优化：使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代正文（篇1）一、傅里叶变换的概念和意义傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。
它可以将一个时域信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，使得信号的频域分析变得更加方便。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
二、快速傅里叶变换（FFT）的基本原理傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下，快速傅里叶变换（FFT）利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算。
FFT的基本算法思想是：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题。
FFT算法可以分为迭代实现方法和直接实现方法，其中迭代实现方法主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现。
三、FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：迭代实现方法的主要思想是将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题，通过递归的方式逐步求解。
迭代实现方法可以使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算。
2.迭代实现方法的优化：迭代实现方法的优化主要是为了减少计算量，例如使用树形结构来存储中间结果，减少重复计算。
3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）都是数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
虽然它们都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，它将N个时域采样点转换为N个频域采样点。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，因此对于大规模的信号处理任务来说，计算时间会非常长。
而FFT是一种基于分治思想的算法，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，因此计算速度非常快，特别适合于大规模信号处理任务。
DFT和FFT的计算方式也有所不同。
DFT的计算公式为：X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))其中，x[n]表示时域采样点，X[k]表示频域采样点，N表示采样点数，k和n分别表示频域和时域的索引。
这个公式需要进行N^2次复数乘法和加法运算，因此计算复杂度很高。
FFT的计算方式则是将DFT的计算过程分解为多个子问题，然后递归地求解这些子问题。
具体来说，FFT将N个采样点分为两个子序列，分别进行DFT计算，然后将它们合并起来得到整个序列的DFT结果。
这个过程可以递归地进行下去，直到只剩下一个采样点为止。
由于FFT采用了分治思想，它的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快得多。
DFT和FFT的应用场景也有所不同。
由于DFT的计算复杂度较高，因此它适合于小规模的信号处理任务，例如音频信号的处理。
而FFT则适合于大规模的信号处理任务，例如图像处理和视频处理。
此外，FFT还可以用于信号压缩、滤波和频域分析等领域。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，计算复杂度较高，适合于小规模的信号处理任务；而FFT是一种基于分治思想的算法，计算速度非常快，适合于大规模的信号处理任务。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
图像识别
通过对图像进行DFT变换， 提取特征向量，可用于图 像的分类、识别和检索。
在频谱分析中的应用
频谱估计
通过DFT对信号进行频谱分析， 可以估计信号的频率分布和强度。
调制识别
利用DFT对接收信号进行频谱分析， 可以识别信号的调制方式和参数。
雷达目标识别
通过对雷达回波信号进行DFT变换， 可以提取目标特征，实现目标分类 和识别。
图像处理
在图像处理领域，DFT被广泛应用于图像频域分 析和变换编码等技术。庄算法等快速算法的应用 ，使得图像处理更加高效，为图像压缩、图像增 强等技术的发展提供了重要支撑。
科学计算
在科学计算领域，DFT被广泛应用于数值分析和 数值计算。庄算法等快速算法的出现，提高了科 学计算的精度和速度，为科学研究和工程设计提 供了更加可靠的数值分析方法。
PART 02
DFT的基本原理
离散傅里叶级数（DFS）
定义
离散傅里叶级数是周期为N的复数序 列x[n]，其可以通过三角函数的线性 组合来表示。
公式
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * w^(kn) / sqrt(N)
离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义
DFT是对于有限长序列x[n]的变换，将x[n]映射到频域X[k]。
对未来研究和应用的展望
算法优化
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化庄算法等快速算法，提高计算效率和精度， 以满足更加复杂和大规模的信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等应用需求。
应用拓展
随着数字化时代的到来，离散傅里叶变换及其快速算法在各个领域的应用前景将更加广 阔。未来可以进一步拓展其在人工智能、物联网、量子计算等领域的应用，推动相关技
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。
〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。
T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理领域广泛应用的数学工具，它能够将一个函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的组合。
在这篇文档中，我们将深入探讨五种常见的傅里叶变换，揭示它们在不同领域的应用以及各自的特点。
1. **离散傅里叶变换（DFT）**：离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，通常用于处理离散信号。
它将信号从时域转换到频域，使得我们能够分析信号的频率成分。
DFT在数字信号处理、通信系统以及图像处理中扮演着重要的角色。
2. **快速傅里叶变换（FFT）**：快速傅里叶变换是一种高效计算DFT的算法，通过减少计算复杂度，使得大规模信号处理变得可行。
FFT广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域，提高了计算效率，使得实时处理成为可能。
3. **连续傅里叶变换（CTFT）**：连续傅里叶变换是傅里叶变换的连续形式，适用于处理连续信号。
它通过将信号分解为无限个频率成分，展示了信号在频域中的频谱特性。
CTFT在通信系统、信号分析以及电力系统等领域有着广泛的应用。
4. **带通傅里叶变换**：带通傅里叶变换是一种特殊形式的傅里叶变换，用于分析信号在一定频率范围内的成分。
它对于滤波和频率选择性分析非常有用，常见于通信系统中的调制与解调过程以及音频处理中的滤波器设计。
5. **二维傅里叶变换**：二维傅里叶变换扩展了一维傅里叶变换的概念，广泛应用于图像处理领域。
它能够将图像分解为不同空间频率的成分，为图像增强、压缩以及模式识别等任务提供了强大的工具。
这五种傅里叶变换在不同场景下展现了出色的性能，为信号和图像处理提供了深刻的数学基础。
它们的应用范围涵盖了通信、医学图像处理、声音处理等多个领域，为科学研究和工程应用提供了重要的支持。
离散傅里叶变换及其快速算法
ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解
14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
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6 X (k ) X * (( N k )) N RN (k )， 若 x(n) imagenary
2016/6/2 大连理工大学 26
• 【满足圆周共轭对称性的序列】
2016/6/2
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27
• 【圆周卷积和性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
* * 2 DFT x (( n )) R ( n ) X (k ) N N 1 * 3 DFTRe x(n) X ep (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 1 * 4 DFT jIm x(n) X op (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 5 X (k ) X * (( N k )) N RN (k ), 若 x(n) real
( n) 和 a k 分别表示周期性信号和频谱。 –定义新符号： x
–定义矩形序列符号 RN (n) 和
RN (k )
为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0, 其它 n 0, 其它 k
( n) 和 a k –有限长序列 x(n) 和 ak 可以认为是周期性序列 x 的一个周期。
谱或系统的频率响应也是数字化的。 –实际应用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。希 望信号频谱也是有限频宽、且非周期的。 –考察前面介绍的4种傅里叶级数或傅里叶变换，没有任
何一种能够满足这种需求。
–因此，发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实 际应用的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 –这就为DFT的发展提供了需求和动力。
k RN (k ) a( k )N RN (k ) ak a
2016/6/2
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11
• 分析：
–注意到，在DFS中，时间序列 x(n) 是周期性的，周期
为N。 –另一方面，周期为N的序列只有N点独立样本，其余的 都重复。 – DFS中，实际上只用了 x(n) 的N点数据。
–这样，可以把N点长的非周期序列看成周期为N的序列
– 则： DFT ax1 (n) bx2 (n) aX1(k ) bX 2 (k )
• 【序列的圆周位移性质】
(n) ，将 x (n) 位移，取主值区间上的 – 将 x(n) 延拓为 x 序列值。即：
(n m)RN (n) – 圆周位移： xm (n) x((n m)) N RN (n) x
式中， WN e
j 2 kn N
j
2 N
W
kn N
e
,
W
kn N
e
j
2 kn N
DFS：
2 jk n 1 1 jk0n x (n )e x(n )e N ak N n N N n N 2 jk n jk0n x(n) ak e ak e N k N k N
– 若： DFT x(n) X (k )
mk – 则： X m (k ) DFT xm (n) WN X (k )
2016/6/2
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23
• 【圆周位移的图形解释】
左移=顺时针旋转 右移=逆时针旋转
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• 【对偶性】
– 若： DFT x(n) X (k )
间距点上取值
X ( k ) 是 ak 的主值周期。
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2 k N
X (k ) ak RN (k )
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• 【例5.1】
三个正弦信号的混合 2 1
幅度
0 -1 -2 0 20 40 60 80 100 n 混合信号的频谱 120 140 160 180 200
300 200 100 0
– 即DFT是DFS的一个周期。
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• （2）DFT的图形解释
）
– (a) 长度为T的连续时间信号，其频谱为 X ( j) 。
– (b) 时域采样信号：p(t ) TS (t nTS ) ，其频谱仍为 n 同周期脉冲序列。
2016/6/2
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– 利用加窗函数
1， 0 n N 1 1 ，0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0， 其它n 0， 其它k
– 则DFT定义式改写为：
N 1 nk (k ) R (k ) X ( k ) x ( n ) W R ( k ) X N N N n 0 N 1 1 nk x(n) X ( k ) W N RN ( n ) x ( n ) RN ( n ) N k 0
的一个周期。
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• 离散傅里叶变换（DFT）
• 【假设】
– 设 x(n) 为有限长序列，点数为N，可将其看作周期 (n) 的一个周期；而把 x (n) 看作 为N的周期序列 x 是 x(n) 的周期延拓，即：
(n) ， 0 n N 1 （主值） x x(n) 0 ， 其他n
* N 1
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• 【圆周共轭对称性】
• 若：
DFT x(n) DFTRe x(n) jIm x(n)
• 则： * * * 1 DFT x ( n ) X (( k )) R ( k )= X (( N k )) N RN (k ) N N
N 9 的序列，求 n 25, n 5 两数对 N
• 【解】
– 因为：n 25 2 9 7 ，故：((25))9 7 – 因为：n 5 ( 1) 9 4，故：(( 5))9 4 – 这样：
(25) x((25))9 x(7) x ( 5) x(( 5))9 x(4) x
2016/6/2
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• DFT的定义： X (k )
离散、非周期； x ( n ) 离散、非周期
2 N 1 N 1 j kn kn N X ( k ) DFT[ x ( n )] x ( n )e x ( n ) W N , k 0,1, , N 1 n 0 n 0 2 N 1 N 1 j kn 1 1 kn x ( n) IDFT[ X ( k )] N X ( k )e X ( k ) W N , n 0,1,, N 1 N k 0 N k 0
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–再定义：
(n) x(n 模 N ) x((n)) N x
k a( k 模 N ) a( k )N a
–式中，((n)) N （或 (k ) N ）表示 对 N 取余数）。 –这样，有：
n
对 N 取余数（或 k
(n) RN (n) x((n)) N RN (n) x ( n) x
内容概要
• §5.1
• §5.2
引言
离散傅里叶变换（DFT）
• §5.3
• §5.4 • §5.5 • §5.6
DFT理论与应用中若干问题
二维傅里叶变换简介 快速傅里叶变换（FFT） FFT的主要应用
§5.1 引言
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4
• 为什么要学习离散傅里叶变换（DFT）？
–数字信号处理，要求信号是数字化的，也希望信号的频
幅度
0
20
40
60
80
100 f /Hz
120
140
160
180
200
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20
5.2.3
• DFT的性质
离散傅里叶变换的性质
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21
• DFT的性质（续）
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22
• 【线性性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
（3）FT： x(t )连续、非周期 ； X ( j)连续、非周期； –
X ( j) x (t )e jt dt 1 j t x (t ) X ( j )e d 2
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（4）DTFT： x(n) 离散、非周期； X (e j )连续、周期；
2016/6/2 大连理工大学 5
§5.2 离散傅里叶变换（DFT）
2016/6/2
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6
5.2.1
已有傅里叶变换的简要回顾
（1）FS：x(t ) 连续、周期 ；ak 离散、非周期；
2 jk t 1 1 jk 0t T a x ( t )e d t x ( t )e dt k T T T T 2 jk t jk 0t x (t ) a e ak e T k k k
(n) 的主值序列。 –称 x(n)是 x
(n ) x
r
x(n rN )
–记为：
(n) x(n模N ) x((n)) N x
– x((n )) N 表示“ n 对 N 取余数”，或 n 对 N 取模值。
2016/6/2 大连理工大学 13
• 【例】
(n )为周期 – 设x 的余数。
– 则：DFT X (n) Nx((k )) N RN (k ) Nx(( N k )) N RN (k )