【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(三) Word版含解析

课时巩固过关练(三) 不等式、线性规划A 组一、选择题 1．(2016·上海浦东期末)如果a >b >0，那么下列不等式中不正确的是( ) A.a ab >b ab B.1a >1b C ．ab >b 2 D ．a 2>ab解析：∵a >b >0，∴ab >b 2，a 2>ab ，a ab >b ab ，1b >1a，故选B.答案：B 2．(2016·福建宁德期中)已知集合M ＝{x |x 2－2 014x －2 015>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015,2 016]，则( )A ．a ＝2 015，b ＝－2 016B ．a ＝－2 015，b ＝2 016C ．a ＝2 015，b ＝2 016D ．a ＝－2 015，b ＝－2 016解析：化简得M ＝{x |x <－1或x >2 015}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015，2 016]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 016}，即－1,2 016是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．∴b ＝－1×2 016＝－2 016，－a ＝－1＋2 016，即a ＝－2 015.答案：D3．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－4＋1＝－b a ，－4×1＝ca，即b ＝3a ，c ＝－4a ，故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1.答案：A4．(2016·山东淄博期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0，则目标函数z ＝x－2y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0作出可行域如图，化目标函数z ＝x －2y 为y ＝12x －z 2，由图可知，当直线y ＝12x －z2过C ⎝⎛⎭⎫2，12时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大．∴z max ＝2－2×12＝1.故选A.答案：A5．(2016·贵州遵义二联)过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≥0，y＋a≥0，x＋y＋2≤0，若z＝x＋2y的最小值为－8，则实数a等于()A．－6 B．－5C．－4 D．2解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≥0，y＋a≥0，x＋y＋2≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＋a＝0，x－y＝－2，解得A(－2－a，－a)，化z＝x＋2y，得y＝－x2＋z2.由图可知，当直线y＝－x2＋z2过A时，z有最小值为－8，即－2－a－2a＝－8，解得a＝2.故选D.答案：D6．(2016·北京西城期末)设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y－x≤1，x＋y≤3，y≥m，若z＝x＋3y的最大值与最小值的差为7，则实数m等于()A.32B．－32C.14D．－14解析：由约束条件⎩⎨⎧y－x≤1，x＋y≤3，y≥m作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y－x＝1，x＋y＝3，解得A(1,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝m，y－x＝1，解得B(m－1，m)，化z＝x＋3y，得y＝－x3＋z3.由图可知，当直线y＝－x3＋z3过A点时，z有最大值为7，当直线y＝－x3＋z3过B点时，z有最小值为4m－1，由题意，得7－(4m－1)＝7，解得m＝14.故选C.答案：C7．(2016·广东惠州二调)已知变量x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0，则x＋y＋3x＋2的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.⎣⎡⎦⎤54，52C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得x＋y＋3x＋2＝x＋2＋y＋1x＋2＝1＋y＋1x＋2，表示可行域内的点与A(－2，－1)连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B(2,0)时，目标函数取最小值为1＋0＋12＋2＝54；当直线经过点C(0,2)时，目标函数取最大值为1＋2＋10＋2＝52，故答案为⎣⎡⎦⎤54，52答案：B8．(2016·云南师大附中月考)设实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，，则z＝yx＋xy的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤13，103 B.⎣⎡⎦⎤13，52C.⎣⎡⎦⎤2，52 D.⎣⎡⎦⎤2，103解析：设k＝yx，则z＝yx＋xy＝k＋1k，作出不等式组对应的平面区域如图．k的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，即C (3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，则k OA ＝2，k OC ＝13，则13≤k ≤2，z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k 在13≤k ≤1上为减函数，在1≤k ≤2上为增函数，则最小值为z ＝1＋1＝2，当k ＝13时，z ＝13＋3＝103，当k ＝2时，z ＝2＋12＝52<103，则z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k的最大值为103，则2≤z ≤103.答案：D9．(2016·黑龙江哈尔滨模拟)若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6解析：由题意可得x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2＋x 2y 2＋2y 2x 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2，即x ＝±42y 时，等号成立，故x 2＋2y 2有最小值为3＋22，故选B. 答案：B10．(2016·黑龙江实验中学月考)设x ，y ∈R ＋且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1)解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时等号成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍去)．∴x ＋y 的最小值为2＋22，故答案为A.答案：A 二、填空题 11．(2016·山东临沂模拟)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则(x －y )(x 2－xy ＋y 2)__________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵0<a <1且a x <a y ，∴x >y ，又x 2－xy ＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －y 22＋3y 24>0，∴(x －y )(x 2－xy ＋y 2)>0.答案：> 12．(2016·河南商丘二模)若函数y ＝e x －a (e 为自然常数)的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，y ＋1≥0，x －y ≥0，则实数a 的取值范围是_________________________________．解析：由题意作平面区域如下，当函数y ＝e x－a 与直线y ＝x 相切时，切点恰为(0,0)，故此时0＝1－a ，故a ＝1；当函数y ＝e x －a 过点(5，－1)时，－1＝e 5－a ，故a ＝e 5＋1；结合图象可知，1≤a ≤e 5＋1.故答案为[1，e 5＋1]．答案：[1，e 5＋1]13．(2016·江西吉安期中)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x －y ＋m ≥0总成立，则m 的取值范围是__________．解析：若2x －y ＋m ≥0总成立，则m ≥y －2x 总成立，设z ＝y －2x ，即求出z 的最大值，作出不等式组对应的平面区域如图．由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线经过点C (0,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大，此时z ＝3－0＝3，∴m ≥3.答案：[3，＋∞) 14．(2016·天津五校联考)已知a ，b 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则3a ＋b 的最小值为__________．解析：∵log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，∴9a ＋b ＝ab ，即1a ＋9b ＝1，∴(3a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝3＋9＋b a＋27a b ≥12＋2b a ·27a b ＝12＋63，当且仅当a ＝1＋3，b ＝3(3＋3)时，取“＝”，即3a ＋b 的最小值为12＋6 3.答案：12＋6 315．(2016·广东东莞石竹附中期中)已知x >0，y >0，若不等式3x ＋1y ≥m x ＋3y恒成立，则m的最大值为__________．解析：∵x >0，y >0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，又⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy≥6＋29y x ·x y ＝12.当且仅当9y x ＝xy即x ＝3y 时取等号，∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ·(x ＋3y )的最小值为12，由恒成立可得m ≤12，即m 的最大值为12，故答案为12.答案：12B 组一、选择题1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：∵S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－1)＝73<3，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e (e －1)>3，则S 2<S 1<S 3.故选B .答案：B2．(2016·安徽安庆一模)当0≤x ≤2时，不等式18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，则t 的取值范围是( )A ．[1－3，1]B ．[－1,1]C ．[－1,1－3]D ．[－1,1＋3]解析：令y ＝x 2－3x ＋2,0≤x ≤2，∵y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14，∴y 在0≤x ≤2上取得最小值为－14，最大值为2，若18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2在0≤x ≤2上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧18(2t －t 2)≤－14，3－t 2≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －2≥0，t 2－1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1－3，－1≤t ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1＋3，－1≤t ≤1，∴t 的取值范围为[－1,1－3]．答案：C3．(2016·山东聊城期中)已知点M(a ，b)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：令s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，则P(a ＋b ，a －b)为P(s ，t)，由s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，可得2a ＝s ＋t,2b ＝s －t ，因为a ，b 是正数，且a ＋b ≤2.有⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ≥0，s －t ≥0，s ≤2，以s 为横坐标，t 为纵坐标在直角坐标系上画出P(s ，t)所在平面区域(图中阴影部分)，即可得点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积为4，故选C .答案：C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C . 5D ．2解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2,1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，∴25－2a ＝b ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a 2－85a ＋20(0<a<5)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－(85)24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，故选B .答案：B5．(2016·河北南宫期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D .⎣⎡⎭⎫53，5解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴A(2，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝⎛⎭⎫13，23.令u ＝2x －2y－1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A(2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y轴上的截距最小，u 最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u<5，∴z ＝|u|∈[0,5)．故选C .答案：C 6．(2016·天津蓟县期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，5 D ．(－∞，3)解析：由图可知，当x >0时，导函数f ′(x )>0，原函数单调递增，∵两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，∴0<2a ＋b <4，∴b <4－2a,0<a <2，画出可行域如图．k ＝b ＋1a ＋1表示点Q (－1，－1)与点P (a ，b )连线的斜率，当P 点在A (2,0)时，k 最小，最小值为13；当P 点在B (0,4)时，k最大，最大值为5.取值范围是⎝⎛⎭⎫13，5.故选C.答案：C7．(2016·浙江温州联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －4≤0，x ≥0，则|3x ＋y －4|＋|x ＋2y ＋8|的最小值是( )A ．11B ．12C ．16D ．18解析：当3x ＋y －4≥0时，可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为z ＝4x ＋3y ＋4，显然z 在A (1,1)处取得最小值11.当3x ＋y －4<0时，z ＝－2x ＋y ＋12，作出可行域(图略)易知z 在坐标原点处取得最小值12.所以所求目标函数的最小值为11.答案：A8．(2016·河南郑州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy2的最大值是( )A.116B.18C.14D.12解析：xz y 2＝xz (x ＋2z )2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18，当且仅当x z ＝4z x，即x ＝2z 时取等号．答案：B 9．(2016·广东广州期中)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.233C.263D.433解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∵Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，可得Δ>0.∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：D 二、填空题 10．(2016·河北期中)给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则2(a 2＋b 2)≥a ＋b ； ②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是__________． 解析：对于①，要证原不等式成立，只需证(2(a 2＋b 2))2≥(a ＋b )2，化简得(a －b )2≥0，显然成立，①正确；对于②，当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，②不正确；对于③，举反例可得，如取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4，ab >4，则由条件推不出a >2，b >2，③不正确；对于④，2(a ＋b ＋c )2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＋4ab ＋4ac ＋4bc ≥6ab ＋6ac ＋6bc ＝6，则(a ＋b ＋c )2≥3，④正确．综上，①④正确．答案：①④11．(2016·江西南昌模拟)设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫xm －4m 2f (x )≤f (x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是__________．解析：依据题意得x2m2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m2－4m2≤－3x2－2x＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x＋132＋43在x∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立．即⎝⎛⎭⎫1m2－4m2≤⎝⎛⎭⎫－3x2－2x＋1min，当x＝32时，函数y＝－3x2－2x＋1取得最小值－53，∴1m2－4m2≤－53，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≥32或m≤－32，∴实数m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m⎪⎪m≥32或m≤－32.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞12．(2016·福建南平期中)已知点O为坐标原点，点M(2,1)，点N(x，y)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋2≥0，x＋y－2≥0，x≤4，则OM→·ON→的最大值为__________．解析：不等式组⎩⎨⎧x－2y＋2≥0，x＋y－2≥0，x≤4表示的平面区域如下图阴影部分所示.OM→·ON→＝2x＋y；解⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋2＝0，x＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝3，即A(4,3)．设2x＋y＝z，∴y＝－2x＋z.∴z为直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，由图看出当该直线过点A时，截距最大，即z最大．∴3＝－8＋z，z＝11.∴z的最大值为11，即OM→·ON→的最大值为11.答案：1113．(2016·浙江温州十校联合体初考)若直线ax＋by＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x－5y＋8≥0，2x＋y－4≤0，x＋2y＋4≥0表示的平面区域无公共点，则a＋b的取值范围是__________．解析：由已知不等式组可画出其所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，并分别联立直线方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x－5y＋8＝0，2x＋y－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x－5y＋8＝0，x＋2y＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4＝0，x＋2y＋4＝0并计算得到点A，B，C的坐标为(1,2)，(－4,0)，(4，－4)．数学备课大师 【全免费】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/ 要使直线ax ＋by ＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5y ＋8≥0，2x ＋y －4≤0，x ＋2y ＋4≥0表示的平面区域无公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b －4>0，－4a －4>0，a －b －1>0(无解)或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b －4<0，－4a －4<0，a －b－1<0，点(a ，b )所在平面区域如图中阴影所示：同理可解得点M (－1，－2)，N (2,1)．令直线t ＝a ＋b ，即b ＝－a ＋t ，当直线b ＝－a ＋t 过点M 时，t 有最小值为－3；当直线t ＝a ＋b 过点N 时，t 有最大值为3，所以t ＝a ＋b 的取值范围是(－3,3)．故应填(－3,3)．答案：(－3,3)14．(2016·江西期中)正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则4y －x ＋6xy的最小值为__________． 解析：∵正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，∴4x ＋2y ＝6，则4y －x ＋6xy ＝4y －x ＋4x ＋2y xy＝3⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2y x ≥5＋2×2x y ·y x＝9，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴则4y －x ＋6xy的最小值为9.故答案为9. 答案：915．(2016·浙江温州联考)已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则u ＝1＋z 2xyz的最小值为__________．解析：∵1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ，∴u ＝1＋z 2xyz ≥1＋z (1－z 2)z ＝1(1－z )z ≥4，当且仅当z ＝12，x ＝y ＝64时，等号成立． 答案：4。