2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷(带解析)

2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（带解析）一．选择题1．已知全集{2,4,6,8,10}U =，集合,M N 满足{4}M N = ,(){10}U C N M = ，则M =（ ）A ．{2,4}B ．{4,8,10}C ．{4,6,10}D ．{4,10}2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则下列说法正确的是 ( )A ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题B ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题C ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题D ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题3．动点(cos ,sin )P θθ()R θ∈关于直线2y x =-的对称点是P '，则PP '的最大值为（ ）A ．2B 1C ．．24．已知函数2()2f x x ax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若1OA = ，4OB = ，2OA OB ⋅= ，OA OB OC += ，则△ABC 的面积是 （ ）A ．1B ．2CD ．6．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12πB.C.3πD.7．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12F F 、分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）A1 BCD1 8．在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P落在区域A 内的概率为827，则k 的值为（ ） A.13 B.23 C.12 D.34二、填空题9．复数1i i+的虚部等于 . 10．设常数R ∈a ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = . 11．若数列{}n a 满足：11a =，且对任意的正整数m ，n 都有2m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．12．某种机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该种机器使用年限为10年时 维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．设0t >，函数122()log x x t f x x x t ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为M .若4M ∉，则t 的取值范围是 .14．5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种． 15．对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a ，b(a ＜b)，使当x ∈[a ，b]时，f(x)的值域也是[a ，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a ，b]称为函数f(x)的“等域区间”.（1）布林函数()f x =的等域区间是 . （2）若函数2)(++=x k x f 是布林函数，则实数k 的取值范围是 .三、解答题 16．已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．17．一个袋子里装有7个球,其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个,编号分别为1，2，3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ)在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18．知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是12B B 、，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点.试问x 轴上是否存在异于M 的定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.19．某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n 年该生产线设备低劣化值为n a ，求n a 的表达式；（2）若该生产线前n 年设备低劣化平均值为n A ,当n A 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.20．已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 满足：①对任意的12,m m ，12m m ≠，当12()()f m f m =时，有120m m +<成立；②对12,[1,1],x x ∀∈-12()()1f x f x e -≤-恒成立.求实数a 的取值范围.2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（带解析）参考答案1．D【解析】试题分析：因为[()]()U M C N M N M = ，所以{10}{4}{4,10}M == ，故选B. 考点：集合的基本运算2．C【解析】试题分析：依题意，命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0的否命题为不存在x ∈R ，使得x 2－3x＋3≤0，即对任意的x ∈R ，2330x x >－＋.又223333()024x x x =-+>－＋，所以命题p 为假命题，所以p ⌝为真命题，故本题选C.考点：对含一个量词的命题进行否定、一元二次不等式3．D【解析】试题分析：依题意知，动点(cos ,sin )P θθ在以原点为圆心的单位圆上，原点O 到直线2y x =-的距离01d ==>，所以直线2y x =-与单位圆圆O 相离.设动点P与直线2y x =-的距离为d ，则2PP d '=.max 011d d =+=,所以PP '的最大值为2+.所以选D. 考点：直线与圆的位置关系、点关于直线对称4．A【解析】试题分析：函数2()2f x x ax b =-+，所以(1)12f a b =-+，(3)96f a b =-+，12a <<，所以1296a a -<-，即(1)(3)f f <；反过来，(1)(3)f f <时，得1296a b a b -+<-+得2a <，不能得到12a <<.所以“12a <<”是“(1)(3)f f <”的充分不必要条件. 考点：充分条件与必要条件、一元一次不等式5．C【解析】试题分析：因为OA OB OC += ，所以OA OC OB BC =-= ，OB OC OA AC =-= ，又1OA = 、4OB = ，所以1BC = 、4AC = ，2OA OB ⋅= 即2BC AC ⋅= ，设BC 与AC的夹角为θ，易知θ与BCA ∠为对顶角，所以BCA θ=∠.cos 14cos 2BC AC BC AC θθ⋅=⋅=⨯= ，得1c o s 2θ=，所以1cos 2BCA ∠=，sin 2BCA ∠=，所以1sin 2ABC S BC AC BCA ∆=⋅∠= 考点：平面向量的数量积、三角形面积公式6．C【解析】试题分析：依题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，棱PA 、AB 、AD 两两相互垂直，且1PA =.所以该几何体是正方体的一部分（如下图所示）,其外接球即正方体PFGH ABCD -的外接球.所以外接球半径12R PC =，而PC =，所以R =表面积243S R ππ==.考点：三视图、球的表面积、正方体的外接球7．A【解析】试题分析：由题意知，双曲线1C 的焦点分别为(,0)c 和(,0)c -，其中222c a b =+，且0c >.不妨设1(,0)F c ，2(,0)F c -.又因为12212PF F PF F ∠=∠，根据大边对大角原则，12PF PF >.又因为点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，所以点P 在双曲线右支上，根据对称性，不妨设点P 在第一象限.222c a b =+,所以12F F 、在圆22222x y a b C :+=+上，且12F F 为圆2C 直径. 1290F PF ∠= ,2160PF F ∠= ,122F F c =,21,PF c PF ∴==,可求得1()2P c ，代入22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>中，化简得22222234b c a c a b -=，与222c a b =+联立，得22222222()34()c a c a c a c a --=-，得4224840c ac a -+=，所以222(43)c aa ==，又0c a >>，所以22(4c a =+，24(1+=，所以(1)ca =，即双曲线1C 离心率为1c a=+考点：双曲线的简单几何性质、求根公式8．A【解析】试题分析：易知抛物线2y x x =-开口向下，对称轴为12x =.令20y x x =-=，得0x =或1.所以抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域M 即抛物线2y x x =-在x 轴上方的部分,其面积为1231200111()()023236x x x x dx -=-=--=⎰.联立2(0)y x x y kx k ⎧=-⎨=>⎩得抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)的交点为（0,0）和2(1,)k k k --.因为该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827.所以交点2(1,)k k k --应该在区域M 内，即10k ->，所以1k <.区域A 面积为12322331200(1)(1)(1)(1)[()]()232236k kx x k x k k k k x x k x d x --------=--=-=⎰.由点P 落在区域A 内的概率为827得3(1)186627k -=⋅，213k ∴-=，13k =. 考点：定积分的应用、几何概型9．-1【解析】 试题分析：因为21(1)111i i i i i i i ++-===--，所以复数1i i+的虚部等于-1. 考点：复数的定义与运算10．-2【解析】 试题分析：52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第1r +项为2515()()r r r r a T C x x -+=⋅，若含7x 的这一项，则257()rr x x x-=，所以2(5)7r r --=，为1r =，所以7x 项的系数为15510C a a ==-，即2a =-.考点：二项式定理11．2n【解析】试题分析：令1m =，由2m n m n a a a m n+=++得112n n a a a n +=++，又11a =，所以121n n a a n +-=+.因此213a a -=325a a -=437a a -=…………121(2)n n a a n n --=-≥上述1n -个式子累加得：211357(21)(321)1,(2)2n n a a n n n n --=++++-=+-=-≥ ，11a =，所以2,(2)n a n n =≥，又11a =满足该式.所以数列{}n a 的通项公式2n a n =.考点：累加法求数列的通项公式、等差数列的求和公式12．12.38【解析】试题分析：依题意， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==，易知4x =， 1.23b = .所以 5 1.2340.08a y b x =-=-⨯= .即回归方程ˆ 1.230.08y x =+，将10x =代入，得 12.38y =.即该种机器使用年限为10年时维修费用约12.38万元.考点：线性回归方程13．1(,2]16【解析】 试题分析：因为2x y =在R 上是增函数且值域为(0,)+∞,所以x t <时，()2xf x =的范围为(0,2)t ；因为12log y x =在(0,)+∞上是减函数且值域为R ，所以x t ≥时，12()log f x x=的范围为12(,log ]t -∞，()f x 的值域为M ，且4M ∉，所以有12224121log 41616t t t t t ≤⎧⎧≤⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩.即t 的取值范围为1(,2]16. 考点：指数函数与对数函数的单调性与值域14．150【解析】试题分析：将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有13235260C C A ⋅⋅=（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.(2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有11235490C C C ⋅⋅=（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得.综上所述，共有60+90=150种方案.考点：排列与组合15．（1）[0,1]；（2）]2,49(--. 【解析】试题分析：（1）因为()f x =x∈[a，b]时，f(x)∈[f(a )，f(b)]. 令f(a)＝a ，且f(b)＝ba =(0)b b a =>≥，则a ＝0，b ＝1.故布林函数()f x =[0,1].（2）因为2)(++=x k x f 是增函数，若2)(++=x k x f 是布林函数，则存在实数a ，b(－2≤a＜b)，使()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .所以a ，b 为方程2++=x k x的两个实数根，从而方程k x =.t =，则22(0)k t t t =--≥.当0t =时，2k =-；当12t =时，94k =-. 由图可知，当924k -<≤-时，直线y k =与曲线22(0)y t t t =--≥有两个不同交点，即方程 22(0)k t t t =--≥有两个不等实根，故实数k 的取值范围是9(,2]4--. 考点：新概念的理解、方程的根与函数的图像16．（1）3π、π；（2）(1,0]-. 【解析】试题分析：（1）先由平面向量数量积的坐标表示得到()f x ，然后由三角函数的倍角公式进行降次，再将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式.令()0f x =，在区间[]0,π解得3x π=或π，即得到零点3π、π；（2）由条件及余弦定理，通过基本不等式可得1cos 2B ≥，又根据角B 是三角形内角，从而得到其范围，再代入即可得()f B 的取值范围.试题解析：因为向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，函数()f x m n = .所以21cos ()cos cos 2222x x x x f x x +=-=-111cos sin()22262x x x π=--=--3分 （1）由()0f x =，得1sin()62x π-=. =+266x k πππ-∴， 5=+266x k k Z πππ-∈或， =+23x k ππ∴， =+2x k k Z ππ∈或，又[]0,x π∈，3x π∴=或π.所以()f x 在区间[]0,π上的零点是3π、π. 6分 （2）在ABC ∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而， 10分 11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴ 12分 考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17．(Ⅰ)6；(Ⅱ) 5EX =.【解析】 试题分析：(Ⅰ)分别算出取出四个球的取法数以及取出的4个球中含有编号为3的球的取法种数，后者与前者之比即为所求.(Ⅱ)可知随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.然后将每种可能取值的概率计算出，即可列出分布表.再由期望的计算公式即可得出期望. 试题解析：(Ⅰ)设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A ，由题意，取出四个球共有47C 取法.其中含有编号为3的球的取法有13222525C C C C +种.则76C C C C C )(4725223512=+=A P . 所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为76. 4分 (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.351C C )1(4733===X P ， 354C C )2(4734===X P ， 72C C )3(4735===X P ， 74C C )4(4736===X P ， 8分随机变量X 的数学期望57473352351=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . 12分 考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及分布列；3.期望.18．（1）22194x y +=；（2）存在，9(,0)2P . 【解析】试题分析：（1）由离心率为3可得到一个关于a b 、的方程，再根据MB 1⊥MB 2即可得2,3b a ==；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A ，B 两点坐标设出，但不求出.注意到PM 平分APB ∠，则直线,PA PB 的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P 的坐标.试题解析：（1）由222222519a b a e a b -===-得23b a = 又12MB MB ⊥,知12MB B ∆是等腰直角三角形，从而2,3b a ==.所以椭圆C 的方程是22194x y +=. 5分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+由222,1.94x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(49)16200m y my ++-=，所以1221649m y y m -+=+ ①，12y y ⋅=22049m -+② 8分 若PM 平分APB ∠，则直线,PA PB 的倾斜角互补， 所以0P A PB k k += 设(,0)P n ，则有12120y yx n x n+=--， 10分 将11222,2x my x my =+=+代入上式，整理得12122(2)()0my y n y y +-+=， 将①②代入得(29)0n m -+=，由于上式对任意实数都成立，所以92n =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使平分PM 平分∠APB. 13分 考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式.19．（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）第九年. 【解析】试题分析：（1）可知7n ≤时，n a 构成等差数列；8n ≥时n a 构成等比数列.然后由条件即可得出n a 的表达式，注意写出分段函数的形式；（2）先写出nS n即n A 的表达式，然后判定其单调性，得出n A 是增函数，从而求出12n A ≥时n 的取值范围.所以得到第九年需要更新该生产线.试题解析：（1）当7n ≤时，数列{}n a 是首项为4，公差为2的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+ 3分当8n ≥时，数列{}n a 是首项为7a ，公比为54的等比数列，又716a =，7516()4n n a -∴=⨯∴n a 的表达式为722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ 6分 （2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当17n ≤≤时，24(1)3n S n n n n n =+-=+当8n ≥时，由777751()55470,1680()1054414n n n S S S ---==+⨯⨯=⋅--该生产线前n 年设备低劣化平均值为73,17580()104,8n n n n n S A n n n -+≤≤⎧⎪⎪==⎨⋅-⎪≥⎪⎩9分 当17n ≤≤时，数列{}n A 为单调递增数列；当8n ≥时，11n n S S n n +-+ 7580()(1)10440(1)n nn n -⋅-+=>+， 所以{}n A 为单调递增数列. 11分 又7891012,11.2512,12.7812,789S S S=<=<≈>则第九年需要更新该生产线. 13分 考点：1.等差及等比数列的通项公式；2.等差及等比数列的求和公式；3.数列的单调性. 20．（1）()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）(1,]e . 【解析】试题分析：（1）先对()f x 求导，分析出导函数是单调递增的，并得(0)0f '=.从而得到(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.即求出函数()f x 的单调区间；（2）先由（1）中的单调区间知12m ,m 异号.再证明结论：当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立；01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.从而得出当1a >时，有120m m +<成立.然后在1a >的范围内研究对12,[1,1],x x ∀∈-12()()1f x f x e -≤-恒成立问题.通过在[1,1]-求()f x 的最值，再由最大值与最小值的差要小于或等于1e -从而得到实数a 的取值范围.试题解析：（1）()ln 2ln xf x a a x a '=+-，令()ln 2ln x g x a a x a =+-，则2()ln 20x g x a a '=+>，从而()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，即()f x '在(,)-∞+∞内单调递增，又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 4分 （2）①由（1）可知，当12m m ≠，12()()f m f m = 时，12m ,m 必异号，不妨设10m >，20m <. 我们先证明一个结论：当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立；01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.事实上，22()()ln ln xxf x f x a x x a a x x a ->-⇔+->++2ln 0x x a a x a -⇔-->构造函数()2ln xxt x a ax a -=--，()ln ln 2ln ln (2)x x x x t x a a a a a a a a --'=+-=+-220x x a a -+-≥=，(当且仅当0x =时等号成立).又(0)0t =当(0,1)a ∈时，()0t x '≤，所以()t x 在(0,)+∞上是单调递减，()(0)0t x t <=此时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.当(1,)a ∈+∞时，()0t x '≥，所以()t x 在(0,)+∞上是单调递增，()(0)0t x t >=此时对任意的0x >有()()f x f x >-成立；当1a >时，211()()()f m f m f m =>-，由于()f x 在∞（-，0）上单调递减，所以21m m <-，120m m +<.同理01a <<，120m m +>.当12()()f m f m =时，当且仅当1a >时，有120m m +<成立. 8分 ②1a >时，由（1）可得min [()](0)1f x f ==，max [()]max{(1),(1)},f x f f =- 又11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln ,f f a a a a a a a--=+--++=-- 构造函数1()2ln ((1,))h a a a a a=--∈+∞，2'2212(1)()10,a h a a a a -=+-=≥所以()h a 在上[1,)+∞单调递增，又(1)0h =所以，当1a >时()0h a >，即(1)(1)f f >-，所以max [()](1)1ln f x f a a ==+-.因为1212max min ,[1,1],()()()()ln x x f x f x f x f x a a∀∈--≤-=-,若要题设中的不等式恒成立，只需ln 1a a e -≤-成立即可.构造函数()ln 1,(1,)a a a e a ϕ=---∈+∞,11()10a a a aϕ-'=-=>所以()a ϕ在(1,)+∞上递增. 又()0e ϕ=所以，由()0a ϕ≤得a e ≤, 12分 又1a >所以1a e <≤, 因此a 的取值范围为(1,]e . 13分 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数的最值；3.常见函数的求导法则.。