5.2015高考预测试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷(Y.P.M 预测第五试卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.姓名 分数第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(理)若i 是虚数单位,则复数125+i 的共轭复数是( ) (A)2i+1 (B)-2i+1 (C)2i-1 (D)-2i-1 (文)若集合A={x|x 2-1≤0},B={x|21log x>-1},则C R A ∩B=( )(A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(2,+∞) (C)(1,2) (D)(0,2) 2.(理)集合U={x|0≤x ≤1},A={x|y=21log x,y ∈U},则C U A=( )(A)∅ (B)[0,21) (C)[0,21] (D)(21,1] (文)i 是虚数单位,ii21211++=( ) (A)57-4i (B)57+4i (C)3-4i (D)3+4i 3.(理)已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),则下列结论中,错误的是( )(A)|a |=|b | (B)ab ≤1 (C)|a +b |=2 (D)|a -b |≤2 (文)已知a =(2cos α,2sin α),b =(3,1),则下列结论中,正确的是( )(A)|a -b |的最大值为2 (B)ab 的最大值为1 (C)(a+b )⊥(a-b ) (D)(a+b )∥(a-b ) 4.(理)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(38π)的值为( ) (A)23 (B)-23(C)21 (D)-21(文)设A 、B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是( ) (A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0 (C)2y-x-4=0 (D)2x+y-7=0 5.(理)过双曲线C:2222b y a x -=1(a>b>0)的右焦点F(5,0)作双曲线C 的一条渐进线的垂线,垂足为点H,O 为坐标原点.若△OFH 的面积等于6.则双曲线C 的离心率e 是( ) (A)45 (B)35 (C)34 (D)43(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1=1,点(n,S n )在曲线C 上,C 和直线x-y+1=0交于A 、B 两点,|AB|=6,那么这个数列的通项公式是( )(A)a n =2n-1 (B)a n =3n-2 (C)a n =4n-3 (D)a n =5n-4 6.(理)设abc>0,三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 的图象可能是( )(文)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a ≠1)的图像如图所示, 则函数g(x)=log a (x-b)的图像可能是( )7.(理)若直线l:⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a t y tx 4534(t 为参数)与圆C:72cos 32sin 2x y αα=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩(α为参数)相切,则a 的值为( )(A)1或5 (B)2或7 (C)4或8 (D)5或25(文)设x=0.820.5,y=sin1,z=log 37,则x 、y 、z 的大小关系为( )(A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x 8.(理)一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:cm 2)为( ) (A)48+122 (B)48+242 (C)36+122 (D)36+24122(文)设变量x,y 满足|2x-y|≤3,且|x-2y|≤6,则x+2y 的最大值和最小 值分别为( )(A)14,-14 (B)7,-7 (C)7,-14 (D)14,-7 9.(理)已知函数f(x)=sinx+acosx 的图像关于直线x=6π对称,则函数g(x)=asin2x+cos2x 在[0,π]内的单调递增区间是( ) (A)[0,6π]∪[32π,π] (B)[6π,32π] (C)[0,12π]∪[127π,π] (D)[12π,127π] (文)某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( ) (A)28+6 (B)30+65 (C)56+125 + (D)60+12510.(理)已知数列{a n }的首项为1,且满足a n+2-a n =a 2-a 1=1,则数列{a n }的前n 项和S n 不满足( )(A)S 2k =k 2+2k (B)S 2k-1=k 2+k (C)S n =4|2sin|)4(πn n n -+ (D)S n =4)4(+n n -8)1(11--+n(文)已知正方体各面的中心,甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个,则构成两个三角形全等的概率是( ) (A)254 (B)259 (C)2513 (D)2516第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11.(理)己知f(a)=3(a>0),则⎰+'adx x f x f x 0)]()([= .(文)若不等式|x-a|+3x ≤0(a>0)的解集为{x|x ≤-1},则实数a= .12.(理)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n(n ≥6).若a 0,a 1,…,a n 中的最大数是a 5,则n= . (文)设双曲线2222b y a x -=1的离心率e ∈[332,2],则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 . 13.(理)若a>0,b>0,且当x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+084062302y x y x y x 时,恒有ax+by ≤8,则b a 43+的最小值为 .(文)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .14.(理)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 .(文)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .15.(理)若随机变量ξ～N(1,σ2)(σ>0),给出下列命题:①E ξ=1;②D ξ=σ;③E ξ2=1+σ2;④若P(ξ≤0)=1-a,则P(|ξ-1|≤1)=a;⑤若P(ξ<2a)=P(ξ>a-1),则P(ξ≥a)=21.其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的编号). (文)若正实数a 、b 、x 、y 满足:22a x +22b y =1,则下列不等式对一切满足条件的a,b,x,y 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).①ab ≥2xy;②a 2+b 2≥(x+y)2;③a x +b y ≥2;④21x +21y ≥(a 1+b 1)2;⑤22x a +22yb ≥4. 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)16.(理)在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c,cosA=cos(A+6π)cos(A-6π)+sin 2A-41. (Ⅰ)求角A 的值;(Ⅱ)若△ABC 的面积S △ABC =103,求AC AB ⋅的值. (文)已知向量OP =(2cos(2π+x),-1),OQ =(-sin(2π-x),cos2x),f(x)=OP ⋅OQ . (Ⅰ)解不等式:f(x)≥1;(Ⅱ)若a,b,c 分别是锐角△ABC 中角A,B,C 的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=13,求△ABC 的面积17.(理)设a为实数,函数f(x)=a2x-lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)求证:当a≥1,且x>1时,a1x>lnx.2(文)过抛物线C:x2=4y上两点A、B,分别作抛物线C的切线交于点P.(Ⅰ)若直线AB的方程为y=x+1,求点P的坐标;(Ⅱ)若线段AB的中点Q恒在抛物线G:y=x2上,求点P的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).18.(理)如图所示,已知单位正方体ABCD−EFGH的棱AD和BC上分别有动点Q,P.若直线PQ和BD交于点N,直线GQ和平面BDE交于点M,BE的中点是S.(Ⅰ)求证:D,M,S三点共线;(Ⅱ)设AQ=a,BP=t,(0≤a,t≤1),求MN;(Ⅲ)对于给定的a,求MN的最小值.(文)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工1,且该组中,青年人占50%,中年中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的4人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本,试确定:(Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;(Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.19.(理)已知椭圆C:42x +32y =1,过x 轴上一点P(在椭圆C 外)的动直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点(M 在P 、N 之间),椭圆C 在点M 、N 处的切线交于点Q,与x 轴分别交于点B 、A. (Ⅰ)求证:OQ OP ⋅为定值;(Ⅱ)过N 点与x 轴垂直的直线与AM 交于点T,过点M 与x 轴垂直的直线与BN 交于点S,求证:P 、S 、T 三点共线.(文)如图,在三棱锥T-ABC 中,AC 、BC 、TA 、TB 的中点分别为D 、E 、M 、N, TD 与CM 交于点P,TE 与CN 交于点Q. (Ⅰ)求证:PQ ∥平面ABC;(Ⅱ)若AB ⊥AC,∠TAB=∠TAC=600,AT=32,求直线PQ 与平面ABC 的距离.20.(理)定义在R 上的函数f(x)满足:①f(0)=0;②对任意x 、y ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),都有f(x 1)+f(y 1)=f(xyyx ++1);③当x ∈(-1,0)时,都有f(x)>0.求证:(Ⅰ)函数f(x)是(-1,1)上的单调递减的奇函数; (Ⅱ)f(191)+f(291)+…+f(11712++n n )>f(21). (文)设f(x)=x-sinx. (Ⅰ)求f(x)的零点个数; (Ⅱ)当-1<x<1时,证明:xlnx x -+11+cosx ≥1+22x .21.(理)某大学外语系一年级举行一次英语口语演讲比赛,共有10人参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.并采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,演讲序号分别为1,2, (10)(Ⅰ)求一班的3位同学演讲序号恰好相连,二班的2位同学的演讲序号不相连的概率;(Ⅱ)设一班的3位同学演讲序号分别为x1,x2,x3,ξ=|x2-x1|+|x3-x2|,求ξ的分布列和数学期望.(文)己知实数c≥0,曲线C:y=x与直线l:y=x-c的交点为P(a,a)(异于原点O),在曲线C上取一点P1(x1,y1),过点P1作P1Q1平行于x轴交直线l于点Q1,过点Q1作Q1P2平行于y轴,交曲线C于点P2(x2,y2),过点P2作P2Q2平行于x轴交直线l于点Q2,过点Q2作Q2P3平行于y轴,交曲线C于点P3(x3,y3),如此下去,得到点列{P n(x n,y n)}.设x1=b,且0<b<a.(Ⅰ)试用c表示a,并证明a≥1;(Ⅱ)证明:x n+1=x+cn(Ⅲ)证明:x n<x n+1<a;2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷(Y.P.M 预测第五试卷)姓名 分数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(理)若i 是虚数单位,则复数125+i 的共轭复数是( ) (A)2i+1 (B)-2i+1 (C)2i-1 (D)-2i-1 解:由125+i =1-2i ⇒复数125+i 的共轭复数是1+2i.故选(A). (文)若集合A={x|x 2-1≤0},B={x|21log x>-1},则C R A ∩B=( )(A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(2,+∞) (C)(1,2) (D)(0,2)解:由A:x 2-1≤0⇔-1≤x ≤1⇔C R A=(-∞,-1)∪(1,+∞);B:21log x>-1⇔21log x>21log 2⇔0<x<2⇒C R A ∩B=(1,2).故选(C).2.(理)集合U={x|0≤x ≤1},A={x|y=21log x,y ∈U},则C U A=( )(A)∅ (B)[0,21) (C)[0,21] (D)(21,1] 解:由y ∈U ⇔0≤21log x ≤1⇔x ∈[21,1]⇒C U A=[0,21).故选(B). (文)i 是虚数单位,ii21211++=( ) (A)57-4i (B)57+4i (C)3-4i (D)3+4i 解:i i 21211++=5)21)(211(i i -+=52015i-=3-4i.故选(C). 3.(理)已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),则下列结论中,错误的是( )(A)|a |=|b | (B)ab ≤1 (C)|a +b |=2 (D)|a -b |≤2 解:由a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)⇒|a +b |2=2+2cos(α-β).故选(C). (文)已知a =(2cos α,2sin α),b =(3,1),则下列结论中,正确的是( )(A)|a -b |的最大值为2 (B)ab 的最大值为1 (C)(a+b )⊥(a-b ) (D)(a+b )∥(a-b ) 解:由|a |=|b |⇒a 2=b 2⇒(a+b )(a-b )=0⇒(a+b )⊥(a-b ).故选(C).4.(理)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(38π)的值为( ) (A)23 (B)-23(C)21 (D)-21解:由f(38π)=f(3π-3π)=f(-3π)=-f(3π)=-sin 3π=-23.故选(B).(文)设A 、B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是( ) (A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0 (C)2y-x-4=0 (D)2x+y-7=0 解:由x P =2⇒y P =3⇒P(2,3);又由|PA|=|PB|⇒PA 与PB 的斜率互为相反数⇒k PB =-1⇒直线PB:y-3=-(x-2).故选(A). 5.(理)过双曲线C:2222b y a x -=1(a>b>0)的右焦点F(5,0)作双曲线C 的一条渐进线的垂线,垂足为点H,O 为坐标原点.若△OFH 的面积等于6.则双曲线C 的离心率e 是( ) (A)45 (B)35 (C)34 (D)43 解:双曲线C:2222by ax -=1的焦点F(±c,0)到渐进线bx ±ay=0的距离d=22b a bc +=b ⇒|FH|=b,|OH|=a ⇒a 2+b 2=25,ab=12⇒a=4,b=3⇒e=a c =45.故选(A). (文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1=1,点(n,S n )在曲线C 上,C 和直线x-y+1=0交于A 、B 两点,|AB|=6,那么这个数列的通项公式是( )(A)a n =2n-1 (B)a n =3n-2 (C)a n =4n-3 (D)a n =5n-4 解:设S n =An 2+Bn,则曲线C:y=Ax 2+Bx,由S 1=1⇒A+B=1,a 1=1;由⎩⎨⎧+==+-BxAx y y x 201⇒Ax 2+(B-1)x-1=0⇒Ax 2-Ax-1=0,设其两根为x 1,x 2,则⎪⎩⎪⎨⎧-==+A x x x x 112121;由|AB|=6⇒|x 1-x 2|=3⇒1+A 4=3⇒A=2⇒2d =2⇒d=4⇒a n =4n-3.故选(C). 6.(理)设abc>0,三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 的图象可能是( )解:设f(x)=ax(x-x 1)(x-x 2),则x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=ac.在(A)中,a>0,且x 1>0,x 2>0⇒b<0,c>0⇒abc<0,所以,(A)错;在(B)中,a<0,且x 1<0,x 2<0⇒b>0,c>0⇒abc<0,所以,(B)错;在(D)中,a>0,且x 1=x 2>0⇒b<0,c>0⇒abc<0,所以,(D)错;故选(C).(文)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a ≠1)的图像如图所示, 则函数g(x)=log a (x-b)的图像可能是( )解:由f(x)=a x+b(a>0,a ≠1)的图像知a>1,f(0)=1+b<0⇒b<-1⇒g(x)=log a (x-b)单调递增,且g(b+1)=0,而b+1<0.故选(A).7.(理)若直线l:⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a t y tx 4534(t 为参数)与圆C:72cos 32sin 2x y αα=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (α为参数)相切,则a 的值为( )(A)1或5 (B)2或7 (C)4或8 (D)5或25解:直线l:⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a t y t x 4534⇔⎩⎨⎧+=-=a t y t x 5124123⇔3x+4y-5a=0;圆C:72cos 32sin 2x y αα=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的圆心C(7,-32),半径r=2;由直线l 与圆C 相切⇒圆心C 到直线l 的距离d=r ⇒|3-a|=2⇒a=1或5.故选(A).(文)设x=0.820.5,y=sin1,z=log 37,则x 、y 、z 的大小关系为( )(A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x 解:由x ∈(0,21),y ∈(21,1),z>1⇒x<y<z.故选(A). 8.(理)一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:cm 2)为( ) (A)48+122 (B)48+242 (C)36+122 (D)36+24122 解:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为P —ABC(如图). 且底边为直角三角形,顶点P 在底面射影为底边AC 的中 点,且由已知可知AB ＝BC ＝6,PD ＝4.则全面积S=21×6 ×6+2×21×6×5+21×4×62=48+122.故选(A). (文)设变量x,y 满足|2x-y|≤3,且|x-2y|≤6,则x+2y 的最大值和最小值分别为( )(A)14,-14 (B)7,-7 (C)7,-14 (D)14,-7 解:由|2x-y|≤3,且|x-2y|≤6⇒-3≤2x-y ≤3,-6≤x-2y ≤6;令x+2y=m(2x-y)+n(x-2y)⇒2m+n=1,-m-2n=2⇒m=34,n=- 35⇒-14≤x+2y ≤14.故选(A). 9.(理)已知函数f(x)=sinx+acosx 的图像关于直线x=6π对称,则函数g(x)=asin2x+cos2x 在[0,π]内的单调递增区间是( ) (A)[0,6π]∪[32π,π] (B)[6π,32π] (C)[0,12π]∪[127π,π] (D)[12π,127π] 解:由f(x)=sinx+acosx ⇒f '(x)=cosx-asinx,f(x)的图像关于直线x=6π对称⇒f '(x)的图像关于点(6π,0)对称⇒ f '(6π)=0⇒a=3⇒g(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6π),由2k π-2π≤2x+6π≤2k π+2π⇒k π-3π≤x ≤k π+6π⇒ g(x)在[0,π]内的单调递增区间是[0,6π]∪[32π,π].故选(A). (文)某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( ) (A)28+6 (B)30+65 (C)56+125 (D)60+125 解:从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度, 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关 系和三角形面积公式可得该几何体表面积=30+65.故选(B).10.(理)已知数列{a n }的首项为1,且满足a n+2-a n =a 2-a 1=1,则数列{a n }的前n 项和S n 不满足( )(A)S 2k =k 2+2k (B)S 2k-1=k 2+k (C)S n =4|2sin|)4(πn n n -+ (D)S n =4)4(+n n -8)1(11--+n解:由a 2-a 1=1⇒a 2=2;又由a n+2-a n =1知:①当n=2k-1为奇数时,a 2k+1-a 2k-1=1⇒数列{a 2k-1}是以a 1=1为首项,公差为1的等差数列⇒a 2k-1=1+(k-1)=k;②当n=2k 为偶数时,a 2k+2-a 2k =1⇒数列{a 2k }是以a 2=2为首项,公差为1的等差数列⇒a 2k =2+(k-1)=k+1⇒a 2k-1+a 2k =2k+1⇒S 2k =2)123(++k k =k(k+2)=4)4(+n n ⇒S 2k-1=S 2k -a 2k =k(k+2)-(k+1)=k 2+k-1=41)4(-+n n ⇒S n =4|2sin|)4(πn n n -+,S n =4)4(+n n -8)1(11--+n .故选(B).(文)已知正方体各面的中心,甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个,则构成两个三角形全等的概率是( ) (A)254 (B)259 (C)2513 (D)2516 解:正方体各面的中心中,任意3个点连成C 63=20个三角形,其中,正三角形8个,等腰直角三角形12个(3个正方形对角面).故概率P=23622)(128C +=2513.故选(C). 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11.(理)己知f(a)=3(a>0),则⎰+'adx x f x f x 0)]()([= .解:因函数x f '(x)+f(x)的原函数F(x)=xf(x)⇒⎰+'adx x f x f x 0)]()([=F(a)-F(0)=af(a)=3a. (文)若不等式|x-a|+3x ≤0(a>0)的解集为{x|x ≤-1},则实数a= . 解:令|x-a|+3x=0,且x=-1得|a+1|=3⇒a=2,-4(舍去)⇒a=2.12.(理)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n(n ≥6).若a 0,a 1,…,a n 中的最大数是a 5,则n= . 解:因T k+1=C n k(5x)k=5kC n k x k⇒a k =5kC n k(k=0,1,2,…,n);所以,a 5最大⇔⎩⎨⎧≥≥6545a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≥665544555555n n n nC C C C ⇔5≤n ≤531⇔n=5,6⇔n =6.(文)设双曲线2222b y a x -=1的离心率e ∈[332,2],则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 . 解:e ∈[332,2]⇔332≤21k +≤2⇔33≤k ≤3⇔300≤2α≤600⇔α的取值范围是[600,1200].13.(理)若a>0,b>0,且当x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+084062302y x y x y x 时,恒有ax+by ≤8,则b a 43+的最小值为 .解:约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≥-+084062302y x y x y x 表示的是△ABC 区域,其中A(2,0),B(0,2),C(4,3),目标函数z=ax+by 在C(4,3)处取得最大值4a+3b,所以4a+3b ≤8⇒b a 43+≥81(4a+3b)(b a 43+)=81(24+9a b +16b a )≥6,当且仅当9a b =16b a ,4a+3b=8,即a=1,b=34时,等号成立⇒ba 43+的最小值为6. (文)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .解:本题的实质是求数列{a n }:a 1=1,a n+1=a n (2n+1)的第4项;由a 1=1,a n+1=a n (2n+1)⇒a 2=3⇒a 3=15⇒a 4=105.故选(B). 14.(理)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 .解:由i=1,i=i+2⇒i=2i-1⇒本题的实质是求数列{a n }:a n =lg 1212+-n n 的前n 项和S n 的和满足S n <-1时,2n-1的值;由a n = lg1212+-n n =lg(2n-1)-lg(2n+1)⇒S n =lg1-lg(2n+1)=-lg(2n+1),所以,-lg(2n+1)<-1⇔lg(2n+1)>1⇔n ≥5⇒输出的结果为2n-1=9.故选(B).(文)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .解:由990:9900=1:100⇒普通家庭拥有3套或3套以上住房的家庭数=50×100=5000;又由100:1000=1:10⇒高收人家庭拥有3套或3套以上住房的家庭数=70×10=700⇒该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计=(5000+700) ÷100000=5.7%.15.(理)若随机变量ξ～N(1,σ2)(σ>0),给出下列命题:①E ξ=1;②D ξ=σ;③E ξ2=1+σ2;④若P(ξ≤0)=1-a,则P(|ξ-1|≤1)=a;⑤若P(ξ<2a)=P(ξ>a-1),则P(ξ≥a)=21.其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的编号). 解:由ξ～N(1,σ2)⇒E ξ=1,D ξ=σ2;又由D ξ=E ξ2-(E ξ)2⇒E ξ2=1+σ2;P(|ξ-1|≤1)=1-2P(ξ≤0)=1-2(1-a)=2a-1;由P(ξ<2a)=P(ξ>a-1)⇒2a+(a-1)=2⇒a=1⇒P(ξ≥a)=P(ξ≥1)=21.故选①③⑤. (文)若正实数a 、b 、x 、y 满足:22a x +22b y =1,则下列不等式对一切满足条件的a,b,x,y 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).①ab ≥2xy;②a 2+b 2≥(x+y)2;③a x +b y ≥2;④21x +21y ≥(a 1+b 1)2;⑤22x a +22yb ≥4. 解:①由1=22a x +22b y ≥2⋅ab xy ⇒ab ≥2xy;②由a 2+b 2=(a 2+b 2)(22a x +22by )=x 2+y 2+(a bx )2+(b ay )2≥x 2+y 2+2xy=(x+y)2;③由 2nm +≤222n m +⇒a x +b y ≤2;④由21x +21y =(21x +21y)(22a x +22b y )=(a 1)2+(b 1)2+(ay x )2+(bx y )2≥(a 1)2+(b 1)2+ab 2=(a 1+b 1)2;⑤由22x a +22y b =(22x a +22yb )(22a x +22b y )=2+(bx ay )2+(ay bx )2≥4.故填①②④⑤. 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)16.(理)在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c,cosA=cos(A+6π)cos(A-6π)+sin 2A-41. (Ⅰ)求角A 的值;(Ⅱ)若△ABC 的面积S △ABC =103,求AC AB ⋅的值. 解:(Ⅰ)由cosA=cos(A+6π)cos(A-6π)+sin 2A-41=(23cosA-21sinA)(23cosA+21sinA)+sin 2A-41=43cos 2A+43sin 2A-41= 21,且A ∈(0,π)⇒A=3π;(Ⅱ)由S △ABC =21bcsinA=43bc=103⇒bc=40⇒AC AB ⋅=bccosA=20. (文)已知向量OP =(2cos(2π+x),-1),OQ =(-sin(2π-x),cos2x),f(x)=OP ⋅OQ . (Ⅰ)解不等式:f(x)≥1;(Ⅱ)若a,b,c 分别是锐角△ABC 中角A,B,C 的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=13,求△ABC 的面积. 解:(Ⅰ)由f(x)=OP ⋅OQ =-2cos(2π+x)sin(2π-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=2sin(2x-4π),所以,f(x)≥1⇔ 2sin(2x-4π)≥1⇔sin(2x-4π)≥22⇔2k π+4π≤2x-4π≤2k π+43π⇔k π+4π≤x ≤k π+2π.故不等式:f(x)≥1的解集为[k π+4π,k π+2π](k ∈Z); (Ⅱ)f(A)=1⇒sin(2A-4π)=22⇒2A-4π=2k π+4π,或2A-4π=2k π+π-4π⇒A=k π+4π,或A=k π+2π⇒A=4π.由a 2=b 2+ c 2-2bccosA=(b+c)2-2(1+cosA)bc ⇒13=43+302-(2+2)bc ⇒bc=152⇒△ABC 的面积S=215. 17.(理)设a 为实数,函数f(x)=a 2x-lnx. (Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)求证:当a ≥1,且x>1时,a 12-x >lnx.解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=a 2-x1. (i)当a=0时,f '(x)=-x1<0⇒f(x)在(0,+∞)内单调递减⇒f(x)无极值; (ii)当a ≠0时,f '(x)=x a 2(x-21a )⇒f(x)在(0,21a )内单调递减,在(21a ,+∞)内单调递增⇒f(x)的极小值=f(21a)= 1+2ln|a|,f(x)无极大值;(Ⅱ)当a ≥1,且x>1时,a 12-x >lnx ⇔a 2(2x-1)>ln 2x ⇔a 2(2x-1)-ln 2x>0,令g(x)=a 2(2x-1)-ln 2x ⇒g '(x)=2(a 2-x1lnx) =x 2(a 2x-lnx),由(Ⅰ)知,当a ≥1时,f(x)=a 2x-lnx 在(1,+∞)内单调递增⇒f(x)>f(1)=a 2⇒g '(x)>xa 22>0⇒g(x)在(1,+∞)内单调递增⇒g(x)>g(1)=a 2>0⇒a 12-x >lnx.(文)过抛物线C:x 2=4y 上两点A 、B,分别作抛物线C 的切线交于点P. (Ⅰ)若直线AB 的方程为y=x+1,求点P 的坐标;(Ⅱ)若线段AB 的中点Q 恒在抛物线G:y=x 2上,求点P 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O). 解:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),由y=41x 2⇒y '=21x ⇒y '|x=1x =21x 1⇒切线PA:y-y 1=21x 1(x-x 1)⇒x 1x=2(y+y 1);同理可得:切线PB:x 2x=2(y+y 2);因点P(x 0,y 0)是切线PA 与PB 的交点⇒x 0x 1=2(y 1+y 0)、x 0x 2=2(y 2+y 0)⇒点A 、B 均在直线x 0x= 2(y+y 0)上⇒直线AB:x 0x=2(y+y 0),与y=x+1比较得:x 0=2,y 0=-1⇒点P(2,-1); (Ⅱ)由⎩⎨⎧=+=y x y y x x 4)(2200⇒x 2=2(x 0x-2y 0)⇒x 2-2x 0x+4y 0=0⇒x 1+x 2=2x 0⇒y 1+y 2=20x (x 1+x 2)-2y 0=x 02-2y 0;由线段AB 的中点Q 恒在抛物线G:y=x 2上⇒221y y +=(221x x +)2⇒(x 1+x 2)2=2(y 1+y 2)⇒(2x 0)2=2(x 02-2y 0)⇒x 02=-2y 0⇒点P 的轨迹方程是x 2=-2y. 18.(理)如图所示,已知单位正方体ABCD −EFGH 的棱AD 和BC 上分别有动点Q,P.若直线PQ 和BD 交于点N,直线GQ 和平面BDE 交于点 M,BE 的中点是S.(Ⅰ)求证:D,M,S 三点共线;(Ⅱ)设AQ=a,BP=t,(0≤a,t ≤1),求MN; (Ⅲ)对于给定的a,求MN 的最小值.解:(Ⅰ)D,M,S 三点在平面BDE 内,又因D,M,S 三点在平面AFGD 内⇒D,M,S 三点在两平面的交线上⇒D,M,S 三点共线; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,则E(1,0,0),G(0,1,0),B(0,0,1),D(1,1,1),Q(1,a,1),P(0,t,1),S(21,0,21);由BN =λBD ⇒N(λ,λ,1),由BN =μBP +(1-μ)BQ ⇒λ=1-μ,λ=μt+(1-μ)a ⇒λ=(1-λ)t+λa ⇒λ=1+-a t t ⇒N(1+-a t t, 1+-a t t,1);设M(x,y,z),则GM =(x,y-1,z),GQ =(1,a-1,1),由GM ∥GQ ,设x=k ⇒y=ka+1-k,z=k ⇒M(k,ka+1-k,k);由DM ∥DS ⇒2k-2=ka-k ⇒k=a -32⇒M(a -32,a a -+31,a -32)⇒|MN|=222)321()311()321(aa a a t t a a t t --+-+-+-+--+-= 222)3(261332)1(2a a a t t a a a t t -+++-⋅-+⋅-+-; (Ⅲ)要使|MN|最小,须使MN ⊥BD ⇒MN ⋅BD =0⇒21+-a t t =a -32+a a -+31⇒1+-a t t =)3(23a a-+⇒|MN|的最小值=26⋅ aa --31. (文)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的41,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本,试确定: (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分 别所占的比例;(Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分 别应抽取的人数. 19.(理)已知椭圆C:42x +32y =1,过x 轴上一点P(在椭圆C 外)的动直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点(M 在P 、N 之间),椭圆C 在点M 、N 处的切线交于点Q,与x 轴分别交于点B 、A. (Ⅰ)求证:OQ OP ⋅为定值;(Ⅱ)过N 点与x 轴垂直的直线与AM 交于点T,过点M 与x 轴垂直的直线与BN 交于点S,求证:P 、S 、T 三点共线. 解:(Ⅰ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),Q(x 0,y 0),由椭圆C 在点M 、N 处的切线:41x x +31y y =1、42xx +32y y =1;又由切线均过点Q(x 0,y 0)⇒410x x +310y y =1、420x x +320y y =1⇒直线MN:40x x +30y y =1,令y=0得:x=04x ⇒P(04x ,0)⇒OQ OP ⋅=x 0⋅04x =4为定值; (Ⅱ)由切线AN:42x x +32y y =1⇒A(24x ,0),切线BM:41x x +31y y =1⇒B(14x ,0);又由直线AM:y=42112-x x y x (x-24x )⇒T(x 2, 4)4(21122--x x y x )⇒k PT =)4)(4()4(21201220---x x x x y x x ,直线BN:y=42121-x x y x (x-14x )⇒S(x 1,4)4(21221--x x y x )⇒k PS =)4)(4()4(21102210---x x x x y x x ;所以,P 、S 、T 三点共线⇔k PT =k PS ⇔)4)(4()4(21201220---x x x x y x x =)4)(4()4(21102210---x x x x y x x ⇔4)4(20122--x x y x =4)4(10221--x x y x ⇔43420122--x x y y =43410221--x x y y ⇔4202-x x y =4101-x x y ⇔4)41(320020--x x x x y =4)41(310010--x x x x y 成立. (文)如图,在三棱锥T-ABC 中,AC 、BC 、TA 、TB 的中点分别为D 、E 、M 、N, TD 与CM 交于点P,TE 与CN 交于点Q. (Ⅰ)求证:PQ ∥平面ABC;(Ⅱ)若AB ⊥AC,∠TAB=∠TAC=600,AT=32,求直线PQ 与平面ABC 的距离.解:(Ⅰ)由AC 、BC 、TA 、TB 的中点分别为D 、E 、M 、N ⇒DE ∥AB,MN ∥AB ⇒MN ∥DE(MN 不在平面TDE 内)⇒MN ∥平面TDE,又因直线PQ 是过直线的MN 平面CMN 与平面TDE 的交线⇒MN ∥PQ ⇒PQ ∥DE ⇒PQ ∥平面ABC;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,PQ ∥平面ABC,所以,直线PQ 与平面ABC 的距离=点P 到平面ABC 的距离d;作TH ⊥平面ABC 于H,由AB ⊥AC,∠TAB=∠TBC=600⇒∠CAH=∠BAH=450⇒cos ∠CAHcos ∠TAH=cos ∠TAC ⇒cos450cos ∠TAH=cos600⇒cos ∠TAH=22⇒TH= ATsin ∠TAH=32⋅22=3;又由点D 、M 分别为AC 、AT 的中点⇒P 是△ACT 的重心⇒d:AH=DP:DT=1:3⇒d=1⇒直线PQ 与平面ABC 的距离=1.20.(理)定义在R 上的函数f(x)满足:①f(0)=0;②对任意x 、y ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),都有f(x 1)+f(y 1)=f(xyyx ++1);③当x ∈(-1,0)时,都有f(x)>0.求证:(Ⅰ)函数f(x)是(-1,1)上的单调递减的奇函数; (Ⅱ)f(191)+f(291)+…+f(11712++n n )>f(21). 解:(Ⅰ)在f(x 1)+f(y 1)=f(xyyx ++1)中,令y=-x 得:f(x 1)+f(-x 1)=f(0)=0⇒f(x)在(-1,1)上是奇函数;当-1<x 1<x 2<0时,则由(1+x 1)(1-x 2)>0⇒x 1-x 2>x 1x 2-1⇒-1<12112--x x x x <0⇒f(12112--x x x x )>0⇒f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211111x x x x --)=f(12112--x x x x )>0⇒f(x 1)>f(x 2)⇒f(x)在(-1,0)上单调递减⇒f(x)在(0,1)上单调递减⇒函数f(x)是(-1,1)上的单调递减的奇函数;(Ⅱ)由函数f(x)是(-1,1)上的单调递减的奇函数⇒当x ∈(0,1)时,f(x)<f(0)=0⇒f(41+n )<0⇒f(11712++n n )= f(1)4)(3(1-++n n )=f()4)(3(11)4)(3(1++-++n n n n )=f()41(311)41(31+-+++-++n n n n )=f(31+n )+f(-41+n )=f(31+n )-f(41+n )⇒f(191)+f(291)+…+f(11712++n n )=f(41)-f(41+n )>f(41)>f(21).(文)设f(x)=x-sinx. (Ⅰ)求f(x)的零点个数; (Ⅱ)当-1<x<1时,证明:xlnx x -+11+cosx ≥1+22x . 解:(Ⅰ)由f(x)=x-sinx ⇒f '(x)=1-cosx ≥0⇒f(x)在R 上单调递增,又因f(0)=0⇒f(x)的零点个数=1.(Ⅱ)注意到,y=xln x x -+11+cosx 与y=1+22x 均是偶函数,故只需证:当0≤x<1时,xln x x -+11+cosx ≥1+22x ;令g(x)=xln x x -+11+cosx-1-22x (-1<x<1),则g '(x)=ln x x -+11+x ⋅x x +-11⋅2)1(11x x x -++--sin-x=xln x x -+11+x 2211x x -+-sinx;当0≤x<1时,显然x x -+11>1,2211x x -+>1,lnx x -+11>0,x-sinx>0⇒g '(x)>x-sinx>0⇒g(x)单调增加⇒g(x)≥g(0)=0⇒xln x x -+11+cosx ≥1+22x . 21.(理)某大学外语系一年级举行一次英语口语演讲比赛,共有10人参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.并采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,演讲序号分别为1,2, (10)(Ⅰ)求一班的3位同学演讲序号恰好相连,二班的2位同学的演讲序号不相连的概率;(Ⅱ)设一班的3位同学演讲序号分别为x 1,x 2,x 3,ξ=|x 2-x 1|+|x 3-x 2|,求ξ的分布列和数学期望.解:(Ⅰ)10位同学的排列数为A 1010,要使一班的3位同学演讲序号恰好相连,二班的2位同学的演讲序号不相连,首先排一班的3位同学,有A 33种排法,把它视为一个元素,与其他班的5位同学,计6个元素再排,有A 66种排法,再在每个排列中的7个空中选2个排二班的2位同学,有A 72种排法⇒概率=1010276633A A A A =201; (Ⅱ)不妨设x 1<x 2<x 3,则ξ=|x 2-x 1|+|x 3-x 2|=(x 2-x 1)+(x 3-x 2)=x 3-x 1,且ξ=2,3,4,5,6,7,8,9;“ξ=2”对应的事件为“一班的3位同学演讲序号恰好相连”⇒P(ξ=2)=10108833A A A =151;“ξ=3”对应的事件为“一班的3位同学的排列两端的两位同学之间还有1位其他班的同学”⇒P(ξ=3)=101077221723A A A C A =607,同理可得,P(ξ=4)=101066332723A A A C A =203,P(ξ=5)=101055443723A A A C A =61, P(ξ=6)=101044554723A A A C A =61,P(ξ=7)=101033665723A A A C A =203,P(ξ=8)=101022776723A A A C A =607,P(ξ=9)=101011887723A A A C A =151⇒E ξ=2×151+3 ×607+4×203+5×61+6×61+7×203+8×607+9×151=11(151+607+203+61)=211.(文)己知实数c ≥0,曲线C:y=x 与直线l:y=x-c 的交点为P(a,a )(异于原点O),在曲线C 上取一点P 1(x 1,y 1),过点P 1作P 1Q 1平行于x 轴交直线l 于点Q 1,过点Q 1作Q 1P 2平行于y 轴,交曲线C 于点P 2(x 2,y 2),过点P 2作P 2Q 2平行于x 轴交直线l 于点Q 2,过点Q 2作Q 2P 3平行于y 轴,交曲线C 于点P 3(x 3,y 3),如此下去,得到点列{P n (x n ,y n )}.设x 1=b,且0<b<a. (Ⅰ)试用c 表示a,并证明a ≥1; (Ⅱ)证明:x n+1=n x +c (Ⅲ)证明:x n <x n+1<a; 解:(Ⅰ)由a =a-c ⇒(a -21)2=c+41⇒a -21=±214+c ⇒a =21±214+c (由a ≥0⇒负号舍去)⇒a=21(1+2c+14+c )≥1;(Ⅱ)由P n (x n ,n x )⇒Q n (n x +c,n x )⇒P n+1(n x +c,c x n +)⇒x n+1=n x +c;(Ⅲ)①由x 2=1x +c ⇒x 2-x 1=(1x +c)-x 1=(b +c)-b=(b +a-a )-b=(a -b )(a +b -1)(a>b ⇒a -b >0;a ≥1⇒a +b -1>0)>0⇒x 2>x 1;②假设x k+1>x k ,由x k+2-x k+1=(1+k x +c)-(k x +c)=1+k x -k x >0⇒x k+2>x k+1⇒x n+1>x n ;①由x 1=b<a;②假设x k <a,由x k+1=k x +c=k x +(a-a )<a +(a-a )=a ⇒x n <a.综上,x n <x n+1<a 。