北师大九年级(上)数学教案(表格形式,) 3.1平行四边形1
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形优秀教学案例
2.分配具有针对性的任务，让学生在实践中掌握特殊的平行四边形的性质。
3.注重小组合作过程中的指导，引导学生正确运用性质定理，提高学生的证明能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身存在的问题，及时调整学习方法。
3.通过示例，讲解特殊的平行四边形的证明方法，引导学生学会运用性质定理进行证明。
4.运用多媒体教学手段，展示特殊的平行四边形的空间结构，培养学生的空间想象能力。
（三）学生小组讨论
1.分配具有针对性的任务，让学生在小组内共同探讨特殊的平行四边形的性质。
2.鼓励学生相互交流、合作探究，共同解决问题。
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助，引导学生正确运用性质定理。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
2.掌握特殊的平行四边形的证明方法，能够运用性质定理进行证明。
3.学会运用特殊的平行四边形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.培养学生的空间想象能力，能够通过实物模型、图形等展示特殊的平行四边形的性质。
2.设计有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中自然引入特殊的平行四边形的学习。
3.创设互动式教学环境，让学生在课堂上充分参与，激发学生的学习积极性。
（二）讲授新知
1.引导学生回顾平行四边形的性质，为新知识的学习打下基础。
2.讲解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
5.通过本章节的学习，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
三、教学策略
(共127页)北师大九年级上数学教案 (全册)教学设计
第一章特殊的平行四边形本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形.通过平行四边形角、边的特殊化, 研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形, 认识这些概念之间的联系与区别, 明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理, 进一步明确命题及其逆命题的关系, 不断发展学生的合情推理和演绎推理能力.本章研究特殊的平行四边形, 图形比较多, 而且图形的性质定理和判定定理也比较多.教科书呈现这些内容时, 注意突出图形性质和判定的探索与发现过程, 由观察度量、实验操作、图形变换等方式, 通过合情推理发现结论, 形成猜想, 运用演绎推理证明猜想.通过平行四边形的变形——角的变化, 一个角为直角, 探究并发现矩形的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性, 探究并发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质.学生通过观察度量、实验操作、图形变换等, 运用合情推理, 探究并发现结论, 形成猜想, 进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明, 得出图形的性质.把合情推理和演绎推理有机结合起来.菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们的性质定理和判定定理的研究方法, 与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承.§1.1 菱形的性质与判定（第一课时）教学目标:1.经历菱形的概念、性质的发现过程2.掌握菱形的概念3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”5.探索菱形的对称性教学重点、难点重点:菱形的性质．难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．教学过程一. 引入: 用多媒体显示下面的图形观察以下由火柴棒摆成的图形议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗?(2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.定理1:菱形的四条边都相等这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O.求证:AC ⊥ BD ,AC平分∠BAD 和∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC分析:由菱形的定义得△ABD是什么三角形？ BO与OD有什么关系？根据什么？由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）∴AC⊥BD , AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）同理, AC平分∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC∴对角线AC和BD分别平分一组对角由定理2可以得出菱形是轴对称图形, 它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.另外, 还可以从折叠来说明轴对称性.同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质.菱形还具有平行四边形的所有共性, 比如:菱形是中心对称图形, 对称中心为两条对角线的交点. 三．应用例1．在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交与点O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC的长.分析:本题是菱形的性质定理2的应用, 由∠BAC= 30°,得出△ABD为等边三角形, 就抓住了问题解决的关键.解:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）又∵∠BAC= 30°∴∠BAD= 60°∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=6又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2∴AO= AC=2AO=四．巩固:教科书第141页课那练习1、2ODCBAODCBA五．小结:1、通过本节课的学习, 你有什么收获？还有哪些困惑？2、本节课的主要内容是:一个定义（菱形的定义）, 二条定理（菱形的性质定理）, 二个结论（菱形是轴对称图形, 又是中心对称图形）. 六．作业:教学反思:§1.1 菱形的性质与判定（第二课时）教学目标1．经历菱形的判定定理的发现过程.2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”.3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.4．通过运用菱形知识解决具体问题, 提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系, 向学生渗透集合思想．教学重点、难点重点:菱形的判定定理．难点:菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力, 又要有较强的逻辑思维能力．教学过程(一)、复习引入1、提问菱形的定义和性质.定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形.性质:除具备一般平行四边形的性质外, 还具备四条边相等,对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？定义, 此外还有两种判定方法, 今天我们就要学习菱形的判定.（板书课题）(二)、创设情境, 引入新课1、合作学习:学生拿出准备好的长方形纸片, 按大屏幕展示的方法对折两次, 并沿（3）中的斜线剪开, 展开剪下的部分, 猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？剪出的图形四条边都相等, 根据这个条件首先证它是平行四边形, 再证一组邻边相等, 依定义即知为菱形．结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形（板书）(三)、交流互动, 探求新知1、已知:如图, 在ABCD中, BD⊥AC, O为垂足.求证:ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）.∵BD⊥AC,∴AD＝CD∴ABCD是菱形（菱形的定义）.结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等.结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.(四)、应用新知, 巩固练习1、课本“课内练习”2、思考题:如图, △ABC中, ∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D, AH、DF 都垂直于BC, H、F为垂足, 求证:四边形AEFD为菱形.AB CDEFH(五)、课堂小结, 布置作业1、本节的主要内容是:菱形常用的判定方法1）．一组邻边相等的平行四边形．2）．四条边相等的四边形．3）.对角线互相垂直的平行四边形． 4）.对角线互相垂直平分的四边形2、作业:教学反思补充练习:一、选择题.1、已知菱形两个邻角的比是1:5, 高是8cm, 则菱形的周长是（）.A. 16cmB. 32cmC. 64cmD. 128cm2、已知菱形的周长为40 cm, 两对角线长的比是3:4, 则两对角线的长分别是（）.A. 6cm、8cmB. 3cm、4cmC. 12cm、16cmD. 24cm、32cm3、如图:在菱形ABCD中, AE⊥BC, AF⊥CD, 且E、F分别为BC、CD的中点,那么∠EAF等于（）.A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°4、棱形的周长为8.4cm, 相邻两角之比为5:1, 那么菱形一组对边之间的距离为（）A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 下列条件中, 不能判定ABCD是菱形的是（）.A. AB=ADB. AC⊥BDC. ∠A=∠DD.CA平分∠BCD7、下列命题中, 真命题是（）.A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形.B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形.C. 对角线互相垂直的矩形是菱形.D. 菱形的对角线相等.8、菱形是轴对称图形, 对称轴有（）.A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为______.10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________.11、一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.GA12、已知:如图, 在菱形ABCD中, E、F分别是BC、CD上的点, 且CE=CF.过点C作CG∥EA交AF于H, 交AD于G, 若∠BAE=25°, ∠BCD=130°, 求∠AHC的度数.13、如图所示, 已知菱形ABCD中E在BC上, 且AB=AE, ∠BAE=21∠EAD, AE 交BD于M, 试说明BE=AM.14、如图, 在△ABC中, AB=BC, D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点, （1）求证四边形BDEF是菱形.（2）若AB=12cm, 求菱形BDEF的周长？15、已知:如图, △ABC中, ∠BAC的平分线交BC于点D, E是AB上一点, 且AE=AC, EF∥BC交AD于点F, 求证:四边形CDEF是菱形.16. 如图, 平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O, 求证:四边形AFCE是菱形.17、已知:如图, C是线段BD上一点, △ABC和△ECD都是等边三角形, R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点, 求证:四边形RFGH是菱形.18、如图, 已知在△ABC中, AB=AC, ∠B, ∠C的平分线BD、CE相交于点M, DF∥CE, EG∥BD, DF与EG交于N, 求证:四边形MDNE是菱形.19.已知:如图, 四边形ABCD是菱形, E是BD延长线上一点, F是DB延长线上一点, 且DE=BF．请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成RHGFEDCBA一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接AF ；（2）猜想: AF = AE ；（3）证明:（说明:写出证明过程的重要依据）分析:观察图形应该是连接AF, 可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．20．如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A、B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？21、如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD、BF⊥CD, 垂足分别为E、F．（1）求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．22.如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解, 需要熟练掌握．23、如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证:DE=BE点评:此题考查了菱形的性质, 直角三角形的性质等知识．此题难度不大, 注意数形结合思想的应用．24、在矩形ABCD中, O是对角线AC的中点, EF是线段AC的中垂线, 交AD、BC于E、F.求证:四边形AECF是菱形25、四边形ABCD是矩形, 四边形AECF是菱形, 若AB=2cm, BC=4cm, 求四边形AECF 的面积.§1.2 矩形的性质与判定(第一课时)一、教学目标1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．二、教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 三、概念:1．矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）.2．矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质. （1）角:四个角都是直角. （2）对角线:互相平分且相等. 3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形. （2）对角线相等的平行四边形. （3）有三个角是直角的四边形.4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形, 对称轴有2条, 是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线.5.矩形的周长和面积:矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽）★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等.（2）矩形是轴对称图形, 两组对边的中垂线是它的对称轴.四边形平行四边形矩形菱形为一角90°一组邻边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等四、讲课过程:【经典例题:】例1:已知:O是矩形ABCD对角线的交点, E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点, AE=BF=CG=DH, 求证:四边形EFGH为矩形.分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明例2:判断（1）两条对角线相等四边形是矩形（）（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）（3）有一个角是直角的四边形是矩形（）（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（）分析及解答:（1）如图四边形ABCD中, AC=BD, 但ABCD不为矩形, ∴×（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形, ∴对角线相等的平行四边形为矩形∴√（3）如图,四边形ABCD中, ∠B=90°, 但ABCD不为矩形∴×（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等∴×,如图,【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形, 下列条件正确的是（）A．对角线相等 B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等.2．矩形的两边长分别为10cm和15cm, 其中一个内角平分线分长边为两部分, 这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm 和8cm3.在下列图形性质中, 矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点, AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12, 则斜边上的中线等于 .7.矩形的两条对角线的夹角是60°, 一条对角线与矩形短边的和为15, 那么矩形对角线的长为 , 短边长为 .8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝, 则其对角线为 ㎝, 矩形面积为 cm 2.9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°, 则两条对角线相交所成的锐角是 .10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°, 矩形的短边长为5 cm, 则对角线之长为 cm.11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点, ∠AOB=2∠BOC, 若对角线AC 的长为18 cm, 则AD= cm.12、已知:如图所示, 矩形ABCD 中, E 是BC 上的一点, 且AE=BC,︒=∠15EDC ．求证:AD=2AB ．教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第二课时)教学目标知识与技能:通过探索与交流, 逐渐得出矩形的判定定理, 使学生亲身经历知识的发生过程, 并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题, 尝试从不同角度寻求解决问题的方法.过程与方法: 通过动手实践、合作探索、小组交流, 培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力.情感态度与价值观:在良好的师生关系下, 创设轻松的学习氛围, 使学生在数学活动中获得成功的体验, 增强自信心, 在合作学习中增强集体责任感. 教学重点与难点重点:探索矩形判定定理的过程及应用 难点:矩形判定定理的应用ABECD教学过程环节一:创设情境、导入新课通过上节课对矩形的学习, 谁能回答以下问题1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形, （2）再看它有无直角.2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾, 引出判定矩形除了定义外, 还有哪些方法, 导入新课.）环节二:尝试发现, 探索新知活动一:1、先请同学仅用手中量角器量一下图形(甲)(乙)中的四边形的角（有几个直角）.甲乙2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形, 并说明理由.（此问题的解决以动手实践, 合作交流的形式进行, 学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义, 得出矩形的判定定理一.教师以合作者的身份深入学生中, 了解学生的探究进程并适当给予点拨.）最后教师进行适当板书进行推证、讲解.在此过程中, 全体同学可互相补充、互相评价, 培养学生的语言表达能力、推理能力.活动二:教师提问:矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下, 让学生下例步骤进行探索.1、画任意两条长度相等的相交线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？3、画两条长度相等并且互相平分的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形, 并说明理由.最后通过教师演示动画, 师生进行适当交流、归纳、讲解, 得出矩形的判定定理二.（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行, 通过此种互动过程, 让全体学生参与其中, 获得不同程度的收获, 体验成功的喜悦）活动三:矩形的判定定理二的证明.已知:在平行四边形ABCD中, AC＝BD,求证:平行四边形ABCD是矩形.对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流.(1)条件与结论各是什么？(引出条件与结论的关系)(2)使一个平行四边形是矩形, 已学过什么方法？(引出矩形的定义证明)(3)要证明一个角是直角, 根据平行四边形相邻两个角互补, 只需证明什么？(引出证明两个三角形全等)(4)如何选择要证明两个三角形全等, 它们的条件是否满足？最后由学生说出整个证明的过程, 教师进行适当的点评与板书.当判定定理一、定理二得出后, 让学生总结矩形的三种判定方法(定义, 定理一与定理二), 并对题设进行比较、区分, 使学生进一步明确定理应用的条件.环节三:应用辨析, 巩固定理为了帮助学生巩固定理, 应用如下:应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形, 你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？(这一题是由引入判定定理二改编而成的, 主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题.)应用二、例题讲解一张四边形纸板ABCD形状如图, 它的对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形, 并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上, 可怎么剪？对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验, 使学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线, 然然后运用中位线定理, 这样就解决了这个问题.应用三、练习一、判断题:1、内角都相等的四边形是矩形.2、对角线相等的四边形是矩形.3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形.4、一组邻角相等的平行四边形是矩形.5、对角互补的平行四边形是矩形.练习二:如图AC, BD是矩形ABCD的两条结角线,AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形.教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第三课时)教学目标1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.教学重点、难点重点:本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用．难点:定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教DOCB AH EGFC OBA D多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点． 教学过程】 一. 复习旧知:1. 矩形的定义.2. 矩形的两个性质定理.3. 矩形的两个判定定理.4. 师生一起回答:有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.5. 师生共同回忆:”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 二. 新课讲授:1. 下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.启发引导如下:1.帮助学生根据题意,画出图形. 2. 根据图形,写出已知和求证.(上游生回答).3. 回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题. (上游生回答).4. 如何在图中画出2倍的CD. (中游生回答).5. 延长CD 到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等. (中游生回答).6. 现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法. (上游生回答). 已知:如图,在RT ⊿ABC 中,∠ACB=RT ∠,CD 是斜边AB 上的中线,求证:CD=21AB 证明:延长CD 到E,使DE=CD,连接AE,BE.CD 是斜边AB 上的中线.∴ AD=DB又 CD=DE∴四边形AEBC 是平行四边形.∠ACB=RT ∠, ∴四边形AEBC 是矩形(矩形的定义). ∴CE=AB(矩形的对角线相等), ∴ CD=21AB 三 .巩固练习1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）.A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分 2.如图, 在矩形ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5, AC=13, 则矩形ABCD 的面积__.B D E A ABCDEMFPH DCBA 3．已知, 矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直, 且该矩形的周长为24 cm, 则矩形的面积为 cm 2.4．如图所示, 在矩形ABCD 中, AB=2BC, 在CD 上取一点E, 使AE=AB, 则∠EBC= .5．如图, 已知△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点, DE ⊥AB, DF ⊥AC, BM 为高, 求证:DE+DF=BM.6.如图, ABCD 是矩形纸片, 翻折∠B 、∠D , 使BC 、AD 恰好落在AC 上.设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点, E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点.（1）求证:四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm , BC ＝3cm , 求线段EF 的长.7、已知:如图, 在△ABC 中, AB=AC, AD ⊥BC, 垂足为点D, AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线, CE ⊥AN, 垂足为点E, 求证:四边形ADCE 为矩形.8、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.9、如图, 矩形ABCD 中, E 为AD 上一点, EF ⊥CE 交AB 于F, 若DE=2, 矩形ABCD 的周长为16, 且CE=EF, 求AE 的长．10、已知:如图, 平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E, F, G, H, 求证:四边形EFGH 是矩形.11、已知:如图, 四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的, M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证:四边形BMDN 是矩形．BAC D N M12、如图, 已知在四边形ABCD中, AC DB交于O, E、F、G、H分别是四边的中点,求证:四边形EFGH是矩形．四.小结:1.通过这节课的学习,你有什么收获?(请各个层次的同学回答).2.还有什么困惑需要我们共同解决?教学反思:§1.3 正方形的性质与判定教学目标1、掌握正方形的概念2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程, 了解正方形与矩形、菱形的关系3、掌握正方形的性质4、掌握正方形的判定5、进一步加深对特殊与一般的认识教学重点、难点重点:正方形的性质与判定．难点:正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．教学过程一、情景引入出示一块方巾, 它是什么几何图形？(正方形)中国人对正方形有特殊的感情, 如“坦荡方正”, “天圆地方”等词语, 还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示）, 今天我们就来研究正方形二、探索新知这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？与一般的平行四边形相比, 它有何特殊性？与一般的矩形相比, 它有何特殊性？与一般的菱形相比, 它又有何特殊性？三、梳理新知结合学生的发现, 师生共同归纳出以下几点:有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形既是特殊的矩形, 又是特殊的菱形, 故正方形具有矩形、菱形的性质性质:四个角都是直角, 四条边相等对角线相等, 并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角判定:一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形四、巩固新知1、例题例1:如图:△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.HGOFEDCBA解∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）∴∠ DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）,又∵ DE=DF（已证）∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．例2:已知:如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点, 并且AA'=BB'=CC'=DD'求证:四边形A'B'C'D'是正方形分析:法一:①先证明四边形A′B′C′D′是菱形②再证明四边形A′B′C′D′有一个角是直角法二:①先证明四边形A′B′C′D′是矩形②再证明四边形A′B′C′D′有一组邻边相等.证明:∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`AD`=AB`=BC`=CD`∴四边形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`, ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90 °∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四边形A`B`C`D`是正方形例3:如图:EG 、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH,求证四边形EFGH 为正方形解答: ∵正方形ABCD EG⊥FH∴∠OAH＝∠OBE＝45º, DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE,∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE.同理OE＝OF＝OG ＝ OH,∴四边形EFGH是平行四边形∴ FH=EG∵EG⊥FH ∴四边形EFGH为正方形.2、巩固练习１、如图, 分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO, 使AO=OC, BO=OD求证:四边形ABCD是正方形。
北师大版数学九年级上册3.1《平行四边形》教学设计1
北师大版数学九年级上册3.1《平行四边形》教学设计1一. 教材分析平行四边形是九年级上册数学的一个重要内容，主要让学生掌握平行四边形的性质，包括对边相等、对角相等、对边平行等。
同时，让学生学会用这些性质解决实际问题。
本节课的教学内容共有3课时，本节课为第一课时，主要讲解平行四边形的定义及其性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于图形的认识和性质的探究已经有了一定的基础。
但是，对于平行四边形的性质及其应用，部分学生可能还比较模糊，因此在教学过程中需要注重引导学生理解和运用。
三. 教学目标1.让学生理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质。
2.培养学生用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.平行四边形的定义及其性质。
2.如何用平行四边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行四边形，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.探究教学法：引导学生自主探究平行四边形的性质，培养学生的探究能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在合作中学习，提高团队协作能力。
4.案例教学法：通过典型例题，让学生学会用平行四边形的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.课件：制作平行四边形的定义、性质及应用的课件。
2.例题：挑选一些典型的例题，用于讲解和练习。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活实例，如教室的黑板、篮球场上的篮板等，引导学生观察这些实例，并提出问题：“这些图形有什么共同的特点？”让学生思考并回答，从而引入平行四边形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍平行四边形的定义，并用课件展示平行四边形的性质，如对边相等、对角相等、对边平行等。
同时，引导学生理解这些性质的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出5个符合平行四边形定义的图形，并验证这些图形的性质。
北师大版九年级数学上册全册教案
第一章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质【知识与技能】理解菱形的概念，掌握菱形的性质.【过程与方法】经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.【情感态度】培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.【教学重点】理解并掌握菱形的性质.【教学难点】形成推理的能力.一、情境导入,初步认识四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行全班性交流.引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.思考：1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3.对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情.【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.三、运用新知，深化理解1.见教材P3第1题.2.见教材P3例1 .3.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A.15B.153 2C.7.5D.153【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形的一条对角线等于菱形的边长.4.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.求证：DE=12 BE.分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE=12 BE.证明：方法一：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，∴DE=12 BE.方法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE的中点，∴DE=BC=12 BE.【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1.【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2 题.2.完成练习册中相应练习.本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.第2课时菱形的判定【知识与技能】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.【过程与方法】经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法.【情感态度】培养良好的思维意识以及推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】菱形的两个判定方法.【教学难点】判定方法的证明及运用.一、情境导入，初步认识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形.（2）菱形的性质：性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角.（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.用以温故而知新.二、思考探究，获取新知活动1按下列步骤画出一个平行四边形：(1)画一条线段长AC=6cm；(2)取AC的中点O,再以点O为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD⊥AC；(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形?【归纳结论】菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.【教学说明】首先教师活动让学生观察，然后让学生自己动手亲自体验活动从而猜想出结论来.已知：在□ABCD中，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC ⊥BD，∴□ABCD是菱形.活动2画一画：作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.【教学说明】让学生亲自动手体验活动，猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.三、运用新知，深化理解1.见教材P6例2 .2.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG 与FH交点于O，则图中的菱形共有（B）A.4个B.5个C.6个D.7个3.下列说法正确的是（B）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD.求证：AD=CE；证明：∵MN是AC的垂直平分线.∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE.5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠ACE=∠ECF，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC，∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAG =∠CFG =∠B，∴GF∥AE，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，故四边形AGFE是平行四边形又∵AG=GF（或AE=EF），∴平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.【教学说明】让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.四、师生互动、课堂小结1.师生共同回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.第3课时菱形的性质与判定的运用【知识与技能】能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.【过程与方法】经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想.【情感态度】培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】利用菱形性质定理与判定定理解决一些相关问题.【教学难点】菱形性质的探究.一、情境导入，初步认识活动：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形的一个内角吗？【教学说明】通过折纸活动激发学生的兴趣，同时对于菱形的相关判定方法也进行了巩固.二、思考探究，获取新知如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？拓展：若纸条的宽度是4cm ，∠ABC=60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流.【归纳结论】菱形面积的计算公式：①如图，S 菱形ABCD =AB ·DE ，即菱形的面积等于底乘高；②S 菱形ABCD =12AC ·BD ，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.【教学说明】对菱形性质的归纳是学生对菱形特征的认识、是知识的一次升华，有助于培养学生的概括能力，突出教学重点.三、运用新知，深化理解如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的重点.（1）求证：四边形BDEF 是菱形；（2）若AB=10cm ，求菱形BDEF 的周长.解：（1）证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点，∴EF=12BC ，EF ∥CB. 又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴DE=12AB ，DE ∥AB, ∴四边形BDEF 是平行四边形.又∵AB=BC ，∴EF=DE ，∴四边形BDEF 是菱形.（2）∵F 是AB 的中点，∴BF=12AB.又∵AB=10cm，∴BF=5cm.∵四边形BDEF是菱形，∴BD=DE=EF=BF，∴四边形BDEF的周长为4×5=20（cm）.【教学说明】菱形的性质与判定的综合应用，一般先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的区别与联系.四、师生互动、课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念.2 矩形的性质与判定第1课时矩形的性质【知识与技能】了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.【过程与方法】经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.【情感态度】培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用.【教学难点】理解矩形的特殊性.一、情境导入，初步认识将收集来的有关长方形的图片给学生观察，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.二、思考探究，获取新知1.拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形?【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点.【归纳结论】矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.3.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？4.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，求AO与BD的数量关系.【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【教学说明】引导学生尽可能多地发现结论，养成善于观察的好习惯.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.分析：因为矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.2.已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm ，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.解：（1）设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=（x+4）2，解得x=6. 则AD=6cm.（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE·DB＝AD·AB，解得AE ＝4.8cm.3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.分析：CE、EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）.∴AF=BE.∴EF=EC.此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.【教学说明】给予学生足够的时间，让学生独立思考，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.4.若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20 cm.解：本题需分两种情况解答.即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm.当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm.【教学说明】本题考查的是矩形的基本性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形的性质.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.4”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生的视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生更容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握.第2课时矩形的判定【知识与技能】1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.【过程与方法】经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.【情感态度】培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.【教学难点】定理的证明方法及运用.一、情境导入，初步认识事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.二、思考探究，获取新知动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.思考：1.随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做准备.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.证明：（见教材P14例题）矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】培养学生的归纳总结能力，同时也训练了学生的语言表达能力和分析问题的能力.三、运用新知，深化理解1. 对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.解析：矩形的判定定理有：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形.2.下列说法正确的是（D ）A.一组对边平行且相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形解析：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C 错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.【教学说明】让学生口答第1、2道题，训练学生的语言表达能力.3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形.解：∵∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形.【教学说明】在黑板上展示第3题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说明得到的矩形判定进行的重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高.第3课时矩形的性质与判定的运用【知识与技能】熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【过程与方法】经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别.【情感态度】通过严谨的推理，强化学生的规范意识.【教学重点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【教学难点】利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化.一、情境导入，初步认识如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.【教学说明】通过例题感受知识的应用的同时体会知识之间的联系及转化，并通过规范的步骤强调教学推理的严谨性.二、思考探究，获取新知已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.【思考】在上例中，连接DE，交AC于点F.（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.【教学说明】让学生感受矩形与等腰三角形之间的联系，感受知识转化在解决问题中的作用.三、运用新知，深化理解1.见教材P16~P17例3.2.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O的直线EF分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（B ）3.（一题多解）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？解：解法一：能.如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H.可得四边形PHDE是矩形，∴PE=DH，PH∥BD∴∠HPC=∠B又∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠HPC=∠FCP.又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°∴△PHC≌△CFP∴PF=HC∴DH+HC=PE+PF即：DC=PE+PF.解法二：能.如图，延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为点H，如图所示，可得四边形HEDC是矩形，∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB∴∠HCP=∠B.∴△PHC≌△PFC∴PH=PF∴PE+PF=DC.【教学说明】通过应用性的练习，巩固基础知识的同时，感受知识的综合运用在解题过程中的重要性，使所学知识进行深化.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课在复习前一节课内容的基础上利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，追寻知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质【知识与技能】使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.【过程与方法】学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，对学生进行辩证唯物主义教育.【教学重点】正方形的性质.【教学难点】正方形的性质.一、情境导入，初步认识1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学，激发学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.2.观察：这个正方形具有哪些性质？【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.见教材P21例1 .2.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成102的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为（1，0）和（1，1）.（只写一组）解析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标.∵正方形ABCD 的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）.4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，所以可得∠EAF=45°.解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12（∠DAG+ ∠BAG）=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.5.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°.（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数.分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=30°.【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.7”中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性。
九年级数学上册(31 平行四边形)教学设计(1) 北师大版 教案
平行四边形一、内容及分析（一）内容：平行四边形的性质。
（二）分析：证明（三）是证明（一）、证明（二）的继续，平行四边形的性质已经在八年级让学生通过直观的方法探索过了，学生对其结论都已经有所了解，本节课主要是对这些结论进行理论的证明。
前面学生借助折纸、画图等方法进行直观探索的过程为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。
纵观整个初中平面几何教材，本部分内容是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。
本节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。
本节内容共分三课时：第一课时，主要证明平行四边形的性质以及与等腰梯形有关的性质和判定；第二课时，主要证明平行四边形的判定；第三课时，主要证明三角形的中位线及其运用，如四边形的四条边中点连线的有关结论。
二、目标及分析（一）教学目标：1．掌握平行四边形的概念、性质及条件，了解它们之间的关系。
2．能够用综合法证明平行四边形性质定理及等腰梯形相关结论。
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力和深化对证明必要性的理解。
（二）分析1.掌握平行四边形的概念、性质及条件，是指对概念、性质要理解并会引用，后续内容还涉及其证明，所以平行四边形概念的定位应该是理解掌握层次。
了解它们之间的关系，主要是指结合具体事例，从它们的表示形式上有所了解，不涉及其运算和性质。
2.能够用综合法证明平行四边形性质定理及等腰梯形相关结论，是指展示证明思路、知识之间的联系，把平行四边形转化为三角形、梯形转化为平行四边形和三角形来处理。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是作辅助线证明平行四边形的性质，产生这一问题的原因是对证明结论的依据不足便不知如何下手。
要解决这一问题，就是要把平行四边形内的线段或角相等的问题转化为三角形全等，关键是连接对角线，来克服可能遇到的困难。
九年级数学上册 3.1 平行四边形1导学案 北师大版
3.1平行四边形（1）教师活动（环节、措施）学生活动（自主参与、合作探究、展示交流）明确目标合作交流2、证明定理：平行四边形的对角相等.探究二：1、证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D2、写出等腰梯形性质定理的逆命题：你能证明吗？请写出证明过程.定理：相等的梯形是等腰梯形.课题3.1平行四边形（1）课时1课时课型导学+展示课学习目标1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.2、能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论.3、体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.流程课前自测——新课探究——例题解析——自我测验——应用拓展重难点重点：掌握平行四边形的性质定理.难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想.课前准备一、温故而知新1、平行四边形的性质：边：角：对角线：二、初生牛犊不怕虎，让我来探索：探究一：1、证明定理：平行四边形的对边相等.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD，BC=DA.AB CD 达标检测三、我的课堂我做主1、证明：平行四边形的对角线互相平分.2、证明：夹在两条平行线间的平行线段相等.课后训练四、看我有多棒1、如图，ABCD ，则AB =__________，__________=AD ，∠A =__________，__________=∠D ，若此时∠B +∠D =128°,则∠B =__________度，∠C =__________度.2、如果一个平行四边形的周长为80 cm ，且相邻两边之比为1∶3，则长边=__________cm ，短边=__________cm.3、如图，ABCD ,∠C 的平分线交AB 于点E ，交D A 延长线于点F ，且AE =3 cm ，E B=5 cm,则ABCD 的周长为__________.4、如下中图，ABCD ，AB ＞BC ，AC ⊥AD ，且AB ∶BC =2∶1，则DC ∶AD =__________，∠DCA =__________度，∠D =∠B =__________度，∠DAB = __________度，∠BCD =__________度.5、如下右图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，则图中全等三角形有__________对.五、学而不思则罔，本节课我的反思：。
九年级数学上册 3.1 平行四边形的性质教案 北师大版
平行四边形的性质教材内容:北师大版数学教材八年级上册第四章第一节“平行四边形的性质”第一课时．【教学目标】知识技能：探索并掌握平行四边形的有关概念和性质，能根据性质解决简单问题．数学思考：经历观察、猜想、验证等数学活动，认识平行四边形的性质，体会类比、转化等数学思想方法．问题解决：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性；培养学生的探究能力和动手操作能力．情感态度：在探索平行四边形性质的过程中培养学生的合作探究意识和独立思考的习惯，使学生在数学学习活动中获得成功的体验．【教学重点与难点】重点：平行四边形性质的探索．难点：平行四边形性质的探索及其运用．【教学过程展示】一、欣赏图片、初步感知【师】请同学们欣赏一组美丽的图片,并从数学的角度出发,找一找图片中有你熟悉的几何图形？【生】平行四边形的晾衣架、平行四边形的栅栏、平行四边形的窗户......【师】可见，平行四边形在我们生活中的应用非常广泛，今天这节课就让我们一起走进“平行四边形”，去发现和探索平行四边形的性质。
（揭示课题：§4．1平行四边形的性质）.二、动手操作，探究新知1、平行四边形的概念拼图游戏：将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片．Array将它们相等的一组边重合，得到一个四边形．【师】你拼出了怎样的四边形？与同伴交流．【生】（学生按照活动中要求的步骤动手操作。
）【师】观察右图拼出的这个四边形，它的对边之间有怎样的位置关系？说说你的理由．【生】（小组代表展示拼图成果，并简述拼图思路。
）【师】观察你所拼出的四边形中，有没有特殊的四边形呢？你认为它们的两组对边之间有怎样特殊的位置关系吗？说说你的想法。
【生】指出其中的平行四边形，发现“平行四边形的两组对边分别平行”，并简述理由。
【师】结合学生的拼图，引导学生发现其中特殊的四边形，从而给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．教师结合图形介绍平行四边形对边、对角、对角线等概念及平行四边形的表示方法．2.平行四边形的性质【师】你能不能结合定义，利用直尺和三角尺动手画出一个平行四边形呢？【生】学生动手画图，教师巡视指导。
北师大版九年级上3.1平行四边形课时1教案【外国语中学】
北师大版九年级上第三章第一节平行四边形（一） 教案一、教学目标：（一）知识与技能1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。
2、能够用综合法证明平行四边形的性质定理。
（二）过程与方法1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。
2、能够用综合法证明平行四边形的性质定理以及其他相关结论。
3、体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法（三）情感态度与价值观1、通过利用已有的公理和定理来证明新的结论的过程，使学生从中领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求使的科学态度和积极参与的主动精神。
2、通过交流来提高学生的几何语言的表达能力。
二、教学重点：平行四边形的性质定理的证明。
教学难点：探索、寻求性质定理的证明过程。
三、教学方法：启发诱导式教学法四、教学过程：（一）复习回顾，引入新课老师导语：利用前面学过的公理和定理,我们可以证明许多与四边形的有关结论.如图,四边形ABCD 四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD 都成立吗?用推理的方法可以说明得到的四边形是平行四边形。
实际上，利用前面学过的公理和定理，我们可以证明许多与四边形有关的结论。
今天我们就来证明特殊的四边形-----平行四边形的性质。
（二）推进新课1、我们要研究平行四边形的性质。
首先就要知道什么是平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形我们知道定义有两个作用，即性质和判定2、性质平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质？（学生回答）1.平行四边形的对边相等.2.平行四边形的对角相等.3.平行四边形的对角线互相平分. AB C HE F G你能利用公理和已有的定理证明它们吗?证明如下：性质1：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形.求证:AB=CD,BC=DA分析:要证明AB=CD,BC=DA 可转化全等三角形的对应边来证明,于是可作辅助线来达到目的.证明:连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,BC ∥DA.∴∠1=∠2, ∠3=∠4.∵AC=CA,∴△ABC ≌△CDA(ASA).∴AB=CD,BC=DA.几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,BC=DA.性质2：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形.求证:∠A=∠C, ∠B=∠D.分析:要证明∠A=∠C, ∠B=∠D 可转化全等三角形的对应角来证明,于是由上面的证明可达目的.证明: ∵△ABC ≌△CDA(已证).∴∠B=∠D, ∠1=∠2, ∠3=∠4.∴∠BAD=∠BCD.几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D.性质3：已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC,BD 相交于点O.求证:CO=AO,BO=DO分析:要证明AO=CO,BO=DO 也可转化全等三角形的对应边来证明.1 2 B C A O 3 4 B C A3 4 B C A3 4老师设问：在刚才的证明过程中都用了哪些公理，定理？（用到了平行四边形的定义，平行线的性质定理，全等三角形的判定定理及全等三角形的性质定理）老师总结：从刚才的证明知道,要研究平行四边形，对角线是它的主要辅助线，即对角线把平行四边形分成两个全等三角形，进而将平行四边形内的线段或角的相等问题转化为三角形全等的问题，这体现了数学中的一个重要思想------转化思想3、等腰梯形的性质首先同学们回忆一下等腰梯形有什么性质？1.等腰梯形同一底上的两个角相等.2.等腰梯形的两条对角线相等.如何证明呢？性质1：已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC.求证:∠A=∠D, ∠B=∠C.注意：在用几何语言书写梯形时，需指明哪两条边 是梯形的上下底。
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讲练结合法
教学后记
教学内容及过程
备注
一、回顾交流
问题提出：1.平行四边形有哪些性质？
2.平行四边形有哪些判定条件？
3.如何运用公理和已有的定理证明它们？
定理：平行四边形的对边相等。
学生证明。
拓展：由上面的证明过程，你还能得到什么结论？
定理：平行四边形对角相等。
二、范例讲解
例证明：等腰梯形在同一底上的
两个角相等。
拓展：这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。
学生证明。
定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、随堂练习
课本随堂练习1、2
学生独立练习。
四、课堂总结
平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等，对边平行，对角线互相平分。
五、布置作业
课形（一）
课型
新授课
教学目标
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，
3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
教学重点
掌握平行四边形的性质定理。
教学难点
探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。