最新高考数学练习题限时训练(49)答案

限时训练（四十九）答案部分一、选择题二、填空题 13. 1614.1- 15. 16. 2017解析部分1.解析 复数()()()()21i i 1i1i 1i2i 2i i 21i z -⋅-----====⋅-+,所以z 在复平面内所对应的点位于第三象限.故选C .2.解析 1>2A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 203B x x x⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或剠,所以20<<3U B x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ð,则12<<23UA B x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ð.故选D . 3.解析 ()622x m x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为()()24566C 2C 2m -+⋅⋅-,则45664C 2C 30m -⋅=,得52m =.故选B. 4.解析 由题图知, 3cos 5α=,4sin 5α=,4cos 5α=-,3sin 5α=,则()344324cos cos cos sin sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.故选D.5.解析 已知1239,,,,1b b b --成等比数列，设公比为q ,所以()()22199b =-⨯-=,又()229<0b q =-⋅,所以23b =-.已知121,,,9a a --成等差数列，设公差为d ,所以()21913a a d d-=⎧⎪⎨---=⎪⎩,所以2183a a -=-,则()()2218383b a a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选C. 6.解析 秦九韶算法的过程是()011,2,,n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入i v vx a =+.故选A.7.解析 由题意,还原的几何体ABC DEF -如图所示,上底面ABC △是直角边长为2的等腰直角三角形,下底面DEF △是直角边长为4的等腰直角三角形,高2CF =.则几何体ABC DEF -的体积为11112844422232323⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选A .8.解析 画出D 的可行域如图所示.对于命题1P ,在点()2,0A -处, 202<0x y +=-+=-,则1P 是假命题; 对于命题2P ,在点()0,2C 处, 21x y -+取最大值为1-,1<0-,故2P 是真命题; 对于命题3P ,点(),x y 到()1,1-的斜率的最小值是在点()0,2C 处取到,为21301+=--,3>4--,故3P 是假命题;对于命题4P ,在点()0,2C 处,22024>2+=,故4P 是真命题.故选D.9.解析 因为12BP PC =,所以FEDCBA()22213333CP AC CB AC AB AC AB AP AC AC +=+=+-==+.因为,,M N P 三点共线,所以mAM AP nAN +=,且1m n +=.因为,AM AB AN AC λμ==,所以AP AB AC m n λμ+=,所以2313m n λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2313m n λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则21133λμ+=.所以2λμ+=()2144233333μλλμλμλμ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ (48)33+=,当且仅当433μλλμ=,即423λμ==时等号成立,故2λμ+的最小值为83.故选B . 10.解析 对于①,因为直线AC 经过平面11BCC B 内的点C ,而直线1C E 在平面11BCC B 内不过点C ,所以直线AC 与直线1C E 是异面直线,故①正确;对于②,当112B E =时, 11AB A E ⊥,因为11B C ⊥平面11ABB A ,所以111B C A E ⊥.又1111AB B C B =,所以1A E ⊥平面11AB C ,所以1A E ⊥1AC ,故②错误;对于③,由题意知,直三棱柱111ABC A B C -的外接球圆心O 是1AC 与1CA 的交点,则1AAO △的面积为定值.由1BB ∥平面11AA C C ,所以E 到平面1AA O 的距离为定值,所以三棱锥1E AAO -的体积为定值,故③正确; 对于④,设BE x =,则12B E x =-,所以1AE EC =+其几何意义为平面内动点(),1x 与两定点()0,0,()2,0的距离和,则1AEEC +的最小值为,故④正确.所以正确命题的个数是3个.故选C .11.解析 由已知, 点P 在x轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，所以c =.如图所示,双曲线的渐近线方程为1:0l bx ay -=,2:0l bx ay +=,则过点P 且与1l ,2l 平行的直线为(()3:0l b x a y m --=,(()4:0l b x a y m +-=,设1l 与4l 交点为A ,点P 到直线1l 的距离为d ,则平行四边形PAOB 的面积为1OA d ⋅=.联立(()00bx ay b x a y m -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,可得,22am am A b a ⎛++ ⎝⎭,2am OA ab +==,d ==,则(()122am am amabab++⋅==,即22252ba m ab -=.因为点P 在22221x y a b -=上,所以22251m a b-=,联立以上两式可得2ab =,又225a b +=,0b a >>,所以可得1a =,2b =,则双曲线的标准方程是2214y x -=.故选A.12.解析 当0x <时， ()()1e x f x x =+，可得()()2e xf x x '=+.可知当2x <-时, ()<0f x ',()f x 单调递减;当2<0x -<时, ()>0f x ',()f x 单调递增.可得()212ef -=-,()10f -=. 又当1x <-时, ()<0f x ;当1<0x -<时, ()>0f x ,且当0x →时, ()1f x →,已知()f x 是定义在R 上的奇函数,则()00f =,图像关于原点对称,可画出()f x 的图像如图所示.令()f x t =,则()f t m =.由图可知,当()1,1t ∈-时, ()f x t =至多有三个根;当()1,1t ∉-时, ()f x t =没有实数根.如图所示,对于任意m ∈R ,()f t m =至多有一个根,此时()1,1t ∈-. 故函数()()()F x ff x m =-的零点个数至多有3个.故选A.13.解析 在区间[]0,1上随机地取两个数,x y ，构成的区域面积为1. 5y x …发生的区域面积为6150111d 66x x x ==⎰,则事件“5y x …”发生的概率11616P ==.故填16. 14.解析 由题意,知()()()sin 2sin 22g x x x ϕϕ⎡⎤=-=-⎣⎦,且函数()g x 的图像关于y 轴对称,则π22π,2k k ϕ=+∈Z ,所以ππ,4k k ϕ=+∈Z ,所以ϕ的最小值为π4,所以t()πsin 2cos 22g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()01g =-.故填1-.15.解析 如图所示, 因为2AF BF =,由抛物线定义知,2AC BD =.设M 为AC 中点.联结MB 交x 轴于点H ,则12AM AC BD BF x ====,可知H F B FM A B A=,所以H B F MB A△∽△,得13HF x =. 由题可知, BD HF p +=,即13x x p +=,解得34x p =,934AB x p ==,所以2CD BM ====.又112CDF S CD p =⋅⋅=△,所以1122CDF S p =⋅⋅=△,解得p =.. 16.解析 已知2(2017)(2016)0x a x b ++…在(,)a b 上恒成立,其中0a <. 则22017020160x a x b ⎧+⎨+⎩……或22017020160x a x b ⎧+⎨+⎩……成立.①若20160x b +…在(,)a b 上恒成立,则20160a b +…恒成立.又<0a ,则>02016ab -…,则22017x a +在(,)a b 上的最小值为2020172017a a +=,而2017<0a ,所以不成立;②若20160x b +…在(,)a b 上恒成立,则20160b b +…恒成立,即0b ….则22017x a +在(,)a b 上的最大值为22017a a +,令220170a a +…,则2017<0a -….因此2017b a -…,故b a -的最大值为2017.故填2017.高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ， ∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；当a>0且a≠12时，f(x)有2个极值点；当a＝12时，f(x)没有极值点．(2)由f(x)＋e x≥x3＋x得x e x－x3－ax2－x≥0. 当x>0时，e x－x2－ax－1≥0，即a≤e x－x2－1x对任意的x>0恒成立．设g(x)＝e x－x2－1x，则g′(x)＝(x－1)(e x－x－1)x2.设h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1.∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即e x>x＋1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。