八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_0
勾股定理的教学设计（第一课时）
一、教案背景
（一）教材分析
这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。
（二）学情分析
1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。
2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。
3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。
（三）教学设想
1．课型：新授课
2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_15
1 勾股定理的逆定理
——直角三角形的判定
学习目标：
1、掌握勾股定理的逆定理。
2、用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否是直角三角形，以及解决一些简单的实际问题。
3、理解勾股数的概念，并会用勾股数来判断一个三角形是否是直角三角形。
重难点：
理解掌握勾股定理的逆定理。
教学过程：
一． 导入
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
你知道这是什么道理吗?
2 二．新授
试画出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）
（1）a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm
（2）a = 4cm, b = 6cm, c = 8cm
（3）a = 6cm, b = 8cm, c = 10cm
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所对的角是什么角
结论：如果三角形的三边长a,b,c满足______________,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。
即勾股定理的逆定理
（思考）反之，如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形还是直角三角形吗？ ___________
试一试：学过上面的内容，你能否运用所学的知识说明一下古埃及人画直角的理论依据呢？
三、典例剖析：
例：设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形
（1）15，17，8 （2）13，15，14
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形，只要看两条较短的边的平方和是否等于最长的边的平方。
【精品】八年级数学上册14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系教案2新版华东师大版
精品小初高学习文件
精品小初高学习文件 14.1.1 直角三角形三边的关系（2）
教学目标
知识与技能：掌握勾股定理的运用方法．
过程与方法：经历理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵．
情感态度与价值观：通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想，体会勾股定理对人类发展的重要作用以及它的重大意义和文化价值．
重点、难点、关键
重点：理解并熟练运用勾股定理．
难点：对勾股定理函数的领会．
关键：教学中，应鼓励学生经历观察、归纳过程，通过数形结合达到领会和应用的要求．
教学准备
教师准备：投影仪，投影片、直尺、圆规．
学生准备：复习上一节内容．
教学过程
一、回顾交流、课堂小测
1．教师提问：
（1）什么叫勾股定理？
（2）请你以5cm，12cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，•来验证勾股定理．
学生活动：举手发言，讲出勾股定理的内容，然后动手做（•2）•，•验证出斜边长为13cm，而52+122=132，加深对勾股定理的理解．
2．课堂小测．
投影显示：
（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）
（2）求下列图中未知数x，y，z的值．
教师活动：操作投影仪，显示“课堂小测”，组织学生进行小测，巡视．
学生活动：认真小测，以测促思，学会勾股定理的应用．
媒体使用：小测之后，教师与学生共同解决上述问题，巩固勾股定理的应用．
二、范例学习
例2 如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？ 精品小初高学习文件
精品小初高学习文件 思路点拨：由于构建了Rt△ABC，因此，利用勾股定理，可以求出AB=2222160128ACBC=96（米）．
初中数学14.1直角三角形三边的关系(2)市级优质课教案
14.1直角三角形三边的关系（2）
教学目标
1理解并熟练掌握勾股定理的内容。
2能够运用勾股定理构建直角三角形来解决实际问题。
3进一步体会方程思想、转化思想、数形结合思想在数学学习中的应用。
重点、难点
利用勾股定理，构建直角三角形，解决实际问题。
教学方法 三疑三探
教学用具 多媒体课件
教学过程
一、设疑自探
创设情境，导入新课。
上一节我们学习了勾股定理，你能说说勾股定理的内容吗?，公式又能如何变形？（出示幻灯片1）
在Rt△ABC中, ∠C = 900 ， 则：c2=a2 + b2
比一比，看谁做得快（出示幻灯片2）
通过学习知道运用勾股定理在直角三角形已知两边能求出第三边。
这一节我们来学习如何运用勾股定理解决实际问题
板书课题：14.1勾股定理（2）
请同学们自学课本P111-112页，例2、例3，提CBA
出你还不明白的问题。（3分钟）
二、解疑合探
例2、如图，在Rt△ABC的斜边AB比直角边AC长2cm，另一直角边BC长为6cm,
求AB的长。
（1）学生演板展示、展评、展教。（要求“学困生”展示，“中等生”评价，“优等生”补充。）
题号 展示方式 展示组 评价组
2 板书
2 板书
展示要求：
1、展示要板书工整、规范、快速；
2、非展示同学结合展示仔细观察讨论或认真倾听，随时准备评价，并做好变式编题 准备。
点评要求：
1、声音洪亮，言简意赅，思路清晰，点评出优、缺点及总结方法规律。
2、非点评同学认真听讲，有疑问及时提出来,并设计变式训练。
3、注意教态端庄大方，身体与黑板成30°角。
4、对展示同学打分，每题满分10分。 由此说明代数方程思想在几何中也经常运用。
（2）例3 如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第1课时
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1 / 5 直角三角形的三边关系
课题 §14.1.1
直角三角形的三边关系(第1课时) 授课人
教
学
目
标 知识技能 1. 经历用画直角三角探索勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；
2.了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用．
数学思考 经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想．
问题解决 由特殊直角三角形的三边关系，猜想一般直角三角形的关系，然后画图验证，得出勾股定理．用到的恰是我们研究图形性质的重要思想：由特殊到一般．
情感态度 1. 通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.
2. 通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
教学重点 勾股定理
教学难点 勾股定理的探索
授课类型 新授课 课时 1课时
教具 方格纸(多媒体)
教学活动
教学步师生活动 设计意图 word
2 / 5 骤
回顾 你对直角三角形的角度关系了解多少？你对直角三角形的边的关系了解多少？ 学生回忆并回答，为引入勾股定理留下悬念.
活动
一：
创设
情境
导入
新课 【课堂引入】
图14－1－
1955年希腊发行了一X邮票，图案像是由三个棋盘排列而成．这X邮票是纪念2500年前希腊一个学术和某某团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献，请同学们数一数正方形中小方格的个数，看有什么发现？
2.由特殊直角三角形三边关系，为研究一般直角三角形的三边关系做准备.
活动
二：
实践
探究
交流
新知 【探究】
1.小组合作，根据表格中的要求画直角三角形，其中∠C＝90°，量出c的长度，并完成表格空缺部分：
序号 a b c c2 a2＋b2
1 6 8
2 5 12
3 9 12
学生活动：(1)小组分式合作，画图、度量、计算(可用计算器)、验证.
华师大版-数学-八年级上册--第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案--
初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 华东师大版八年级第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案
三维教学目标
知识与技能：
经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，掌握勾股定理和它的简单应用。
过程与方法：
通过学生熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理，学会简单的数学推理与数学说理。
情感态度与价值观：
在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯，激发学生学习的兴趣。
教学重点：勾股定理的简单应用。
教学难点：用几何拼图进一步理解勾股定理。
课堂导入
我们已经通过数格子的方法、计算面积的方法，发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容。
教学过程
一、勾股定理的证明。
（1）下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形。
（2）大正方形的面积可表示为什么？
如图1：①2)(ba②2421cab显然2421)(cabba化简，得到： 图
1 图2
22222cabbaba即 222cba
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
二、勾股定理的简单应用
例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A穿过湖到点B有多远? 图14.1.9
解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，
AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
根勾股定理可得
ＡＢ＝22BCAC＝22128160＝96（米）．
14章 勾股定理导学案
第14章 《勾股定理》导学案 第1页 §14.1 勾股定理
第一课时
【学习内容】
直角三角形三边的关系(一)
【学习目标】
1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．
2、能利用勾股定理解决实际问题．
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．
【学习重点和难点】
1、学习重点：勾股定理的实际运用
2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程
【学习过程】
一、知识回顾
1、直角三角形的性质：
2、三角形三边关系：
3、现有四条线段的长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（ ）.
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.
二、预习导学
小明用一边长为cm1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？
① 这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm1），你能知道斜边的长吗？
③观察图形，并填空：
⑴正方形P的面积为 2cm，
正方形Q 的面积为 2cm，
第14章 《勾股定理》导学案 第2页 正方形R的面积为 2cm.
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
活动二：动手做一做
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？
（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）
（图中每一小方格表示21cm）
⑴正方形P的面积为 2cm，
正方形Q的面积为 2cm，
《勾股定理》第一课时教学设计
1 §14.1.《勾股定理》（第一课时）教学设计
学校：琼山华侨中学 授课者：梁嘉
课题
直角三角形三边的关系
版本 华东师大版
教
学
目
标 知识与能力 1. 探索并了解勾股定理的内容。
2. 能够初步的使用勾股定理来解决几何题目中的相关问题和计算。
过程与方法 经历探索、观察、猜想、计算、归纳得出直角三角形三边关系的过程，合理发展学生归纳推理的能力，体会数形结合的思想。
情感态度与价值观 1. 在培养学生探究意识和合作交流精神的过程中，让学生体会到数学学习的乐趣，增强学习数学的主动性。
2. 通过了解勾股定理的历史成就，激发学生爱国热情，促其奋发学习。
教学重点 了解勾股定理并能初步运用其解决简单的几何问题
教学难点 勾股定理的探索与证明
教学用具 多媒体、三角尺、直尺
教学方法 启发引导、讨论法
教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、
复习回顾 提问：三角形按角分类有哪几种类型？ 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形 明确本节课研究对象是直角三角形
二、
创设情境
引入新课 情景一：
观看有勾股定理为原理的小视频，思考总结视频中的现象说明了什么问题？ 两个小正方体的体积之和等于大正方体的体积 引入新课 2 三、探索归纳 探索一：
1、等腰直角三角形
1）展示几何图形，提出问题
2）提问： 上问中的结论是否对任意直角三角形都适用？
2、一般直角三角形
探索二：
1、做一做，让学生在单位长度为1cm的格点图上做出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，再度量出斜边的长度。
2、为避免手动量取的误差，利用几何画板验证斜边的长度。
3、利用几何画板向学生展示对任意直角三角形而言，两直角边的平方和等于斜边的平方。
概括：
勾股定理
文字语言：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学语言：在△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有222abc。
八年级上册数学第十四章勾股定理总结归纳
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1 / 4 【 - 初中作文】
篇一:《初二上数学第一章勾股定理总结》
勾股定理知识总结
制作人 周宇峰 一：勾股定理
222 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
二：勾股定理的逆定理
222如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
222222（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
222222（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c
三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 四：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错
误。
2224. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，?那么这个
直角三角形三边关系
81sx 14.1.1(1) 班级：________ 姓名：__________
§14.1.1直角三角形三边的关系（1）
主备教师： 协作教师：
学习目标：
1．理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
导学流程：
一、情境导入：
2002年在北京召开的国际数学大会的会标采用了1700多年前中国数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。作为国际数学大会的会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴含着怎样的奥妙呢？这节课我们一起探索勾股定理。
二、自主学习：
观察归纳：
（1）观察上图正方形P中含有 个小方格，即P的面积是 个单位面积。正方形Q的面积是
个单位面积。正方形R的面积是 个单位面积。你是怎样得到正方形R的面积？
（2）你能发现图中三个正方形P，Q，R的面积之间有什么关系吗？
（3）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（4）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
三、合作探究：
1.分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。上面的规律对这个三角形仍然成立吗？
2.总结勾股定理,并用字母表示：
81sx 14.1.1(1) 班级：________ 姓名：__________
四、展示点拨：
1.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB.(自己作图)