课题：14.1 勾股定理(第3课时直角三角形三边的关系)
？
D
G
E H
C
P A B
数 学 活 动 室
1.在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.将矩形沿AC折叠，点D落在 点E处，且CE交AB于点F，求AF的长.
学 以 致 用
D
C
AHale Waihona Puke EFB数 学 活 动 室
2.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边 中点E处,点A落在点F处,折痕为MN，求CN的长。
学 以 致 用
A M F
D
N B
E
C
小 结
这节课我学到了什么？ 我的收获是……
我还有……的疑惑
P 117
习题 14.1
第 3、 4 题
选做题
1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，再
将纸片折叠压平。 （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由； （3）求AE的长。
D C
E A F B
学以致用
例 4 将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点F的位置。
（1）试问：AE和EC有什么样的数量关系，并证明你的结论； （2）若AB=16，AD=8，求EC的长及△AEC的面积； （3）在（2）的基础上，若P为线段AC上任意一点，PG⊥AE,PH⊥EC， 求PG+PH的值，并说明理由。
温故知新
B
你会灵 活应用 吗？
∠A+∠B=90°
c
a C
A
b
a 2 b2 c2
（Ⅰ）有一个角是直角； （Ⅱ）两个锐角的和为90°（互余）； （Ⅲ）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
八年级（上）
华东师大版第14章 勾股定理
学以致用
例 1 折叠矩形ABCD，让点A落在BD上的点F处，DC=8，AD=6.
（1）求线段BE的长度； （2）你能求出折痕DE的长度吗？若能，如何解答？ （3）求△DEB的面积呢？
D
F A E B C
学以致用
例 2 如图，矩形ABCD中，DC=10，BC=6，过点C折叠矩形ABCD使点D
落在AB上的点F处。 （1）求AF的长度； （2）求DE的长度； （3）求CE的长度，你能求出图中这些三角形的面积吗？
G F
（4）试确定重叠部分△AEF的面积。
A
D
B
E
C
选做题
2.（江西省2008年中考第20题）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使 点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处。 （1）求证：B' E = BF （2）设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间有何等量关系,并给予证明。
A' D B' E A
C
F
B
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、
怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也
不能实现不了。
教案：14.1 勾股定理 第二课时 直角三角形三边的关系(二)-数学八年级上册
课 题：14.1 勾股定理第二课时 直角三角形三边的关系（二）＆、教学目标：1、掌握勾股定理的运用方法。
2、理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵。
3、通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想，体会勾股定理对人类发展的重要作用以及它的重大意义和文化价值。
＆、教学重点、难点、关键：重点：理解并熟练地运用勾股定理。
难点：对勾股定理内涵的领会。
关键：教学中应鼓励学生经历观察、归纳过程，通过数形结合达到领会和应用的要求。
＆、教学过程：一、回顾交流1、勾股定理的内容是什么？应用勾股定理可以解决哪些问题？2、在ABC Rt ∆，︒=∠90C .（1）已知8=a ，15=b ，求c ；（2）已知10=c ，4:3:=b a ，求a 、b ；（3）已知61=c ，60=b ，求a .3、一个直角三角形的三边为连续的偶数，求它的三边长。
二、范例学习§.例1、如图1，为了求出位于湖两岸的两点A 、B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使ABC ∆恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长为160米，BC 长为128米，问从A 点穿过湖到B 有多远？分析：由于构造了ABC Rt ∆，因此利用勾股定理可以求出AB .解：在ABC Rt ∆中，160=AC 米，128=BC 米根据勾股定理可得：22BC AC AB -=22128160-= 96=（米）答：从A 点穿过湖到B 有96米. 同步练习： （1）如图2，把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股定理，你能利用图2验证勾股图 1 128米 A 160米 C B 图 2A ac c b C B D E定理吗？（2）一个长方体的长、宽、高分别为5.1米、5.1米、2.2米，如果将一根竹竿放进长方体，那么能放入长方体内的竹竿的最大长度约为多少米？§.例2、飞机在空中飞行，某一时刻刚好飞到一男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形（如图3），图中ABC Rt ∆，︒=∠90C ，m AC 4000=，m AB 5000=，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程.由于ABC Rt ∆的斜边m AB 5000=，m AC 4000=，这样BC 的长度可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位换算。
核心素养导向下的数学教学设计——以14.1.“1_直角三角形三边的关系”为例
核心素养导向下的数学教学设计———————以14.1.1“直角三角形三边的关系”为例文|武旦珠核心素养导向下的数学教学是对传统教学的一次变革，摆脱了过去以课时为单位的传统范式，推崇以单元为整体的设计理念。
这种变革体现了对数学知识内在逻辑关系的深层次思考，教学设计应该体现单元整合教学内容。
这种教学设计旨在通过深入挖掘数学知识之间的关系，为学生提供更为系统和全面的学习体验。
教学设计要充分考虑核心素养的重要性，确保在整个教学过程中的指导作用。
教学目标应该是全面的、有层次的，可以涵盖知识、技能和态度的培养，以确保学生在学习过程中获得全面的发展。
教师要考虑学生的数学核心素养、创造力、批判性思维等方面的发展。
在每个课时中，结合教学内容和目标展开教学，能够更好地发展学生的核心素养。
【教材分析】北师大版数学八年级上册“直角三角形三边的关系”，是“勾股定理”章节的主要内容，重点讲解了勾股定理的证明过程。
教材通过两个例子“正方形的瓷砖”和“试一试”来发现直角三角形三边之间的关系。
接着，通过“做一做”的实践验证，学生先获得直接的经验，再进行总结和归纳，证明勾股定理。
勾股定理是几何学中最为重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系。
直角三角形中斜边较长，而另外两条边较短，该定理证明它们之间有着精确的数量关系，为学生今后学习解直角三角形问题奠定基础。
因此，探索直角三角形三边的关系对学生来说非常重要，既能使学生更好地理解直角三角形，又能培养他们的逻辑思维能力。
【学情分析】八年级学生已经具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力，并且掌握了学习数学的基本方法。
直角三角形是他们非常熟悉的图形，因此，通过自主探索、合作互助、交流分享的方式来验证和应用勾股定理是非常适合的。
通过这样的学习方式，学生能够轻松、愉快地完成本节课的学习目标。
【教学目标】1.育人目标（1）通过探究、验证、证明和应用勾股定理，培养学生对数学学习的意识和能力。
【K12学习】上册第14章勾股定理勾股定理(直角三角形三边的关系)教案1(新
上册第14章勾股定理勾股定理(直角三角形三边的关系)教案1(新直角三角形三边的关系课题名称知识与能力： 1、了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程； 2、会用面积法证明勾股定理；3、能应用勾股定理进行简单的计算。
过程与方法：三维目标让学生经历用面积法、拼图法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜测、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
情感态度与价值观： 1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国的悠久文化，激励学生发奋学习。
2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
重点目标探索和证明勾股定理情景引入，示标导学：狂风将一根木制旗杆吹裂,随时都可能折断, 情况危急怎么办？导入示标:你能确定这个安全区域的半径吗师：接到热心市民的报警电话后，“119”迅速赶到现场，决定从断裂处将旗杆折断。
现在需要划出一个安全警戒区域。
生：积极思考为消防员出谋划策。
难点目标用拼图的方法证明勾股定理那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？师：那么，在一个直角三角形中，已知两边的长度，能求出第三边的长度吗？直角三角形三边的关系第1课时 16m6mA6 10B C1建立数学模型：在一个直角三角形中,已知两边的长度,能求出第三边的长度吗带着这样的问题，让我们一起进入“勾股定理”的学习！学做思一：【活动1】：探究一“地砖里的秘密？” 2500年以前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯到朋友家作客时，仔细观了朋友家的地砖时，他发现了一个隐藏在地砖中的秘密，你能找到吗？相信自己通过仔细观察也能发现？学生观察发现 2预设问题，启发思考：问题：地砖是相同的等腰直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？ A B C 思考计算，观察发现：蓝色正方形：蓝色正方形：绿色正方形：绿色正方形：黄色正方形：黄色正方形：【发现】：S蓝AB2目标三导 S绿S黄 BC2AC2 直角三角形直角边长的平方和等于斜边的平方。
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
14.1.1 直角三角形三边的关系
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
14.1勾股定理——直角三角形三边的关系
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
勾股定理直角三角形的三边关系
§14.1.1直角三角形三边的关系（一）教学目标： 1、知识目标：经历观察、归纳、验证的过程，得出直角三角形的三边关系；2、能力目标：提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平；3、情感目标：让学生进一步体会勾股定理解决现实生活问题的作用。
教学重点：从具体图形中得出直角三角形的边与边的关系，会用这个关系解决一些实际问题。
教学难点：在利用图形确定任意直角三角形边与边的关系时，计算各个正方形的面积。
教学过程情景创设：中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。
”（提出问题：为什么会有这样的勾股关系？）直角三角形和正方形分别是特殊的三角形和四边形，（勾股树），它是由右边的基本图形经过迭代而组成的。
而右边的图形是有简单的正方形和直角三角形构成的。
我们知道正方形四边相等，而直角三角形的三边有什么关系了？让我们带着该问题进入我们今天的学习：探索：图14.1.1了？大家可以一起找找看，图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P 、 Q 的面积之和等于大正方形R 的面积．即AC 2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 再次探索归纳：观察图19.2.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积＝________________平方厘米；正方形Q 的面积＝________________平方厘米.正方形R 的面积＝______________平方厘米.我们发现，正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是_________________________________.由此，我们得出直角三角形ABC 的三边的长度之间存在关系____________________________（注：在求R 的面积时，要详细阐述割补法，这是难点） （每一格表示1平方厘米） 图19.2.2归纳小结板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
【推荐】八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用
14.1 勾股定理
2．勾股定理在四边形中的应用： (1)梯形的问题，通常通过作高，构造直角三角形，利用勾股定理 求解． (2)有内角为直角的四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直 角三角形的问题，再应用勾股定理求解．
14.1 勾股定理
例 3 如图 14－1－7 是一个蔬菜大棚的简单示意图，大棚宽为 6 m，高为 8 m，大棚的斜面是一个长方形，将该长方形用塑料薄膜 遮盖，求所需塑料薄膜的面积．
2019/8/3
最新中小学教学课件
20
谢谢欣赏！
2019/8/3
最新中小学教学课件
21
(2)如果MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的面积 关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
图14－1－5
14.1 勾股定理
解：(1)正方形 ABCD 的面积＝正方形 MNPQ 的面积－4×三角形 BCM 的面积＝ 7×7－4×12×3×4＝25. (2)能．理由如下：正方形 MNPQ 的面积＝(a＋b)2 ＝a2 ＋b2 ＋2ab， 正方形 MNPQ 的面积＝4×12×ab＋c2＝2ab＋c2， 所以 a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， 得 a2＋b2＝c2.
14.1 勾股定理
【归纳总结】拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以 下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 导出勾股定理．
14.1 勾股定理
目标二 能用勾股定理解决简单问题
例 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，AD＝4，求 AB 的长．
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理在三角形及四边形中的应用： 1．勾股定理在三角形中的应用： (1)添线应用． 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，当题目中没有直角 三角形时，可以通过作高等方式，把非直角三角形的问题转化为 直角三角形的问题，应用勾股定理求解．
人教版2020八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)
C.直角三角形D．钝角三角形
4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )
A.直角三角形B．锐角三角形
C.钝角三角形D．不能确定
图14－1－
5.如图14－1－：四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝900，求这个四边形的面积．(连接AC)
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
②[讲授效果反思]
注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想、验证及证明的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 当堂训练1，2，5
错题题号 例1