2018年考研数学二真题及答案
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0
2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++®x bx ax e xx，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数îíì³-=010,1)(x x x f ，＜，ïîïíì³--£-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且ò=1)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f ¢时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ¢¢时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f ¢时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ¢¢时，0)21(＜f 5.设dx x x M ò-++=22221)1(pp ，dx e x N x ò-+=221pp ，dx x K ò-+=22)cos 1(pp ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-òòòò----dy xy dx dy xy dxxxxx1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵÷÷øöççèæ100110011相似的为相似的为（A ）÷÷÷øöçççèæ1001101-11 （B ）÷÷÷øöçççèæ1001101-01 （C ）÷÷÷øöçççèæ1000101-11 （D ）÷÷÷øöçççèæ1000101-01 8.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++¥®= 。
2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题
数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。
记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。
2018年考研数学二真题
2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。
接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。
第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。
（1）若a+b+c=4，则a=_______。
（2）若x1=2，则a+b+c=_______。
解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。
根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。
又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。
根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。
则有b=0。
将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。
根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。
代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。
联立求解方程组，解得a=1，c=3。
所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。
第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。
（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。
对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。
对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。
对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。
2018考研数学二真题答案解析二重积分
2018考研数学二真题答案解析：二重积分来源：文都教育在2018考研数学（二）的真题中，二重积分的题型十分新颖（第17题），难度大，文都教育的数学老师给出该题的解析：17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,2π1cos x t t t y t =-⎧≤≤⎨=-⎩（0）与x 轴围成，计算二重积分(2)d d Dx y x y +⎰⎰。
解：（利用形心坐标）d d d d d d d d D D D D x x y x x x y x x y x y=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而πx =，于是()()2π0d d πd d π1cos d sin D D x x y x y t t t ==--⎰⎰⎰⎰⎰()()2π2π2200π1cos d π12cos cos d t t t t t =-=-+⎰⎰22001cos 2π22sin 2t t dt πππ+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 2π201sin 22π2π03π2t t ⎡⎤+⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2π()2π2()00002d d d 2d d y x y x D y x y x y y y x ==⎰⎰⎰⎰⎰ 2π2π2200()d (1cos ).(sin )y x x t d t t ==--⎰⎰()2π2π32300(1cos )d 13cos 3cos cos d t t t t t t =-=-++⎰⎰[]()2π2π2π20001cos 23sin 3d 1sin dsin 2t t t t t t +=-+++⎰⎰ 2π+3π05π.=+=于是：()22d d 3π5π.Dx y r y +=+⎰⎰该题积分区域的上部边界曲线采用了参数方程形式，故使得这个二重积分的题型十分新颖，上述解答的思路是先不管具体的参数方程，直接化为累次积分，计算出内层积分，然后在计算外层积分时把上部曲线的参数方程代入，转化为关于t 的定积分。
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14设A为3阶矩阵， 为线性无关的向量组，若 ，则A的实特征值为
三、解答题：15~23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（本题满分10分）求不定积分16（本题满分10分）
已知连续函数 满足
（1）求
（2）若 在区间[0,1]上的平均值为1，求 的值
2018
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1若 ,则（）
A B
C D
2下列函数中不可导的是（）
A. B.
C. D.
3设函数 若 在R上连续，则（）
A B
C D
4设函数 在 上二阶可导，且 则（）
A当 时， B当 时，
C当 D当
5 则M,N,K大小关系为（）
13，
14, 2
15,
16,
17,
18,
19,
20,
21,略
22,
23,
A. B.
C. D.
6 （）
A B C D
7下列矩阵中，与矩阵 相似的为（）
A. B.
D.
8设A,B为n阶矩阵，记 为矩阵 的秩， 表示分块矩阵，则（）
A. B.
C. D.
2、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。
9
10曲线 在其拐点处的切线方程是
11
12曲线 对应点处的曲率为
21（本小题11分）
设数列 满足： 证明 收敛，并求
22（本小题11分）
设实二次型 ，其中 为参数。
（1）求 的解
（2）求 的规范形
23（本小题11分）
已知 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵
（1）求
（2）求满足 的可逆矩阵
答案：
1-5 BDDDC 6-8CAA
9, 1
10, 4x-3
11，
12，
17（本小题10分）
设平面区域D由曲线 与 轴围成，计算二重积分
18（本小题10分）
已知常数 证明：
19（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值
20（本小题10分）
已知曲线 设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP与曲线L所围图形的面积，若P运动到点（3,4）时沿 轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率。