计算机智能控制第2讲模糊数学的基本概念 2012-10-9

模糊控制中的隶属函数图形 模糊控制中的隶属函数图形大概有以下三 大类： 1、左大右小的偏小型下降函数（Z函数） 2、左小右大的偏大型上升函数（S函数） 3、对称型凸函数（II函数）
高斯函数
S函数
II函数
Z函数
S函数
II函数
关系的定义
关系的定义 关系是客观世界存在的普遍现象。如父子关 系、大小关系、属于关系、二元关系、多元关系 、多边关系等等(关系明确）直积体现着两集合 间的无约束关系，若给以约束，就形成关系。在 普通集合中，设论域U和V，从U到V的一个关系定 义为直积 的一个子集R，记为
那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度如 何？
模糊关系 也存在关 系合成， 主要通过 模糊关系 矩阵来合 成。
模糊关系合成
定义2-5 模糊关系合成：如果R和S分别为迪卡 尔空间 和 上的模糊关系，则R和S的合 成是定义在迪卡尔空间 上的模糊关系， 并记为 。其隶属度函数的计算方法为：
最大最小运算sup-min
则
模糊集合运算图示
模糊集运算的基本定律
定理2-1 模糊集运算基本定律：设U为论域，A、B、C为U 中的任意模糊子集，则下列等式成立： （1）幂等律 （2）结合律 （3）交换律 （4）分配律 （5）同一律 （6）零一律 （7）吸收律 （8）德.摩根律 （9）双重否认律
例2-5
设U={1,2,3};V={1,2,3,4};
A、B两集合的直积
模糊关系运算: 相等、包含、交、并、余。
模糊关系矩阵
例2-6 某家中子女与父母的长相相似关系R为模 糊关系，可表示为
用模糊矩阵R来表示为 该家中父母与祖父母的相似关系S也是模糊关系 ，可表示为
用模糊矩阵R来表示为
模糊集合的表示方法
当论域 X 为有限集时，记X={x 1, x 2,… x n } ，则X 上的 模糊集A有下列三种常见的表示形式： (1) Zadeh表示法 (查德) 当论域 X 为有限集时，记X ={x 1, x 2,… x n } ，则X 上的模糊 集A可以写成：
注：“ Σ ”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸 元的记号；分数 它表示点 x i对模糊集A的隶属度 是μA( x i )。
模糊关系的定义
模糊关系的定义 设论域U和V，则 的一个子集R，就是从U到 V的模糊关系，记作 。 这里的模糊关系R是属于模糊二元关系。其隶属 函数为映射 ，隶属度表示u0与v0具有 关系R的程度。 定义2-4 所谓A、B两集合的直积 中的一个模糊关系R，是指以 为论域的一个 模糊子集，序偶（a,b)的隶属度为 。 也可以推广到n个集合的直积。
（2）变量所取隶属度函数通常是对称、平衡的。 模糊变量的标称值选择一般取3~9个为宜，通 常取奇数(平衡)，在“零”、“适中”或“合适 ”集合的两边语言值通常取对称(如速度适中，一 边取“速度高”，一般另一边取“速度低”，满 足对称)。 例2-3：在整数U={1，2，…，10}组成的论域中， 提出模糊概念A为“几个”，根据人们对“几个 ”的模糊界定，1，2都不是“几个”，3~8认为 是“几个”，9可算可不算，10就是10，不能算 “几个”。定义一个隶属度函数： μA(x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,03,0,0}
λ截集、核、支集图示
隶属函数确定原则（1）
模糊集合是用隶属函数来描述的 模糊集合的特征函数称作隶属函数 隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性 隶属函数确定原则 （1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合。 例如“速度适中”的隶属度函数——在一定范围内或者一 定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性——从最 大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必 须是单调递减的，而不许有波浪性——总之，隶属度函数 呈单峰（凸模糊集合）——一般用三角形和梯形作为隶属 度函数曲线。
模糊集合运算定义
定义2-2 并集：并 的隶属度函数 的 被逐点定义为取大运算，即 对所有
式中，符号 为取极大值运算。 定义2-3 交集：交 的隶属度函数 的 被逐点定义为取小运算，即 式中，符号 为取极小值运算。
对所有
模糊集合运算定义
定义2-3 补：模糊集合A的不隶属度函数 ，对 所有的 ，被逐点定义为 。 例2-1 设论域中的两个模糊子集为：
模糊集的截集 从模糊中寻找确定，“矬子里选将军” 定义：设Aλ∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1) 称Aλ为A的一个λ截集，称λ为阈值（或置信水平）。 (2) 称Aλ为A的一个λ强截集。 (3) SuppA={u|u∈U, A(u)>0} ，A的支集 KerA={u|u ∈U,A(u)=1} ，A的核。 当A的核不空，称A为正规F集。
例证法 例证法由已知的有限个隶属函数的值，来 估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。 专家经验法 专家经验法是根据专家的实际经验给 出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属 函数的一种方法。 二元对比排序法 二元对比排序法是通过多个事物 之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来 确定这些失去对该特征的隶属函数的大体形状。
模糊集合的表示方法 (2)序偶表示法
(3)向量表示法
当论域 X 为无限集时， X 上的模糊集A 可以写成
模糊集合运算定义
模糊集合是利用集合中的特征函数或者隶属度函 数来定义和操作的，A、B是U中的两个模糊子集 ，隶属度函数分别为 。 定义2-1 设A、B是论域U的模糊集，即 若对于任一 都有 ，则称B包含于A ，或者称B是A的一个子集，记作 。若对 于 任一都有 则称B等于A，记作 。
隶属函数确定原则（5、6）
（5）对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时 有最大隶属度。 （6）对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两 个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。
隶属函数确定方法
模糊统计法
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定 元素v是否属于论域上的一个可变的清晰集的判 断。 模糊集，如：青年人 清晰集：“17—30岁的人“、25—35岁的人” ，对于同一个模糊集可以有不同的清晰集。 模糊统计法计算步骤：
例2-4 设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球 、花、桃、菱形组成的一个论域U，并设x1、x2 、„„..x7分别为这些物品的代号，则U={x1、 x2、„„..x7}。现在就物品两两之间的相似程 度来确定它们的模糊关系。
对于确定的控制系统，系统的输入输出存在确定 的关系。 对以模糊的控制系统，系统的输入输出存在模糊 的关系。其中
模糊关系算子sup-min存在下列特性：
模糊控制器设计及MATLAB仿真
模糊控制器设计
一、模糊控制的特点
1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。
模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊 推理导出。 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易
Step3 频数分布 表。如数据表中 最小年龄为14， 最大为36。以 13.5为起点， 36.5为终点，以 1为间距，形成 “年龄分组”， 并统计各段汇入 数据数。
Step4 建立隶属函数。从频数分布表就可以写出 “青年”的隶属函数。
Step5 隶属度。如求u=27的隶属度，从上表或隶 属函数可得A(u=27)=0.78
计算机智能控制
第2讲 模糊数学的基本概念
内容介绍
1、模糊数学的基本概念 2、模糊集合概述 3、模糊关系概述
模糊数学的基本概念
模糊集理论是美国加州大学控制专家 L.A. Zadeh (查德)1965年开创的
模糊数学的基本概念
1、模糊集和隶属函数 定义 1 论域X 到[0,1]闭区间上的任意映射
μ A ： X →[0,1] x →μ A (x) 都确定 X 上的一个模糊集合A ， μ A叫做A的隶属函数 ， μ A(x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为： A ={(x, (x)) | μ A(x) ∈ X} 使 μ A(x) = 0.5 的点 x 0称为模糊集A 的过渡点，此点最 具模糊性。
源自文库
隶属函数确定原则（3）
（3）隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不 恰当的重叠。 在相同的论域上使用的具有语义顺序关系的若 干标称的模糊集合，应该合理的排列。下面的排 列是错误的。
语义顺序合理排列的模糊集合
隶属函数确定原则（4）
（4）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函 数的区域，同时它一般应该属于至多不超过两个 隶属度函数的区域。
R R1 R2 Rm
m i 1
Ri
⒊模糊量到精确量的转换 ⑴基于推理合成规则进行模糊推理 ⑵输出信息的去模糊判决 ①最大隶属度法 ②取中位数法 ③加权平均法
模糊控制理论在
一、为什么采用模糊控制？ 二、在汽车上的应用方面 三、举例说明在汽车空调当中的应用
四、简要介绍在汽车雨刮器中的应用
模糊控制系统原理框图
r:系统的设定值。 e,e（用ec表示）:模糊控制的输入(精确量)。 E , EC:模糊量化处理后的模糊量。 U:经过模糊控制规则和近似推理后得出的模糊控制 量。 u:经模糊判决后得到的控制量(精确量)。 y:对象的输出。
1、为什么采用模糊控制？ 传统的自动控制控制器的综合设计都要建 立在被控对象准确的数学模型(即传递函数 模型或状态空间模型)的基础上，但是在实 际中，很多系统的影响因素很多，油气混 合过程、缸内燃烧过程等) ，很难找出精 确的数学模型。这种情况下，模糊控制的 诞生就显得意义重大。因为模糊控制不用 建立数学模型不需要预先知道过程精确的 数学模型。
⒈精确量的模糊化
(1)基于推理合成规则进行模糊推理 (2)量化因子与比例因子 (3)语言变量值的选取 (4)语言变量论域上的模糊子集 (5)语言变量的赋值表 (6)一个确定数的Fuzzy化
⒉模糊控制算法设计
⑴常见的模糊控制规则 ①单输入单输出模糊控制器控制规则形式为： if A then B if A then B else C ②双输入单输出模糊控制器控制规则形式为： if E and C then U ③ 多输入单输出模糊控制器控制规则形式为： If A and B and …and N then U
n越大，隶属频率就越稳定，但是计算量比较大。
单项变数模糊统计法
只考虑一项内容，如“青年”。对论域U＝{“青 年”,“非青年”}。 Step1 确定论域。如人的年龄作为论域 U=[0,100] Step2 形成调查表。如随机抽取129个大学生， 在独立认真考虑“青年”的含义之后，给出各自 的答案，形成129个关于“青年”的年龄段（数 据表）
模糊控制算法设计 ④ 双输入多输出模糊控制器控制规则形式 为： If E and EC then U And if E and EC then V … And if E and EC then W
⑵模糊关系的确定
模糊控制器的控制规则是由一组彼此间通过“或” 的关系连结起来的模糊条件语句来描述的。其中 每一条模糊条件语句，当输入、输出语言变量在 各自论域上反映各语言值的模糊子集为已知时， 都可以表达为论域积集上的模糊关系 在计算每一条模糊条件语句决定的模糊关系Ri 之后 ，考虑到此等模糊条件语句间的“或”关系，可得 描述整个系统的控制规则的总模糊关系R为
凸模糊集合的图示
凸模糊集合的定义
在论域U中，存在两个元素x1，x2，在隶书度函 数取值域[0，1]中，存在一个λ，满足下列关系式 ： μA(λ x1+(1-λ )x2)≥min(μA(x1), μA(x2)) 称这样的模糊集合为凸模糊集合。 例2-2：考察下列模糊集合是凸模糊集合吗？
隶属函数确定原则（2）
5、鲁棒性好。
二、模糊控制器构造技术
1、硬件：采用传统的单片机
软件：实现模糊推理和控制
2、模糊单片机或集成电路芯片
3、可编程门阵列
模糊控制器的设计
模糊控制器的设计包括以下几项内容： ⑴根据本次采样得到的系统的输出值，计算所选择的 系统的输入变量； ⑵将输入变量的精确值变为模糊量； ⑶根据输入变量(模糊量)及模糊控制规则，按模糊推 理合成规则计算控制量(模糊量)； ⑷由上述得到的控制量(模糊量)计算精确的控制量。