08-二维线性系统分析4-线性不变系统、抽样定理
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信号与系统中抽样定理的教学探讨
ｆ ｎ ￣Ｓ ［ｏ（ 凡 ） （ Ｔ）ａ ｏ 一 ］
２ ２ 案例 法 ．
（） ６
则 抽样 信号 （） ｔ频谱 ：
１
』 ｇ
理论分 析讲 解 比较抽象 ， 生 的理 解不 够透 彻 。 学 如果 对实 际案例 的应用 采 用 直 观形 象 的方 法 说 明 ，
曲
Ｆ （ ） 音 ∑ Ｆ 一 ｏ ） ∞ ＝ （ ｎ ）
取 得 很 好 的教 学 效 果 。
关键词 ： 信号与系统 ； 抽样定理 ； 教学方法
中 图 分 类 号 ：６ ２ ０ Ｇ ４ ． 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ８０ ８ （０ ２ ０ －１９ ３ １０ －６ ６ ２ １ ） ３ ０ － ０ ０
Ｔｈ ａ ｈｉ ｅ ｈ ｄｓａ ｏ ｍ ｐｌ ｅ ｒ ｍ ｎ Ｓ ｇ ａ ｎ ｙ ｔ ｍ ｅ Ｔｅ ｃ ｎｇ Ｍ ｔ ｏ ｂ ｕｔＳａ ｉ Ｔｈ ｏ ｅ ｉ ｉ ｎ ｌａ ｄ Ｓ ｓｅ ｎｇ
ａ ｘ ｅｌｎ ｅ ｕ ｔｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐ ｏ ｒ ｍ ｎ ｅ ｃ ｌｅ ｔｒ ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｈ ｎ ｒ ｇ ａ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｓ ｎ ｌａ ｄ ｓ ｓｅ ；ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ；ｔ ａ ｈ ｎ ｔ ｏ ｙ ｒ ｓ ｉ ａ ｎ ｙ ｔ ｍ ｇ ａ ｌ ｏｅ ｎ ｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｍｅｈ ｄ
图 ２所 示 是不 同抽样 率 下 图像 的效 果 ， 含 图 包
像失真严重 、 不失 真及 处于两者之 间的图像效果 。
这些 图像 让学 生直 观看 到抽样 率 的大小对 信 号 的影
ｔ ｋ ｔ ｄ ｎ ｓｕｎ ｅ ｓａ ｄ ｉ ｅ ｐ ｙ ｉ ｈ ｙ ｉｓ ｅ ｉ ｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐｒ ｃ ｅ ｏ ｍａ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ｄ ｒ ｔｎ ｔｄ ｅ ｌ ｓｔ ｅ ｋｅ ｓ ｕ ｎ ｔ ｅ ｔ ａ ｈ ｎ ｏ ｅ ｄ． Ｉ ｈｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｓｐ ｐ ｒ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ａ ｈ ｏ ｃ ｐ ｆｓ ｍ— ｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ｓａ ａ ｙ ｅ ｉｎ ｈ ｏ ｅ ｉ ｎ ｌｚ ｄ．Ｔｈ ｏ ｈ ｓ ｖ ｒ ｌｔ ａ ｈ ｎ ｔ ｏ ，ｉ ｅ．ｔ ｘ ｍｐ ｉ ｇ ｍｅｈ ｄ，ｔ ｅ ｑ ｅ ｔ ｎ ｎ ｔ ｏ ｒ ｕｇ ｅ ｅ ａ ｅ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄｓ ． ｈｅｅ ａ ｌｎ ｔ ｏ ｈ ｕ ｓｉ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ， ｏ ｔ ｅ ｐｒ ｃｉｉ ｇ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｒ ｐ ｉ ａ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ａ ｌｎ ｈ ｏｅ ｉ ｘ ｌ ｉｅ ｈ ａ ｔｃｎ ｔ ｏ ｎ ｈｅｇ ａ ｈ ｃ ｌｐｒ ｓ ｎ ａ ｉ ｔ ｏ ｏ ｈ ｏ ｔ ｎ ｆｔ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ｓｅ ｐ ａｎ ｄ，ａ ｈｅ ｎｄ ｉｓｕｓ ｇ ｓ ｓ ｗｎ．Ｉ ｓｈｅｐ ｕ ｏ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓｔ ｄ ｒｔｎｄ ａ ｄ ａ ｐｌ ｈｅ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｍ．Ｔｈ ｓ ｔ ｄ ｅ ｔ ａ ｅ ｉ ｈｏ ｔｉ ｌ ｆ ｌｆ ｒｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ｏ ｕｎ ｅ ｓａ ｎ ｐ ｙ ｔ ａ ｌｎ ｈ ｏ ｅ ｅ ｅ ｍｅｈｏ ｓ ｇ ｔ
chap1常用函数及其傅立叶变换
在空域中 g s(x,y)h (x,y)g (x,y)
所以有：
nm
n
m
g ( x ,y ) n m g ( 2 B x ,2 B y ) s i n c [ 2 B x ( x 2 B x ) ] s i n c [ 2 B y ( y 2 B y ) ]
F(u)
sinc( u ) sinc 2 ( u ) 1 (u u 0 ) 1 / j u comb( u )
函数
函数的定义：
(t ) lim Ne N 2t2 N
(t) lim N rect( Nt ) N
(t) lim N sinc( Nt ) N
则 F . T . g ( x , y ) h ( x , y ) G ( f x ,f y ) H ( f x ,f y )
No
四、常用函数及其傅立叶变换式
矩形函数 rect(
1
x)
1
/
2
0
x 1/2 x 1/2 x 1/2
Sinc函数 sinc( 符号函数 sgn(
则系统称为线性空间不变系统。
对于线性空 间不变系统，叠加积分：
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d f(x ,y ) h (x ,y )
1.3 二维线性不变系统
二、二维线性不变系统的传递函数 1、空间频率
F(fx,fy) f(x,y)ej2(xx fyy f)dxdy
其中 H (fx ,fy ) F .T . h ( x ,y ) 叫线性空间不变系统的传
递函数
1.3 二维线性不变系统
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
傅立叶光学
用算符表示系统
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
二维线性系统
H(fx,fy)的模称振幅传递函数. H(fx,fy)的复角称相位传递函数. 的模称振幅传递函数 振幅传递函数. 的复角称相位传递函数 相位传递函数.
2.2. 3. 二维线性不变系统的本征函数: 二维线性不变系统的本征函数 本征函数
若ℜ{f(x ,y)}=a f(x ,y), 式中a为复常数，则称 ,y) 为算 , 式中a为复常数，则称f(x }表征的系统的本征函数 表征的系统的本征函数。 符ℜ{ }表征的系统的本征函数。 系统的本征函数是一特定的输入函数， 系统的本征函数是一特定的输入函数，输入输出之间仅差 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。
叠加积分 一般写成
)
∫
∞
−∞
f (ξ 2 , η 2 )h ( x 2 − ξ 2 , y 2 − η 2 ) d ξ 2 d η 2
= f ( x2 , y2 ) ∗ h( x2 , y2 )
g(x, y) = f (x, y) ∗ h(x, y)
线性空不变系统
2.2. 2. 二维线性不变系统的传递函数: 二维线性不变系统的传递函数 传递函数
F( f x , f y ) = ∫
逆变换: 逆变换
若输入空间域函数f(x,y)，其付里变换为: ，其付里变换为 若输入空间域函数
∫ f ( x, , y) = ∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞ ∞ ∞
f ( x, y) exp − j2π ( f x x + f y y) dxdy
[
−∞ −∞
F( f x , f y )exp j2π ( f x x + f y
[
] y)]df df
第二章 二维线性系统
第一节 线性系统
举例：选取基元函数为脉冲函数 (函数) 根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为：
f x, y
f(x) f( ) f() .......................................... x
f , x , y d d
第二节 线性不变系统
g x, y G f x , f y exp j 2p f x x f y y df x df y
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
x y x y x y x y
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第二节 线性不变系统
对于线性不变系统，可以找到更适合的“基元函数”，即复指数函数。 根据傅立叶逆变换有：
f x, y
F f , f exp j 2p f x f y df df
第二节 线性不变系统
三 线性不变系统的本征函数
脉冲响应为实函数的线性不变系统（非相干成像系统）
H f x , f y =H - f x , - f y
H f x , f y 为厄米函数
用A(fx,fy),φ(fx,fy)分别表示传递函数的模（振幅传递函数）和辐角 （相位传递函数）
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数
脉冲响应 点扩散函数
g x, y f x, y h x, y
卷积定理
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
线性移不变系统课件
05
线性移不变系统的设计方 法
状态反馈控制
状态反馈控制是线性移不变系统设计中常用的一种方法，通过将系统的 状态变量反馈到输入端，实现对系统的精确控制。
状态反馈控制器的设计通常采用状态空间法，通过构造状态反馈矩阵， 使得闭环系统满足特定的性能指标，如稳定性、跟踪性能等。
状态反馈控制适用于各种类型的线性移不变系统，具有较好的鲁棒性和 适应性。
GPU（图形处理器） GPU具有并行处理能力，可用于加速线性移不变 系统的计算和数据处理。
系统实现中的关键技术
数字信号处理
数字信号处理技术是实现线性移 不变系统的关键，包括信号的采
样、量化、滤波、频谱分析等。
算法优化
针对线性移不变系统的算法进行优 化，以提高系统的实时性和能效。
硬件描述语言
使用硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）进行系统设计和实现，能 够提高系统的可重用性和可维护性。
能观性判定
对于线性移不变系统，可以通过判断系统的可观性矩阵是否满秩来确定系统是否 具有能观性。可观性矩阵是系统状态矩阵A的转置与输出矩阵C的乘积。如果可 观性性移不变系统，如果该系统既是能控的又是能 观的，则称该系统是能对偶的。
对偶性的意义
对偶性是线性移不变系统的一个重要性质，它表明系统的控 制性能和观测性能之间存在一定的关系。在实际应用中，了 解系统的对偶性有助于更好地设计控制系统和观测系统，以 达到更好的控制效果和观测效果。
06
线性移不变系统的实现与 应用
系统实现的硬件平台
1 2 3
FPGA（现场可编程门阵列） FPGA是一种高度灵活的硬件平台，适用于实现 线性移不变系统的硬件描述语言（如VHDL或 Verilog）编程。
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
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此理想低通滤波器的频率 特性为频域中的门函数
Gs(fx)
-Bx 0 Bx
1/X
fx
用频域中宽度2Bx和2By的 位于原点的矩形函数作为 滤波函数:
滤波过程 :
fx H f x ,f y rect 2B x
G f x ,f y
fy rect 2B y
x comb X
y comb G ( f x , f y ) Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m
①.如果G (fx, fy)频带无限制, 则 这些频谱函数必然会叠加。 ②.即使G (fx, fy)是频带有限的函 数, 若X,Y取值不合适, 这些重复 的频谱函数之间也会互相重叠。
第一章复习 一、基本概念
• • • • 频谱, 振幅谱, 位相谱 线性系统, 脉冲响应，线性空不变系统，传递函数 滤波（高通滤波, 低通滤波） 抽样定理, 奈奎斯特间隔
第一章复习 二、基本技能
•
• •
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单 缝、多缝、线光栅、位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表 示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅 里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶 变换，图解表示。
G(fx) fx 0 Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅 -Bx 在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
Gs(fx,fy)
comb(x/X)comb(y/Y) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢 失任何信息。
抽样定理的适用性
①在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
-Bx 0 Bx
1/X
fx
1 X , 2Bx
1 Y 2By
称为奈奎斯特(Niquest)间隔
只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y) 的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部 信息.
理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.
1 2Bx , X 1 2 By Y
-Bx 0 Bx
1/X
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数.
1 2Bx , X
1 2 By Y
Gs(fx)
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 G, 进而求出原函数.
y comb g x,y Y
g nX,mY δ x nX,y mY
f y fx rect hx,y F rect 2 B 2 Bx y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc 2 By
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
例
液晶显示屏尺寸为250×250(mm2), 每个像元的 尺寸为0.25 × 0.25 (mm2), 计算: 1.像元总数 2.最高空间频率 3. 空间带宽积
作业
P22 ： 1.5
2X 2Y 4 XY 4 Bx B y 16 XYB x B y 1 1 2 Bx 2 By
fy fx Gs f x ,f y rect 2 B rect 2 B x y
根据卷积定理，在空间域得到:
x g s x,y comb X XY
n m
g s x, y hx, y gx, y
线性系统
线性系统对几个激励的线性组合的整体响 应等于单个激励所产生的响应的线性组合
脉冲响应 系统对输入脉冲函数的响应 线性不变系统
输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的 位移，则此线性系统称为线性不变系统
传递函数 线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数
线性不变系统的输入输出关系
空域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
②实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
3、空间带宽积
若 限带函数g(x,y)在频域中|fx|<Bx, |fy|<By 以外恒等于零, 即函数的带宽为Bx 和By, 则函数在空域中|x| <X 和|y| <Y 的范围内最少的抽样点数为:
...
0 抽样
.Bx * -1/X
= -3Bx -Bx
-1/X
fx . 0 Bx
1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
gs(x) x
-2X -X
gs(x) x Sinc函数称为 内插函数 频域滤波相当于 空域的插值运算
0X
2X
2Bxsinc(2Bx) fx 0
③.只有使这些频谱函数互不重叠, 才有 可能用滤波的方法,从中提取出原函数 的频谱, 进而求出原函数。 Gs(fx)
0
1/ X 1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y mY
若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,mY
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理
G(fx, fy) = F (fx, fy) • H (fx, fy)
频域
§1-3 二维线性不变系统
传递函数－频率响应
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d(x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分,
并且各频率成分的权重都相等(=1).
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
抽样和还原的图示
g(x) x 0
comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?
F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
g(x)
comb(x/X)
gs(x)
x
0
.
0
x =
x
0 #
1、函数的抽样：二维情形
抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xf x combYf y G ( f x , f y )
第一章复习 三、综合能力
• 利用傅里叶变换及其定理求解一些特殊函数的 积分； • 会用解析法和图解法处理线性空不变系统的输 入输出问题（空域、频域）.
2X 2Y 4XY 4 Bx B y 16 XYBx B y 1 1 2 Bx 2 By
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息 的能力 • 空间物体的自由度数或自由参数数N 若g(x,y)为实函数， 每个抽样值为一个实数， N=SW 若g(x,y)为复函数， 每个抽样值为一个复数， N=2SW • 不变性， 不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)
0
*
1 1 2Bx 2Bx
Gs(fx)
-Bx 0 Bx
1/X
fx
用频域中宽度2Bx和2By的 位于原点的矩形函数作为 滤波函数:
滤波过程 :
fx H f x ,f y rect 2B x
G f x ,f y
fy rect 2B y
x comb X
y comb G ( f x , f y ) Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m
①.如果G (fx, fy)频带无限制, 则 这些频谱函数必然会叠加。 ②.即使G (fx, fy)是频带有限的函 数, 若X,Y取值不合适, 这些重复 的频谱函数之间也会互相重叠。
第一章复习 一、基本概念
• • • • 频谱, 振幅谱, 位相谱 线性系统, 脉冲响应，线性空不变系统，传递函数 滤波（高通滤波, 低通滤波） 抽样定理, 奈奎斯特间隔
第一章复习 二、基本技能
•
• •
简单和复合孔径的数学描述：矩孔、圆孔、单 缝、多缝、线光栅、位相板等； 脉冲函数的运算，卷积和相关的运算，图解表 示； 常用基本函数的傅里叶变换和逆变换，利用傅 里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶 变换，图解表示。
G(fx) fx 0 Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅 -Bx 在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),
Gs(fx,fy)
comb(x/X)comb(y/Y) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢 失任何信息。
抽样定理的适用性
①在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
-Bx 0 Bx
1/X
fx
1 X , 2Bx
1 Y 2By
称为奈奎斯特(Niquest)间隔
只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y) 的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部 信息.
理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.
1 2Bx , X 1 2 By Y
-Bx 0 Bx
1/X
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数.
1 2Bx , X
1 2 By Y
Gs(fx)
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 G, 进而求出原函数.
y comb g x,y Y
g nX,mY δ x nX,y mY
f y fx rect hx,y F rect 2 B 2 Bx y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc 2 By
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
例
液晶显示屏尺寸为250×250(mm2), 每个像元的 尺寸为0.25 × 0.25 (mm2), 计算: 1.像元总数 2.最高空间频率 3. 空间带宽积
作业
P22 ： 1.5
2X 2Y 4 XY 4 Bx B y 16 XYB x B y 1 1 2 Bx 2 By
fy fx Gs f x ,f y rect 2 B rect 2 B x y
根据卷积定理，在空间域得到:
x g s x,y comb X XY
n m
g s x, y hx, y gx, y
线性系统
线性系统对几个激励的线性组合的整体响 应等于单个激励所产生的响应的线性组合
脉冲响应 系统对输入脉冲函数的响应 线性不变系统
输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的 位移，则此线性系统称为线性不变系统
传递函数 线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数
线性不变系统的输入输出关系
空域
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
②实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
3、空间带宽积
若 限带函数g(x,y)在频域中|fx|<Bx, |fy|<By 以外恒等于零, 即函数的带宽为Bx 和By, 则函数在空域中|x| <X 和|y| <Y 的范围内最少的抽样点数为:
...
0 抽样
.Bx * -1/X
= -3Bx -Bx
-1/X
fx . 0 Bx
1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
gs(x) x
-2X -X
gs(x) x Sinc函数称为 内插函数 频域滤波相当于 空域的插值运算
0X
2X
2Bxsinc(2Bx) fx 0
③.只有使这些频谱函数互不重叠, 才有 可能用滤波的方法,从中提取出原函数 的频谱, 进而求出原函数。 Gs(fx)
0
1/ X 1/X
fx
Gs(fx) 0 fx
由抽样值还原出原函数的条件
n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y mY
若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,mY
但h(x,y)的频谱已经改变成H (fx,fy)
∴ H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的 响应, 即频率响应
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理
G(fx, fy) = F (fx, fy) • H (fx, fy)
频域
§1-3 二维线性不变系统
传递函数－频率响应
注意 H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的频谱函数 h(x,y)是对d(x,y)函数的响应
d 函数的频谱恒为1, 即含有所有频率成分,
并且各频率成分的权重都相等(=1).
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
抽样和还原的图示
g(x) x 0
comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?
F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
g(x)
comb(x/X)
gs(x)
x
0
.
0
x =
x
0 #
1、函数的抽样：二维情形
抽样函数gs(x,y)的频谱
x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xf x combYf y G ( f x , f y )
第一章复习 三、综合能力
• 利用傅里叶变换及其定理求解一些特殊函数的 积分； • 会用解析法和图解法处理线性空不变系统的输 入输出问题（空域、频域）.
2X 2Y 4XY 4 Bx B y 16 XYBx B y 1 1 2 Bx 2 By
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息 的能力 • 空间物体的自由度数或自由参数数N 若g(x,y)为实函数， 每个抽样值为一个实数， N=SW 若g(x,y)为复函数， 每个抽样值为一个复数， N=2SW • 不变性， 不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)
0
*
1 1 2Bx 2Bx