信息光学05-二维线性系统分析1-傅里叶变换

exp(-j2fx)
变换核
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:

f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[j 2 ( f x x f y y)dfx df y

记作:
f(x,y)=
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理

4. 帕色伐(Parseval)定理

设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),

g ( x, y)
2
dxdy G( f x , f y ) dfx df y
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它
1
r x 2 y 2 是圆对称函数
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0
2 0
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
G( , f ) rg (r ) exp[ j 2r cos( f )]d d r
0 0


2

利用贝塞尔函数关系

2
0
exp[ ja cos( f )]d 2J 0 (a)

t / 2
exp( j 2 x)dx 二、广义f xF.T.
计算


0
sin(f ) df f
t /2 1 exp( j 2 f x x) t / 2 j 2 f x

重要推论: 则
1 j 2 f x
(e
jtf x
e
jtf x
sin(tf x ) ) t sinc(t f x ) fx
-1{F(f
x,fy)}. 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明



g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2

G ( f ) exp( j 2fx)df G * ( f ' ) exp( j 2f ' x)df ' dx
一、定义(续)
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[j 2 ( f x x f y y)dfx df y


F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
一、定义及存在条件
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy
G( , f ) d rg (r , ) exp[ j 2r cos( f )]dr
0 0 2
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
g (r , ) d G( , f ) exp[ j 2r cos( f )]d
0 0
2

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform

F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy

极 坐 标 变 换
r x 2 y 2 x r cos 空域 1 y tan ( x ) y r sin
f 2 f 2 x y f x cosf 频域 1 f y f tan ( f ) f y sin f x
贝塞尔函数
贝塞尔函数积分表示
1 2π j(x sin n ) J n(x ) d 0 e 2 π (j ) n 2π - j(xcos n ) 或， J n(x ) d 0 e 2 π
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
n2m
n 0,1, 2,
性质： 递推性
d x n J n ( x ) x n J n 1 ( x) dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x) dx d xJ1 ( x) xJ 0 ( x) dx d J 0 ( x ) J1 ( x ) dx
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
g(x,y)+b h(x,y)}= G(fx,fy) + b H(fx,fy)
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
振幅谱 位相谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 01/4
F.T. 频域扩展 F.T.
G(f) 1 1/2
f 1 G( x ) a a
0
-1
0
1
f
-2
2
f
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
3. 位移定理 Shifting
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
G( f )G * ( f )df


思考题:
sin 2 ( x) 利用Parseval 定理求积分: dx 2 ( x)

§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部 为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.
例: rect (x) (实、偶) F.T. sinc(fx) (实、偶) 但是, rect (x-1) (实、非偶) F.T. 复函数
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
{rect(x)} =sinc(fx)
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
t
{rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tfx)sinc(tfy)
{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) {1} = d(fx, fy)
按照广义变换的概念可以 得出一系列特殊函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cosf , sin f ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2r cos( f )]rdr
0 0 2
令:
G( , f ) F ( cosf , sin f ) g (r , ) f (r cos , r sin )
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2 )
{circ(r )}
1 2
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T.
将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和 虚部(正弦变换), 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.
1 fx f y g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标 (fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.