22 几何组成分析的几个概念.
结构力学 几何组成分析 几个概念
几何组成分析的几个概念1、几何不变体系与几何可变体系几何不变体系是指受到任意荷载作用下，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
几何可变体系是指即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移，而不能保持原有的几何形状和位置。
几何可变体系分为几何常变体系和几何瞬变体系。
几何可变体系在很小的荷载作用下会产生刚体位移，经微小位移后仍能继续发生刚体运动，这样的几何可变体系称为几何常变体系。
若原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变体系，这类几何可变体系称为几何瞬变体系。
工程结构绝不能采用几何瞬变体系，而且也应避免采用接近于瞬变的体系。
2、自由度指体系在所受限制的许可条件下独立的运动方式，即能确定体系几何位置的彼此独立的几何坐标数目。
平面内一点的自由度为2，一个刚片的自由度为3。
3、约束（联系）约束是指限制体系运动的各种装置，包括外部约束（支座约束）和内部约束。
（1）外部约束一个活动铰支座、固定铰支座和固定支座分别相当于1、2、3个约束。
（2）内部约束一根单链杆相当于1个约束；连接j（j>2）个结点的复链杆，相当于2j-3个单链杆，即相当于2j-3个约束；一个单铰相当于2个约束；连接m（m>2）个刚片的复铰，可折合成（m-1）个单铰，即相当于2(m-1)个约束作用；一单刚结点相当于3个约束；连接m（m>2）个刚片的刚结点称为复刚结点，可折合成（m-1）个单刚结点，即相当于3(m-1)个约束。
约束从能否减少体系的自由度方面来考虑，可分为必要约束和多余约束。
为保持体系几何不变所必须具有的约束称为必要约束，不能使体系的自由度数目减少的约束称为多余约束。
4、瞬铰（虚铰）两个刚片间用两个不共线链杆相连，其约束作用相当于这两根链杆交点位置处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为虚铰或瞬铰（图1a）。
在几何组成分析中，尤其要注意：两刚片间用两根相互平行的链杆相连，两平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，如图1b所示。
几何组成分析
几何组成分析
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
平面体系几何组成分析
简单铰。
y
Ⅱ
A•
A• Ⅰ
(a)
o
x
(b)
y Ⅱ
Ⅰ
(c)
o
x
(d)
上面四图中，(a)、(b)图中A点为虚铰，(c)、(d)图中虚铰位置在无穷远处。
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2.2.4 必要约束和多余约束
必要约束——影响体系自由度数目增减的约束。
多余约束——不影响体系自由度数目增减的约束。
A
B
A
C
B
(a)
(b)
图（a）中，三根链杆均为必要约束。 图（b）中，横杆为必要约束，三根竖杆可任意去掉一根，为多余约束， 去掉后剩下的两根为必要约束。
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2.3 结构的几何组成规则
可以证明，铰接三角形为最基本的几何不变体系，且无多余约束。
C
A
B
2.3.1 点和刚片的组成规则
规则Ⅰ（二元体规则）——一点与刚片间用两根不共线的链杆相连，可
A，
有两个独立坐标 x、y，故一个点在平面内有两个自由度。
图（b）所示为平面内一个刚片由位置 A B 变为位置 A B 的情形，
这个刚片可以有 x 方向的移动（x）和 y 方向的移动（y），还可以有转
动（），由于一个刚片在平面内有三种独立的运动方式（x、y、三个独
立坐标），故一个刚片在平面内有三个自由度。
联结 n 个刚片的复铰，其作用相当于（ n -1）个简单铰。
3、固定端支座或简单刚性联结的约束作用
B
一个固定端支座相当于三个约束。
AⅠB
Ⅱ
一个刚性联结限制了三个自由度，
A
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故一个刚性联结相当于三个约束。
建筑力学：体系的几何组成分析
联系：限制运动的装置，又称为约束
y
1、多余联系：体系中不能减少自由度的联系
B
2、必要联系：体系中维持几何不变性所必须的联系
3、常见的联系
A 2
1
（1）链杆：两端用铰连接且不考虑自身重量的构件
o
x
一个链杆=一个联系
（四）联系
（2）单铰：只连接两个刚片的铰 一个单铰=两个联系
（3）复铰：连接两个以上刚片的铰 连接n个刚片的复铰 =(n-1)个单铰 =2(n-1)个联系
刚片：在平面上可以看作一个几何不变体系的物体
形 状 可 随 意 替 换 一根梁，一个柱子，一根链杆，地基基础，地球或体系中已经确定的几何不
变的某一部分，都可以看作一个平面刚片。
（三）自由度
自由度：确定平面体系位置所需的独立坐标的个数
y
y
x
y
O
x
一个点的自由度=2
B
xA
y
O
x
一个刚片的自由度=3
（四）联系
B
刚片Ⅲ
C
刚片Ⅰ
（二）两刚片规则
两个刚片用一个铰和一根不通过 此铰的链杆相连，组成的体系是几何 不变的，且没有多余联系。
推论2 两个刚片用三根链杆相连， 三链杆不全平行且不交于同一点，则 组成的体系是几何不变的，且没有多 余联系。
刚片Ⅱ
链杆
刚片Ⅰ
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
（三）二元体规则
二元体：两根不在一直线上的链杆连接 一个新结点的构造。
二元体规则：在一个体系上增加或 拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。
A
链杆1
链杆2
刚片Ⅰ
（四）几何不变体系的基本组成规律 核心：铰接三角形规则
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
04-讲义：2.1 几何组成分析的几个概念
第二章平面杆件体系的几何组成分析杆件结构力学的任务之一就是研究结构的几何组成规律和合理形成，几何组成分析就是讨论这方面的内容。
本章从几何组成分析中相关的几个概念着手，研究平面杆件体系的几何组成规律及几何组成分析方法，并说明体系的几何组成与静定性之间的关系。
几何组成分析的主要目的是解决怎样组成的杆件体系才能承受荷载这个基本问题。
同时，由于结构的受力性能与其组成方式存在必然的联系，因此对一些较复杂的结构，可根据其几何组成特点，选择相应的计算方法和计算次序。
第一节几何组成分析的几个概念一、平面杆件体系的类型杆件结构是指由若干杆件相互连接，并与基础通过一定方式相连接而构成的结构体系。
结构受荷载作用时，杆件截面上产生应力，材料产生应变，从而结构产生变形。
这种变形一般是很微小的，不影响结构的正常使用，因此在几何组成分析中不考虑这种由于材料应变而产生的变形。
当体系中一部分受到任意荷载作用，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变，称该部分为几何不变部分，如图2-1(a)所示铰结三角形ABC为几何不变部分。
在几何组成分析中，任意一个几何不变部分都可以看作一个刚片，如一根链杆、铰接三角形ABC(图2-1(a))，甚至是支撑上部体系的基础等。
图2-1 几何不变体系与几何可变体系(a)几何不变部分（刚片）(b)几何不变体系(c)几何可变体系（几何常变）当上部体系通过一定方式与基础相连构成的整个体系，受到任意荷载作用时，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变，则称该体系为几何不变体系。
如图2-1(b)所示，将铰接三角形ABC通过不相互平行也不交于一点的三根链杆与基础相连构成的杆件体系，为几何不变体系。
工程结构都应该是几何不变体系。
图2-1(c)所示三连杆体系，即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移(如图中虚线所示)，而不能保持原有的几何形状和位置，该体系称为几何可变体系。
几何可变体系有两种特殊情况。
第二章 几何组成分析
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
第2章 几何构成分析
二、平面刚片系的自由度 1.平面刚片系的组成：
由刚片以一定方式相连组成
各刚片间用结点（刚结点、铰结点）相连
刚片与基础之间用支杆相连
2.刚片间连接对自由度的减少：
1）单铰：连结两个刚片的铰称为单铰 。一个单铰相当于两个 约束。
2）复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。连结n 个刚片 的复铰相当于(n－1)个单铰。
A a
C
B
B
杆通过铰 瞬变体系
瞬 变 体 系 瞬 变 体 系 常 变 体 系
3、一点与一刚片用两根不共 线的链杆相联，组成无多余约束 的几何不变体系。 1 A 2
B
A
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变 原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。
(平面刚片系) (平面链杆系)
计算自由度，可能出现以下三情况： ⑴ W>0 (V>0) → 存在自由度，几何可变。 ⑵ W=0 (V=0) → 约束数正好等于刚片全无联系时 的自由度。可能几何不变，但不能保证。 ⑵ W<0 (V<0) → 约束数正好大于刚片全无联系时 的自由度。体系有多余约束。
§2-3 平面几何不变体系的基本组成规则
铰
链杆
Ⅱ
铰 实铰
O
虚铰
刚片2 E B A D C 刚片1 F
C
刚片2
A
B
刚片1
D
E
说明： 1. 连接两刚片的三个链杆相交于一点， 形成瞬变体系。
实铰：几何可变
虚铰：瞬变
2. 连接两刚片的三个链杆相互平行。 ⑴三平行杆不等长，组成瞬变体系(图① )。 ⑵三平行杆等长，且在同一侧，组成几何 可变体系( 图② )。
结构力学课件 几何组成分析几个概念
A
O
x
一固定支座： 3个约束
三、约束（联系）
2、内部约束
y
AB
Ⅰ αβ
xC θ
Ⅱ
y O
x
自由度由6个减至5个
一根单链杆(Simple link， 连接两个铰结点的杆件) ：
n=1
y 1
23
O
x
自由度由6个减至3个
复链杆(Multiple link，连接j>2 个铰结点的杆件) ：相当于2j3个单链杆，n=2j-3
三、约束（联系） 2、内部约束
y
A
Ⅰ xBθ
α
Ⅱ
y
O
x
自由度由6个减至4个
一单铰(Simple hinge， 联结两个刚片的铰) ：
n=2
y
Ⅲ
βA
Ⅰ9个减至5个
复铰（ Multiple hinge，联结两个以 上刚片的铰）：联结m个刚片的复 铰可看成m-1个单铰，n=2(m-1)
一、平面杆件体系的分类 几何可变体系(Geometrically unstable system )
体系受到任意荷载作用，即使不考虑材料的应变，在很小的荷载 作用下也会引起体系的几何形状和位置的改变，这样的体系称为 几何可变体系。
情况I：几何常变体系(Constantly unstable system)
原为几何可变体系，经微小位移后 仍能继续发生刚体运动的几何可变 体系，称为几何常变体系。
一、平面杆件体系的分类 几何可变体系(Geometrically unstable system )
体系受到任意荷载作用，即使不考虑材料的应变，在很小的 荷载作用下也会引起体系的几何形状和位置的改变，这样的 体系称为几何可变体系。
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I
A II 相交于∞处 (无穷远虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
O (虚铰)
I
A
①
I
C① ①
A B
②
②
D
B
D
D
应注意形成 虚铰的两链 杆必须连接 相同的两个 刚片
关于虚铰注意 1、应注意形成虚铰的两链杆必须连接相同的 两个刚片 ，下图都不称为虚铰
O
O
2、无穷远虚铰，无穷远点和无穷远线，见P22
2.2
几何组成分析的几个概念
一、刚片 二、自由度 三、约束 四、必要约束和多余约束 五、实铰和虚铰
一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中 一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个 刚片。
二、自由度
体系运动时可以独立改变的座标的数目，称为该体系的自由度。 y
A
A1
Dy Dx
y
A B Dx
B1
A1
Dq Dy
o
x
o
x
平面内一根杆件（一个刚片） 的自由度为3
平面内一个点的自由度为2。
三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由 度的装置是1个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座， 称为外部约束； 杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
1、链杆（支杆）的约束作用
1根链杆（支杆）相当于1个约束
I B
A II
2、铰的约束作用
(1)单铰（连接两个刚片的铰） 1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
A I
q
A II I
q1
q2
III
II
(2)复铰（连接两个刚片以上的铰） 连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
1、必要约束
在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变 化，则此约束称为必要约束。
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束 B
①A
c) 有多余约束
①
A
②
C
④
B
③
③
②
②
③
2、多余约束
在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
五、实铰和虚铰
1、实铰
I A II
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结） 1个单刚结相当于3个约束，减少3个自由度。
I II C A B A A左 A右 E I A II D III
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
四、必要约束和多余约束