一元函数积分法及其应用
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分在经济学中的应用
一元函数微积分可以让经济学研究者快速研究出经济系统所处时间
点下的收益、成本、利润等曲线，从而为当前的产品价格、总需求量、分配比例、效率水平等给出科学的、依据性的数字分析。
例如，在產業經濟學中，經常用一元函数微积分方法，對產業中的勞動、物料、能源等原料的利用、生產成本及其最低限度分析起非常重
要的作用。
基於一元函數微積分，我們也可以有效地探討各種經濟模
型和決策理論。
在金融領域，微积分可以用來模擬市場中股票、債券投資等行為。
一
元函數微積分技術能夠有效地提供未來投資策略的模擬和分析，以提
供給投資者未來的投資結果的預測。
因此，微积分是经济学的重要研究手段。
它的应用不僅能夠更加准确
地提出判断经济模型，而且还可以为经济研究者更有效地开展研究，
使他们能够做出更准确、更有效的经济研究。
一元函数的定积分与定积分的计算
一元函数的定积分与定积分的计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算一元函数在给定区间上的面积、曲线长度、体积等问题。
本文将介绍一元函数的定积分以及常见的定积分计算方法。
一、一元函数的定积分在介绍定积分之前，我们先来回顾一下导数的概念。
对于一元函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在某一点处的瞬时变化率。
类似地，定积分可以看作是函数在一定区间上的累积变化量。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，把[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上选择一个点ξi，并计算出f(ξi)。
将Δx 逐渐趋近于0，ξi逐渐靠近区间[a, b]的端点，可以得到如下极限：∑f(ξi)Δx → ∫f(x)dx其中∑表示求和，Δx表示小区间的长度，ξi表示取点的位置，∫表示定积分，f(x)dx表示被积函数。
定积分∫f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的区域的面积。
根据定积分的定义，我们可以将定积分分为两种情况：1. 当被积函数f(x)为非负函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的面积；2. 当被积函数f(x)为有正负之分的函数时，定积分的值表示函数曲线与x轴及两条垂直直线x=a、x=b所围成的有向面积，即正面积减去负面积。
二、定积分的计算方法计算定积分的方法多种多样，这里介绍几种常见的方法。
1. 几何法：根据定积分的几何意义，可以通过几何图形的面积公式计算定积分的值。
具体步骤是将被积函数对应的图形分割成几何形状简单的子图形，计算每个子图形的面积，然后将这些面积相加得到定积分的近似值。
2. 基本积分法：定积分的计算可以通过求导的逆操作——积分来实现。
根据函数的导数与原函数的关系，可以利用一些基本积分公式对被积函数进行积分。
常见的基本积分公式包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的重要关系。
一元函数微积分的基本原理与方法
一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。
一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。
一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。
在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。
导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。
对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。
微分是导数的一种应用。
设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。
它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。
在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。
二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。
1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷9(题后含答
考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设M=sin(sinx)dx，N=cos(cosx)dx，则有A．M＜1＜N．B．M＜N＜1．C．N＜M＜1．D．1＜M＜N．正确答案：A解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上连续，由sinx≤x=>sin(sinx)，即N＞1．因此选A．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用2．下列函数中在[－2，3]不存在原函数的是A．B．f(x)=max{I｜x｜，1}．C．D．f(x)=∫0xg(t)dt，g(x)=正确答案：C解析：先考察F(x)的连续性．关于A：f(x)在[－2，3]连续，存在原函数．B 中f(x)如图3．1所示，显然处处连续，在[－2，3]存在原函数．显然，D中g(x)在[－2，3]可积，f(x)=∫0xg(t)dt在[－2，3]连续=>f(x)在[－2，3]存在原函数．选C．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用填空题3．=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分概念、计算及应用4．∫－11(x+)2dx=________．正确答案：2解析：原式= 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用5．∫02πsinnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)=________．正确答案：0解析：由周期函数的积分性质得In，m∫02πsinnxcosmxdx=∫－ππsinnxcosmxdx．当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In，m=0．当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时In，m=∫－ππsinnx(1－sin2x)kdsinx=R(sinx)｜－ππ=0，其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此，In，m=0．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用6．已知f(x)=，则∫01xf(x)dx=________．正确答案：(e－1－1)解析：用分部积分法．由于f’(x)=，故知识模块：一元函数积分概念、计算及应用7．曲线y2=2x在任意点处的曲率为________．正确答案：解析：用曲率计算公式K= 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
一元函数的积分与面积计算方法探讨
一元函数的积分与面积计算方法探讨一元函数是数学中的基本概念，对于一元函数的积分与面积计算方法的探讨是数学学习中的重要内容。
本文将从一元函数的积分概念、基本性质和常用计算方法入手，逐步探讨一元函数的积分与面积计算方法。
一元函数的积分概念是微积分的核心概念之一。
积分可以看作是对函数在一定区间上的累加，表示了函数曲线下的面积。
在数学中，积分有定积分和不定积分两种形式。
对于一元函数的定积分，其计算方法可以通过牛顿-莱布尼茨公式或者黎曼积分等方法进行。
牛顿-莱布尼茨公式通过求导和不定积分的关系，将定积分的计算与不定积分联系起来，从而简化了计算过程。
黎曼积分是对定积分的一种近似计算方法，将函数在区间上划分成无穷多个小的子区间，然后对每个子区间上的函数值进行加权求和，通过极限的方法得到定积分值。
一元函数的不定积分，也称为原函数，是指函数的积分函数。
不定积分的计算方法主要依赖于基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
基本积分表是对常见函数的不定积分进行整理和归纳得到的结果表格，通过查表可以快速得到不定积分的结果。
换元积分法是一种基于复合函数的性质将不定积分转化为简单形式的计算方法。
分部积分法则是通过差积公式将含有乘积的积分转化为含有求导或者积分的积分形式。
在实际计算中，一元函数的积分与面积计算方法需要考虑函数的性质和计算技巧。
例如，对称性可以简化计算；利用恒等式可以将复杂的积分转化为已知的积分形式；通过奇偶性可以简化定积分的计算等等。
此外，面积计算方法是积分的一个重要应用领域，主要包括曲线下的面积计算和旋转体的体积计算。
曲线下的面积计算是指计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
对于一元函数，可以通过定积分来计算曲线下面积，主要是将曲线图形划分为多个小的矩形区域，然后通过极限的方法将矩形面积相加得到总面积。
旋转体的体积计算是指将曲线绕坐标轴旋转一周所形成的立体的体积计算，也可以通过定积分的方法进行计算。
总结一下，一元函数的积分与面积计算方法涉及到定积分和不定积分的计算方法、对称性、恒等式、奇偶性等性质的利用以及面积计算、体积计算等实际问题的应用。
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第五章.一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主要是讨论导函数的概念，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律是不是只是描述了一个特定函数的变化率呢？根据变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都具有相同的变化率变化规律，这实际上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也可以这么说，即相差任意一个常数的函数具有相同的导函数。
这样我们就得到了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F （x ）+c （c 为任意常数），对应着一个唯一的函数f （x ），满足)())((x f dx c x F d =+，或 dx x f c x F d )())((=+。
换一种观念，上面的过程也可以看成是一种对于函数F （x ）的运算，即微分的运算，得到函数F （x ）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数f （x ）的逆运算过程，得到函数F （x ）+c 本身，这种逆运算就是积分，或者说不定积分，写成⎰⎰+==+c x F dx x f c x F d )()())((。
这里，相对地，我们就把被积函数f （x ）称为原函数F （x ）+c 的导函数，而把原函数F （x ）+c 称为被积函数f （x ）的不定积分。
因此我们可以把不定积分理解为微分的逆运算，只不过是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无穷多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很容易地理解下面的表达式：⎰+=c x F dx x F )()('； ⎰=dx x f dx x f d )())((； ⎰=)()')((x f dx x f 。
希望同学们多加体会这些表面看来很绕的表达式，深切体会不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（1） （1） 由于我们主要是讨论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而只是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，并且相等。
因此对于分段函数，在分段点处就必须检验这个条件，对于某些特殊的函数，在某些特定的点，也会出现左右导数或者缺失，或者不相等的情况，这些都需要仔细加以验证。
（2） （2） 进一步，可导与可微仍然还存在一个差别，即函数在某点可导，导数可以是无穷，这种情况下，就不是可微的，即函数在一点及其邻域可微的充要条件是函数在这点存在有限的导数。
（3） （3） 另外一个连续函数的导函数未必是连续的，而对非连续函数作积分运算则是比较复杂的，本课程不作系统讨论。
基本积分公式和基本积分法则。
由于不定积分实际上就是微分运算的逆运算，因此把基本微分公式反过来写，就得到了相应的基本积分公式，我们列出如下：积分运算的线性性质：⎰⎰+⎰=+dx x g b dx x f a dx x bg x af )()()]()([，实际上对于任意有限个可积函数的线性组合，这个积分运算性质都是成立的。
其他对应的而又比较复杂的积分法则在下面分节再讨论。
换元法。
相应于求导法则当中的链导法，积分法就是所谓换元法。
我们知道，求导法当中的链导法的核心思想就是变量替换，同样，换元法的核心思想也是变量替换。
实际上，我们应该已经能够体会到，变量替换在函数的分析当中，本来就具有相当基本的重要性，而在积分运算当中，我们会看到同样具有基本的重要性。
我们在进行函数的复合时，已经可以体会到变量替换具有两种方式，或者说两个方向，一是减少复合的层次，二是增加复合的层次。
所谓换元法，也就具有相应的两种途径，一是把被积函数的自变量看成新引入的一个函数的自变量，而这个新引入函数的因变量则可以凑成原来被积函数的自变量，这样被积函数实际上就减少了复合的层次，而变得比原来的形式要简单；二是把被积函数的自变量看成一个新引入变量的函数，在被积函数当中代入这个函数，这样就改变了被积函数的自变量，并且使得被积函数增加了复合层次，表面看来是增加了被积函数的复杂性，但我们的目的是使得被积函数比较容易进行积分。
形式地说，就是假设被积函数为f （x ），它的不定积分⎰dx x f )(无法直接应用已知的积分公式来求出，那么我们可以尝试进行积分变量的替换，使得通过变量替换而得到一个更容易进行积分运算的积分式⎰du u g )(，其中变量u 和变量x 的关系可以是两种形式，即)(x u ϕ=和)(u x φ=，前面的形式是在被积函数中凑出新的函数来，后面的形式则是引入额外的新函数。
这两个途径就分别称为换元法一和换元法二，下面我们更仔细地分别进行讨论。
（1）换元法一。
设我们是取)(x u ϕ=，那么就有⎰dx x f )(=[⎰du u g )(])(x u ϕ=， 代入)(x u ϕ=就有⎰du u g )(=⎰)())((x d x g ϕϕ，上面等式右边出现了u 的微分，我们有dx x x d )(')(ϕϕ=，代入，我们的最终目的就出现了，即要求⎰dx x f )(=⎰dx x x g )('))((ϕϕ，也就是要求通过适当地取)(x u ϕ=，使得)('))(()(x x g x f ϕϕ=。
反过来，我们可以这么说，即把被积函数f （x ）凑成上面的形式，从而通过计算比较容易的⎰du u g )(而得到比较困难的⎰dx x f )(。
可以看出，这里的关键，就是把原来的被积函数凑出两个因式来，其中一个是某个新函数的导函数，而另一个因式则可以看成是以这个新函数为自变量的形式，最终经过这个换元过程是否达到了目的，就要看是否确实计算⎰du u g )(比计算⎰dx x f )(要容易，如果没有达到这个目的，则说明应用换元法无效，必须考虑使用别的方法。
至于如何选取适当的)(x u ϕ=，并没有一定的规律，主要是依靠我们通过练习来获得经验，增强观察力。
而应用换元法一的条件是其中所涉及到的)(x u ϕ=，)(),('u g x ϕ都必须是连续的。
最后需要注意的一点是，必须把变量x 通过)(x u ϕ=代入积分结果，从而得到我们真正要求得到的积分⎰dx x f )(。
（2）换元法二。
如果我们是取)(u x φ=，我们就可以进行下面的推导：⎰⎰⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰=--==])('))(([]))(([))(()()()(11du u u f du du dxu f dxu f dx x f x u x u φφφφφφ这整个推导的最终目的，就是希望新形式的被积函数)('))((u u f φφ⋅，尽管形式可能变得要复杂一些，但还是要比f （x ）更容易计算积分。
如何恰当地选取)(u x φ=而达到这个目标，则仍然是属于熟能生巧的范畴。
因此学习积分计算，最为重要的就是加强练习。
从换元法二的过程，可以看到它的一个条件就是要求f （x ）连续，而)(u x φ=必须具有连续的导数，并且这个导数不能等于0。
同样需要注意的一点是，必须把变量x 通过)(1x u φ-=代入积分结果，从而得到我们真正要求得到的积分⎰dx x f )(。
下面列出应用换元法所求出的一些常用函数的不定积分，在后面可以作为公式使用，不过希望同学们能够自己动手加以推导，这样才能真正掌握这些公式，同时也锻炼了自己运用换元法的能力。
（1）⎰+=-C a xdx x a arcsin122；（2）⎰+=+C a xarctg a dx x a 1122；（3）⎰+-+=-C x a xa a dx x a ln 21122；（4）⎰++=C tgx x xdx sec ln sec ； （5）⎰++-=C ctgx x xdx csc ln csc ； （6）⎰+=C chx shxdx ； （7）⎰+=C shx chxdx ； （8）⎰++-=-Ca x a x a x dx x a arcsin 22122222；（9）⎰+++=+C x a x dx x a 2222ln 1； （10）⎰+-+=-C a x x dx a x 2222ln 1分部积分法。
相当于乘积的求导法则的就是所谓分部积分法，我们可以直接从乘积的求导公式来推导出分部积分法。
如下：根据乘积的求导公式'')'(uv v u uv +=，得到')'('uv uv v u -=，如果采用微分形式，就是udv uv d vdu -=)(，两边取积分，就分别得到 ⎰-=⎰dx uv uv dx vu ''和⎰-=⎰udv uv vdu ，这两个表达式分别代表了两种方式的分部积分法，即或者把原来的积分凑成⎰dx vu '的形式，然后通过计算⎰udx v '而得到结果；或者把原来的积分凑成⎰vdu 的形式，然后通过计算⎰udv 而得到结果；当然这里的前提，或者说要使得使用分部积分法有意义，就必须首先考虑到计算⎰udx v '和⎰udv 要比原来的积分计算简单。
而所谓分部的意思，就是把本来的积分凑成上面的u 和v 的组合形式。
如何恰当地凑成u 和v ，使得简化积分过程的目的能够达到。
则必须通过大量的练习，来增加观察力。
有理函数以及可以化成有理函数的函数积分。
对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。
列出如下：（1）⎰+-=-C a x A dx a x Aln （2）C a x k Aa x d a x A dx a x A k kk +---=⎰⎰--=--)()1()()(1)(1（3）Cp q p x arctg p q Pp Q q px x P dx q px x QPx +-+--+++=⎰+++22224242)ln(2（4）⎰⎰+-++=⎰+-+=⎰+++dt a t Pp Q dt a t t P dt a t PpQ Pt dxq px x Q Px kk kk)(1)2()(22)()2()(2222222其中2px t +=；dt=dx ；42p q a -=。
可以很容易地求出（4）中的第一个积分为)()1(1)(222221a t k dt a t tk k +--=⎰+-。
而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式I an n a t t a n I nn n ⋅⋅-++⋅=+2211212)(2122，其中⎰+=+=C a t arctg a a t dt I 1221。