双曲函数
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
双曲函数的积分与导数
双曲函数的积分与导数在数学中，双曲函数是一类重要的函数，由指数函数和对数函数组成。
双曲函数具有丰富的性质，其中包括积分和导数。
本文将探讨双曲函数的积分和导数性质，帮助读者更好地理解和运用这些函数。
一、双曲函数简介双曲函数包括双曲正弦函数（sinh(x)）、双曲余弦函数（cosh(x)）、双曲正切函数（tanh(x)）以及双曲余切函数（coth(x)）。
这些函数与常见的三角函数有着类似的性质，但有一些明显的区别。
双曲正弦函数定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数定义为：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))双曲余切函数定义为：coth(x) = 1/tanh(x) = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x))这些函数在数学和应用领域中有广泛的应用，特别是在微积分、概率统计、电工电子等方面。
二、双曲函数的积分双曲正弦函数的积分与普通正弦函数的积分类似，即：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C其中，C为常数。
2. 双曲余弦函数的积分双曲余弦函数的积分与普通余弦函数的积分类似，即：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C其中，C为常数。
3. 双曲正切函数的积分双曲正切函数的积分与普通正切函数的积分类似，即：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C其中，C为常数。
4. 双曲余切函数的积分双曲余切函数的积分与普通余切函数的积分类似，即：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C其中，C为常数。
三、双曲函数的导数1. 双曲正弦函数的导数d/dx sinh(x) = cosh(x)2. 双曲余弦函数的导数双曲余弦函数的导数为：d/dx cosh(x) = sinh(x)3. 双曲正切函数的导数双曲正切函数的导数为：d/dx tanh(x) = sech^2(x)其中，sech(x)为双曲余切函数的倒数。
双曲函数
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
y archx
o
x
o
y arthx
1
x
y
-1
o
1
x
(x y)
sh ( x y ) 。
（五）反双曲函数
（ 1） 反 双 曲 正 弦 函 数 ：
arshx ln( x x 1 ) ， x ( , ) ；
2
（ 2） 反 双 曲 余 弦 函 数 ：
archx ln( x x 1 ) ， x [1, ) ；
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
（ 1 ） 双 曲 正 弦 函 数 ： shx e e 2
x x
，
x
（ 2 ） 双 曲 余 弦 函 数 ： chx
e e 2
x
，
（ 3 ） 双 曲 正 切 函 数 ： thx
shx chx
e e e exຫໍສະໝຸດ xx x。
（二）双曲函数的性质
3 ． y thx 的 定 义 域 是 ( , ) ， 值 域 是 ( 1, 1 ) ， 它 是 奇 函 数 ， 在 ( , ) 内 单 调 增 加 。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
1
y chx
o
x y
1
y thx
o
x
o
-1
x
（四）双曲函数之间的关系式
1 ． y shx 的 定 义 域 是 ( , ) ， 值 域 是 ( , ) ， 它 是 奇 函 数 ， 在 ( , ) 内 单 调 增 加 。
双曲函数的简单性质
双曲函数的简单性质
一、定义 双曲余弦：cosh()2
x x e e x -+= 双曲正弦：sinh()2
x x e e x --= 双曲正切：tanh()x x x x e e x e e
---=+ 二、性质
①22cosh ()sinh ()1x x -=
②2222cosh(2)cosh ()sinh ()2cosh ()112sinh ()x x x x x =+=-=+
③sinh(2)2sinh()cosh()x x x = ④22tanh()tanh(2)1tanh ()
x x x =+ ⑤221tanh ()cosh(2)1tanh ()
x x x +=- ⑥22tanh()sinh(2)1tanh ()
x x x =
- 由上述性质易证，可见其与三角函数的性质很相像，故上面三个函数的命名带有三角。
而性质①与标准双曲线方程的形式一致，故名双曲。
其实三角函数也叫圆函数。
事实上，由欧拉公式：
cos sin ix e x i x =+
可推导出：
cosh()cos()sinh()sin()tanh()tan()x ix x i ix x i ix =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此也可见三角函数与双曲函数的关系。
历史上有名的悬链线方程就是双曲余弦。
悬链线(Catenary)是指两端
固定的一条(粗细与质量分布)均
匀、柔软(不能伸长)的链条，在
重力的作用下所具有的曲线形
状。
伽利略曾猜测是抛物线。
虽
然伽利略错了，不过呢，抛物线与悬链线却存在这样的关系：
悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹。
双曲函数
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
双曲函数_精品文档
双曲函数双曲函数是一类特殊的数学函数，与三角函数密切相关。
双曲函数的研究与应用在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍双曲函数的定义、性质以及一些常见的应用。
定义：双曲函数是指一组涉及指数函数的函数族，其定义域为实数集，它们的计算结果和性质与三角函数非常类似。
我们可以通过指数定义来简单地记双曲函数：双曲正弦函数（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数（tanh）：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲余切函数（coth）：coth(x) = 1/tanh(x) = cosh(x)/sinh(x) 双曲正割函数（sech）：sech(x) = 1/cosh(x)双曲余割函数（csch）：csch(x) = 1/sinh(x)性质：双曲函数具有许多有趣的性质，使得它们在数学和应用中都有广泛的应用。
以下是一些常用的性质：1. 对称性：双曲函数是奇函数还是偶函数取决于参数的奇偶性。
sinh(x)和csch(x)是奇函数，cosh(x)、tanh(x)和sech(x)是偶函数，而coth(x)则既不是奇函数也不是偶函数。
2. 增长性：双曲函数的增长速度比指数函数稍慢。
当x的值变得非常大或非常小时，双曲函数的增长速度将远远超过指数函数。
3. 反函数：每个双曲函数都有它的反函数，例如，sinh(x)的反函数是ln(x + √(x^2 + 1))。
4. 三角关系：双曲函数和三角函数之间存在着许多关系。
例如，sinh(x)和cosh(x)之间满足勾股定理：sinh^2(x) + cosh^2(x) = 1。
这类似于三角函数中的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
应用：双曲函数在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 振动现象：双曲函数在描述振动现象中起着重要的作用。
双曲函数
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
[3]实变双曲函数y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。
y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
双曲函数th
双曲函数th双曲函数=（ f/,-)f(1-)=ln，令n=x(1-)/(x+1)，我们可以用两点差公式求出：f。
定义域x： g。
连续区间W：{0， +/2}f/=(f-)是f-->f的极值或者最小值，令h= -ln(注意不是ln-）。
最大值f=g=+-1/2。
y。
定义域： Y：{-， +/2}1/。
函数的值域： 1/=(0， 1)y=g。
左偏导数。
=liminf(（ g/，-）)/liminf(（ g/， -）)= 0-ln(g-)y。
右偏导数，函数的单调区间在[0， 1]上。
1/。
性质：设： f。
极值：=liminf liminf（ g/（-））=liminf liminf（ g/（-）） f。
单调区间：[0， 1] F。
中点定理： F。
左极限： f。
定义域： W。
右极限： F。
左极限： F。
右极限： G。
连续定义域： D。
连续但不可导定义域： D。
连续但不可导连续定义域：D。
连续导数：不存在极值： F。
无界不为0右边的表达式等于左边的表达式。
求导等于左边表达式的倒数。
1/。
重点1/。
基本性质： f。
极值：=liminf liminf g/（-）=liminf liminf g/（-） F。
中点定理： F。
左极限： f。
定义域：W。
右极限： F。
左极限： F。
右极限： G。
连续定义域： D。
连续但不可导定义域： D。
连续但不可导连续定义域： D。
连续导数：不存在极值： F。
无界不为0右边的表达式等于左边的表达式。
求导等于左边表达式的倒数。
2/。
函数值域： 1/f。
函数值域： Y。
f。
函数值域： Y。
1/。
例题：函数。
它是锐角二函数，对边分别为x。
1/。
已知：y。
单调性：函数（ f。
函数值域： Y。
f。
函数值域： Y。
F。
左极限： f。
定义域： W。
右极限： F。
左极限： F。
右极限： G。
连续定义域： D。
连续但不可导定义域： D。
连续但不可导连续定义域： D。
连续导数：不存在极值： F。
双曲函数和差公式
双曲函数和差公式
双曲函数是一类与三角函数类似的数学函数，它们在数学、物理学和工程学中有广泛的应用。
双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）等。
差公式是指双曲函数的一种重要性质，它可以用来计算双曲函数的和、差等运算。
双曲函数的差公式可用以下公式表示：cosh(x + y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
sinh(x + y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x) *
tanh(y))
双曲函数的差公式在计算中起到了重要的作用，特别是在处理双曲函数的和、差等运算时，能够简化计算过程，并且可以降低计算误差。
除了差公式，双曲函数还有很多其他的数学性质和公式，例如导
数公式、积分公式等。
双曲函数还与指数函数、对数函数、幂函数等
有一些特殊的关系，可以通过这些关系进行更深入的数学研究和应用。
双曲函数在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在电磁学中描
述电场和磁场的分布、在振动学中描述弹性体的振动等。
双曲函数还
与概率论、统计学、信号处理等有密切的联系。
总之，双曲函数和差公式是数学中重要的概念和工具，通过它们
可以描述和计算多种数学问题，具有广泛的应用价值。
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双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。
这基于了很容易验证的恒等式cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质 t > 0 对于所有的 t。
双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x且sinh0=0。
实变双曲函数图像的基本性质y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.y=cosh(x).定义域：R.值域：[1,+∞).偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称.y=tanh(x).定义域：R.值域：(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞,tanh(x)=1],lim[x->-∞,tanh(x)=-1].y=coth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞,coth(x)=1],lim[x->-∞,coth(x)=-1].y=sech(x).定义域：R.值域：(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->∞,sech(x)]=0.y=csch(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->∞,csch(x)]=0.双曲函数名称的变更：sh也叫sinh, ch也叫cosh复变中的双曲函数?1、定义双曲正弦： sh(z) = [e^z - e^(-z)] / 2双曲余弦： ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 22、性质解析性：shz,chz是全平面的解析函数周期性：shz,chz是周期函数，周期为2πi,这是完全不同于实变函数中的性质双曲函数与三角函数的关系双曲函数与三角函数有如下的关系:* sinh x = -i * sin(i * x)* cosh x = cos(i * x)* tanh x = -i * tan(i * x)* coth x = i * cot(i * x)* sech x = sec(i * x)* csch x = i * csc(i * x)i 为虚数单位,即 i * i = -1恒等式与双曲函数有关的恒等式如下:cosh^2(x) - sinh^2(x) =1coth^2(x)-csch^2(x)=1tanh^2(x)+sech^2(x)=1加法公式sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))减法公式sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))二倍角公式sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh^2(x))coth(2x) = (1+coth^2(x))/2coth(x)三倍角公式sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)cosh(3x)=4cosh^3(x)-3cosh(x)半角公式cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2tanh(x / 2) = (coth(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(coth(x)+1)coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)德莫佛公式(cosh(x)±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。
Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。
如三倍角公式sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin^3(x)sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:arcsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]arccosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]arctanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2arccoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2arcsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]arccsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0其中,sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根双曲函数与反双曲函数的导数(sinh(x))'=cosh(x)(cosh(x))'=sinh(x)(tanh(x))'=sech^2(x)(coth(x))'=-csch^2(x)(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)(csch(x))'=-csch(x)coth(x)(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)(arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<1)(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)双曲函数与反双曲函数的不定积分∫sinh(x)dx=cosh(x)+c∫cosh(x)dx=sinh(x)+c∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2 ∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c(sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)双曲函数与反双曲函数的级数表示sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^(2k-1)/(2k-1)!+... (z∈C) cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^(2k)/(2k)!+... (z∈C)arcsinh(z)=z-(1/6)z^3+(3/40)z^5-(5/112)z^7+...+(-1)^k[(2k-1)!!/(2k)!! ][z^(2k+1)/(2k+1)]+... (|z|<1)arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^(2k-1)/(2k-1)+... (|z|<1)。