高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的

1
水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的 坡面与水平面要成一个适当的角度.
2
建筑施工时，为了保证墙面是竖直的，常使用铅锤 来检测，这是什么道理呢？
3
1.理解 “二面角”、“二面角的平面角”及“直 二面角”、“两个平面互相垂直”的概念.
2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用. （重点）
3. 理解“类比归纳”思想在数学问题解决上的作 用．（难点）
于___9_0_°___．
【解析】因为 PA⊥平面 ABC， 所以 PA⊥AB，PA⊥AC. 所以∠BAC 是二面角 B－PA－C 的平面角． 又∠BAC＝90°， 则二面角 B－PA－C 的平面角是 90°.
29
5.四棱锥 P－ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面 ABCD， 点 E 在棱 PB 上．求证：平面 AEC⊥平面 PDB.
一“找”二“证”三“求”
关键：确定二面角的平面角.
11
D1 B1
A1
M D
E
A
GF
B
C1 N
C
中点
12
【即时训练】
自二面角 α－l－β 的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面
角 α－l－β 的平面角，必须具有条件( D )
A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l 且 AO⊂α，BO⊂β
8
10
思考2 ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？ 为什么？
平面角的大小与棱 上点的选取无关.
A
lO
B
β
9
【寻找二面角的一般规律】
A1 M
D1 B1
D
C1 N
C
A
B
B
端点
S
A
D
C
中点
10
求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角; 2、证明找到角就是二面角的平面角; 3、求出此平面角的大小。
16
思考4 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？

17
抽象出平面与平面垂直的判定
l l
18
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号表示:
a
a

aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

线面垂直
面面垂直
19
【即时训练】
设有直线m,n和平面α ,β ,则下列结论中正确的是( B ) ①若m∥n,n⊥β ,m⊂α ,则α ⊥β ;
23
【变式练习】
如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90°,P为△ABC所在
平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相
垂直，为什么？ P
PA PA

面ABC 面PAC


面PAC

面ABC
PA PA

面ABC 面PAB


面PAB

面ABC
A
C
B
24
P
CB CB
C.m∥β 且l⊥m
D.α ∥β 和α ⊥γ
21
例1 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平 面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找出在一个 面内与另一个面垂 直的直线. BC⊥平面PAC
22
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， 有PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC， 因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O的直径， 所以∠BCA＝90°， 即BC⊥CA. 又因为 PA与AC是△PAC所在平面内 的两条相交直线， 所以 BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内， 所以平面PAC⊥平面PBC.
解答：二面角的平面角 7
二面角的度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
注意： 二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内

3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
l
二面角θ的取值范围为

O
B
0°≤θ≤180°
②若m⊥n,α ∩β =m,n⊂α ,则α ⊥β ;
③若m⊥α ,n⊥β ,m⊥n,则α ⊥β .
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
20
【互动探究】
如果直线l,m与平面α ,β ,γ 满足l=β ∩γ ,l∥α ,m⊂α ,
m⊥γ ,那么有 ( A ) A.α ⊥γ 和l⊥m
B.α ∥γ 和m∥β
4
探究点1 二面角 半平面
半平面
半平面
5
二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫 做二面角的面.
Q
l P

记为：二面角 l
简记： P l Q
6
思考1 我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大 一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？

面PAB 面PBC

面PBC

面PAB
A
C
B
25
1.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则给出下列四
种关系,正确的是 ( D )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面BDC
26
2.经过平面α 外一点和平面α 内一点与平面α 垂直
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，
求这两部分体积的比.
32
33
定义
二面角
画法 度量方法 直二面角
平面角
两平面垂直
34
13
探究点2 平面垂直 思考3 教室的相邻两面墙与地面可以构成几个 二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平 面角及度数？
P
α
14
平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面
角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
α
Aa D
β C
Bb E
15
图形表示 β
β
α
α
注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
30
证明：设 AC∩BD＝O，连接 OE. ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD 为平面 PDB 内两条 相交直线， ∴AC⊥平面 PDB. 又∵AC⊂平面 AEC， ∴平面 AEC⊥平面 PDB.
31
6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∠ACB=90°，AC=BC=
1 2
AA1，D是棱AA1的中点.
的平面有 ( D ) A.0个
B.1个
C.无数个
D.1个或无数个
27
3.(2015·石家庄高一检测)自二面角内任意一点分别向
两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的
关系是 ( B ) A.相等
B.互补
C.互余
D.无法确定
28
4．如图，三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， 则二面角 B－PA－C 的大小等