林寿数学史第八讲：19世纪的代数讲课讲稿
代数与代数基本定理的历史
代数与代数基本定理的历史1.关于代数的故事在十九世纪以前，代数被理解为关于方程的科学。
十九世纪，法国数学家伽罗华（Evaristr Galois）开创群论以后，代数不再以方程为中心，而是以各种代数结构为中心。
作为中学数学课程的代数，其中心内容就是方程理论。
代数的发展是和方程分不开的。
代数对于算术来说，是一个巨大的进步，代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量，根据问题的条件列同方程，然后解方程求出未知量，我们举一个例子：一个乘以3，再除以5，等于60，求这个数。
算术求法（公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的：既然这个数的3/5是60，那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍，即100。
代数解法：设某数为x ，则可见代数解法与算术思路不同。
各有自己的一套规则，代数解法比较简单明了。
古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。
据说，1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷，他惊奇地发现，这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题（当然都是用象形文字表示的）。
例如有一个问题翻译成数学语言是：“啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。
”如果用x表示这个问题中的求知数，就得到方程，解这个方程，得到。
令人惊奇的是，虽然古埃及人没有我们今天所使用的方程的表示和解法，却成功得到解决了这个答数。
我国古代的代数研究在世界上一直处于领先地位，在经典数学著作《九章算术》中，除了方程外，还有开平方、开立方、正负数的不同表示法和正负数的加减法则等代数的最基本问题，到宋、元时代，我国对代数的研究达到了高峰。
贾宪等的高次方程数值解方法，秦九韶的联立一次同余式解法，李治的列方程一般方法，朱世杰的多元高次方程组解法，及其有限级数求和的“招差法公式”，都早于欧洲几百年。
“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的，来自拉丁文（Algebra），它又是从阿拉伯文变来的，其中有一段曲折的历史。
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• 1852年意大利数学家贝蒂(1823---1892)发表文章,全 面介绍伽罗瓦理论.
• 法国数学家约当(1838----1922)在1870年(伽罗瓦已 去世38年)第一次系统阐述伽罗瓦利用群的概念,把 方程的特性归结为群的特性,从而得出五次和五次 以上方程有根号解的充要条件,彻底解决了方程论 中这个重要问题.
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• 伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻 底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了 一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为 伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代 数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数 学研究工作提供了新的数学工具---群论。它对数学分 析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现 代阶段的开始。
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• 1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥 本哈根见达根，希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦 回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确 解决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。 后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认 为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论 文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六 页的小册子。
• 阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德 国被称为数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜文 章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不 可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没 法子解决的问题，于是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒 得做，就把它扔在书堆里了。
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• 埃尔米特(1822---1901年)在评价阿贝尔时写到,他产生的丰富的思想可以使数学 家忙碌500年.
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
林寿数学史中世纪的东西方数学Ippt课件
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《缀术》
祖冲之(南朝宋、 齐, 429-500年)
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《九章算术注》
刘徽的割圆术
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《九章算术注》
割圆术(6边形)
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
天元术
李冶的天元术
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
❖ (1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术； ❖ (2)天时类，历法推算，雨雪量的计算； ❖ (3)田域类，土地面积； ❖ (4)测望类，勾股、重差等测量问题； ❖ (5)赋役类，田赋、户税； ❖ (6)钱谷类，征购米粮及仓储容积； ❖ (7)营建类，建筑工程； ❖ (8)军旅类，兵营布置和军需供应； ❖ (9)市易类，商品交易和利息计算．
数学史话：数学史话(8)十九世纪的数学
8、十九世纪的数学十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。
复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。
它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。
十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。
微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。
然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。
而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。
上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。
法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。
他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。
法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。
数学史 第八讲.ppt
• 1）直觉主义学派
• 其代表人物L.布劳威尔（1881—1966）。知道布劳威尔不 动点定理的读者不少，但知道他对数学的哲学观点者，就 不一定多了。直觉主义的特点是“植根于数学的构造性”。 这是算术计算形式的深化与扩充，属枚举数学、穷竭法等 思想体系，也可以叫它做“硬数学”。它既不同于现实世 界中的感觉（经验主义），也不同于逻辑主义中的“演 算，”它认为逻辑规律并不对数学有任何约束作用，数学 是自由的，他们不承认无理数、不承认无穷性的阶和超势 等抽象的概念；他们坚持康德的观点，认为算术是在时间 基础上的直觉，而数学是建立在算术基础上的，所以数学 应该是“直觉”的；他们试图构造一个不依靠排中律的集 合论，为此还于1909年直接与希尔伯特通信辩论过。
• 2）形式主义学派
• 尽管希尔伯特自己并不承认其形式主义，但举世公认形式 主义学派的代表人物是希尔伯特，他的信条是“数学与形 式符号有关”。他是在完成《几何学原理》（1899）的基 础上“建立起”这一学派的，他提出了一套“宏伟”计划， 试图把整个数学无矛盾地纳入一套完备的形式符号体系， 由此产生了所谓“元数学”以解决形式系统的“相容性” 问题，这些理论已完全表述在其失败巨著《数学基础》一、 二卷上（1934—1939）。虽然这套计划被哥德尔不完全性 定理（1930）打破了，整个数学形势也为之改观了，但形 式主义也仅仅“被泼了一瓢凉水”，其结果不是冷却了。 而是变得更清醒了。
5. 数学发展的源动力
• 数学发展的动力是什么？
• （1）实践的需要 • 这里“实践”包括生产实践、科技实践乃至社会生活实践。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
数学史简介ppt课件
方程论的发展
随着符号代数的出现，方程论得 到了迅速发展，包括一元一次方 程、一元二次方程、高次方程等
。
代数结构的形成
19世纪，数学家们开始研究代数 结构，如群、环、域等，使代数 学成为一门具有严密逻辑体系的
学科。
分析学的建立
微积分的诞生
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分，为分析学的 发展奠定了基础。
分数运算
古埃及人发明了分数，并 掌握了分数的四则运算， 为数学发展奠定了基础。
几何学应用
在建筑、土地测量和天文 观测等领域，古埃及人运 用了几何学知识。
计数系统
采用十进制和六十进制混 合的计数系统，对后世数 学和计算机科学产生重要 影响。
古印度数学
阿拉伯数字
古印度人发明了0-9的数字符号， 为现代数学和计算机科学提供了 基础。
代数与三角学的复兴
文艺复兴时期数学家在代数与三角学领域的 成就，以及对后世的影响。
透视画法与数学
文艺复兴时期艺术家对透视画法的探索，以 及数学在透视画法中的应用。
微积分学的萌芽
文艺复兴时期数学家对微积分学的探索，以 及微积分学在文艺复兴时期的地位。
04
近代数学时期
代数学的兴起
符号代数的出现
16世纪，法国数学家韦达引入符 号代数，为代数学的发展奠定了
同调代数的兴起
20世纪中叶，同调代数的兴起为代数学提供了新的研究方法和视 角。
拓扑学与泛函分析的兴起
01
拓扑学的建立
庞加莱、弗雷歇等数学家创立的拓扑学，研究了空间形状在连续变换下
的不变性质。
02
泛函分析的发展
20世纪初，泛函分析开始形成并迅速发展，成为现代数学的重要分支之
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鲁菲尼 拉格朗日
1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理
阿贝尔
1829－1831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论Leabharlann 伽罗瓦代数方程根式解
❖ 阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论
❖ 16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作
❖ 1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性
哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983)
行列式与矩阵
✓ 1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式 理论和代数方程变换理论
数系扩张
❖ 哈密顿（爱尔兰，1805－1865年 ），光 学、力学和代数
❖ 自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童” ❖ 1820年已阅读牛顿《自然哲学的数学原
理》，拉普拉斯的《天体力学》，1823 年进入剑桥大学三一学院 ❖ 1834年发表论文“一种动力学的普遍方 法” ❖ 1843年10月16日定义了四元数－－“思 想电路接通之火花” ❖ 1837－1845年任爱尔兰皇家科学院院长 ❖ 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓 扑、代数几何获奖
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖
代数方程根式解
伽罗瓦的遗书
❖我请伽一求罗经我瓦历的贡了爱3献0国：0年同群问胞论题们，的，宣彻我告底的方解朋程决友根，们式及，解尺不这要指责我不是为我的国家而死。 我是规作作为图一中个“不三等名分誉任的意风角骚”女问人题和和她“的倍两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可 耻的诽立谤方中”结问束题我不的可生能命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？ 我恳❖求在苍中天学为读我书作时证，，已只经有熟武悉力欧和拉强、迫高才斯使、我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲雅爱可的比朋（友德，，我18已04经－得18到5分1年析）学的方著面作的一些新发现……。 ❖在我18一29生年中进，入我巴常黎常高敢等于师预范言学当校时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这 里 了 他自们写❖❖请己的下公1奖1于未看的88开论为23完法这91请“文全。－年一求爱，证然11切8月雅情分明后已3被1可与别的，经年校荣交比定我清提方誉柯或理希清交开西”高望。楚法除、的斯有楚国，傅决就人地科两里斗这会在学次叶些发我院入、现定的的狱泊将理脑数，松这的海学死些重里整要一理性年清（多楚不了会伽是，是罗就我很瓦(定不法有(理愿法国益的意,,1处18正使91的8确1人4-一)1与怀8件3否疑2事）我) 。发宣布表 ❖热烈18地46拥年抱论你文。发表 伽罗瓦
第八讲 19世纪的代数
代数学的新生
代数 方程与根
数系扩张
突破传统 行列式与矩阵
布尔代数
代数数论
代数方程根式解
❖ 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理
P(x) a(x - r1)(x - r2 ) (x - rn )
❖ 高斯，数学家、物理学家和天文学家 ❖ 1795年进入哥廷根大学 ❖ 正17边形尺规作图法（1796） ❖ 数论、代数、非欧几何、复变函数和
复数
1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939)
分别证明了e和π是超越数，“化圆为方”问题的不可能
欧拉常数
lim(1 n
1 2
1 3
1 n
-
logn)
是否是无理数?
1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位
i 2 j2 k 2 -1
a bi cj dk
ij -ji k, jk -kj i, ki -ik j
➢ 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 ➢ 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 ➢ 麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析
微分几何等方面做出了开创性的贡献 ❖ 近代数学奠基者之一，“数学王子” ❖ “宁可少些，但要好些。”
高斯(联邦德国, 1955)
代数方程根式解
高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)
代数方程根式解
高斯墓
代数方程根式解
1770年拉格朗日(法, 1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理
代数方程根式解
抽象化尝试
➢ 有限置换群 ➢ 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群
➢ 伽罗瓦域 ➢ 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域
数系扩张
1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数
实数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了π是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在
1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德 (瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示
1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示
数系扩张
➢ 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 ➢ 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数
❖ 1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文
❖ 1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 ❖ 1827.5回到奥斯陆 ❖ 1841年椭圆函数论论文发表
阿贝尔
1908年维格兰(挪, 18691943)雕塑的阿贝尔塑像
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
阿贝尔的塑 像
(挪威, 1983)
1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设 立阿贝尔奖。
挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币 2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔 诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年 起每年颁发一次。
阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰 出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。
数学奖
阿贝尔奖(2003- )