2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔试题(附答案详解)
2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)
静安区选拔赛
解答本试卷可以使用科学计算器 一、填空题(每题10分，共80分)
1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 3．若a 2＋b 2＝4
＝ ．
4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等．已知2017CD AB =，则BC
AD
的值为 ． 6．若x 、y 都是正数，且7
9
xy x y ++=
，则22x y xy -+的最大值为 ． 7．有一个六位数，它的数码和可被26整除．这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 ．
8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧?BD
的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝
4，CD ＝2
，则AB ＝ ．
二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分) 9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．
(第8题图)
10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？
11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E．若PQ⊥AC，证明：点E为边AB
的中点．Array
(第11题图)
12．从1，2，3，…，2017中选取n个数，使得这n个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n的最大值．
2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)
静安区选拔赛
解答本试卷可以使用科学计算器
一、填空题(每题10分，共80分)
1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 解：－3．
由题设，b ＞0，不等式x a b +<等价于－a －b ＜x ＜－a ＋b ．
从而2
4a b a b --=??-+=?
，解得a ＝－3，b ＝1，ab ＝－3．
2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 解：－9．
由x ＋y ＝2，得x ＝2－y ，则()2
326444z y y y y y +=---=---，
即()2
320z y +++=．
因此z ＝－3，y ＝－2，x ＝4，x ＋2y ＋3z ＝－9.
3．若a 2＋b 2＝4
＝ ．
解：2．
由a 2＋b 2＝4，得－2≤a 、b ≤2，所以a ＋2≥0，且b －3＜0． 又ab －3a ＋2b －6≥0，即(a ＋2)(b －3)≥0， 所以a ＝－2，b ＝0，原式＝2．
4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 解：0＜a ＜1．
由题意得()()210,1420
a b a b ≠??
??=--->??，即()2
10,212810.a b a b a ≠???=-+++>? 因为对任意实数b 恒成立，所以()()2
24124810a a ?=+-+<，解得0＜a ＜1．
5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等，已知2017CD AB =，则BC
AD
的值为
．
6．若x 、y 都是正数，且79
xy x y ++=，则22
x y xy -+的最大值为 ． 解：
881.
因为79xy x y xy =++≥+，所以
2≤16
9
，0＜xy ≤19．
所以2
2
x y xy -+＝22
1111182492481
xy ????--+≤--+= ? ?????，
所以，当19xy =
时,即13x y ==时, 22
x y xy -+取最大值为881
.
7．有一个六位数，它的数码和可被26整除.这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 . 解：898999．
显然，这个六位数加1以后有进位．
要使数码和为26的倍数，至少需要进3位．因此，此六位数的后三位均为9，前三位的数码和是25．
因此满足条件的最小的数为898999．
8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧?BD
的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD
AB ＝ ． 解：12．
延长AB 、DC 交于点E ．
因为AD 为直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°， 因此∠EBP ＝90°＝∠DCP ，
所以E 、B 、P 、C 四点共圆，DC ·DE ＝DP ·DB ．
因为C 是弧?BD
的中点， 所以∠EAC ＝∠DAC ，EC ＝DC
，45＝DP ·(DP ＋4)，解得DP ＝5． 由勾股定理得，CP
CP ·AP ＝DP ·BP
AP ＝5×4，AP
＝．
所以AB
12=．
(第8题图)
二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)
9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．
解：由一元二次方程根与系数的关系得 a ＋b ＝10c ，c ＋d ＝10a ． 两式相加得 a ＋b ＋c ＋d ＝10(a ＋c )．
因为a 是方程程x 2－10cx －11d ＝0的解，且d ＝10a －c ，所以，
0＝a 2－10ac －11d ＝a 2－10ac －11(10a －c )＝a 2－110a ＋11c －10ac ．① 类似地，c 2－110c ＋11a －10ac ＝0．② ①－②得(a －c )(a ＋c －121)＝0． 因为a ≠c ，所以a ＋c ＝121． 因此，a ＋b ＋c ＋d ＝10×121＝1210．
10．求所有的素数对(p ，q )，使得p 2＋10pq ＋9q 2为完全平方数？ 解：设p 2＋10pq ＋9q 2＝k 2(k ∈N*)，
则(p ＋3q )2＋4pq ＝k 2，(k －p －3q )(k ＋p ＋3q )＝4pq ． 因为p 、q 都是素数，
所以(k －p －3q ，k ＋p ＋3q )＝(1，4pq )，(2，2pq )，(4，pq )，(p ，2q )，(q ，2p )，(2p ，q )，(2q ，p )．
则2(p ＋3q )＝4pq －1,2pq －2，pq －4，p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ． 因为2(p ＋3q )是偶数，4pq －1是奇数，所以2(p ＋3q )≠4pq －1． 因为2(p ＋3q )＞p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ， 所以2(p ＋3q )≠p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ．
若因此2(p ＋3q )＝pq －4，则p 、q 中必有一个为2，代入后无符合题意的解． 若2(p ＋3q )＝2pq －2，则pq －p －3q ＝1，(p －3)(q －1)＝4， (p －3，q －1)＝(1,4)，(2,2)，(4,1)． 解得(p ，q )＝(4,5)（舍），(5,3)，(7,2). 综上所述，(p ，q )＝(5,3)，(7,2).…
11．已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，DA ，CB 的延长线交于点Q ．过点P 作PE ⊥BC ，交边AB 于点E .若PQ ⊥AC ，证明：点E 为边AB 的中点． 证明：在PC 上截取P A ′＝P A ，则∠P A ′Q ＝∠P AQ ，点P 为AA ′中点．(5分) 联结A ′B ．
因为∠P A ′Q ＝∠P AQ ＝180°－∠DAC ＝180°－∠DBC ＝∠PBQ ， 所以A ′、P 、Q 、B 四点共圆． 所以∠A ′BC ＝∠QPC ＝90°，即A ′B ⊥BC . 因为PE ⊥BC ，所以A ′B ∥PE ．
因为点P 为AA ′中点，所以点E 为边AB 的中点.
(第11题图
)
法二：延长PE 交CQ 于点F ，则∠PFB ＝∠APQ ＝90°。 因为∠PBF ＝180°－∠DBC ＝180°－∠DAC ＝∠P AQ ， 所以△PBF ∽△QAP ，
BF PF
AP PQ
=。 因为
PF CF
PQ PC
=， 所以
BF CF
AP PC
=
。 由直线PEF 截△ABC ，得
1AP CF BE PC FB EA
=g g 。 所以BE ＝EA ，即点E 为边AB 的中点。
12．从1，2，3，…，2017中选取n 个数，使得这n 个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n 的最大值．
解：一方面，选取{9i ＋1，9i ＋2，9i ＋3，9i ＋4，2017}(i ＝0，1，2，3，…，223)，这897个数满足题意．
另一方面，对于9个连续正整数a ，a ＋1，a ＋2，…，a ＋8，可分为以下五组{a ，a ＋4}，{a ＋1，a ＋5}，{a ＋2，a ＋6}，{a ＋3，a ＋7}，{a ＋8}，每组至多取一个数，即任意连续9个正整数中至多取五个数．
若恰好取出五个数，则每组恰好取一个，则必有a ＋8，则无a ＋3，a ＋4，则必有a ＋7，a ，则无a ＋2，a ＋5，则必有a ＋6，a ＋1．由于(a ＋6)－(a ＋1)＝5，因此不满足题意，所以任意连续9个正整数中至多取四个． 所以从1，2，3，…，2017中至多取2016
418979
?+=个正整数． 综上所述，n 的最大值为897．