对数函数及其性质(第一课时)

单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 上是增函数
问题一：在定义中为什么要限定 问题一：在定义中为什么要限定a>0,且a≠1? 且 答：根据对数与指数式的关系，知 y = loga x a y = x ，由指数的概念，若使 a y = x 可化为 恒有意义，必须规定a>0且a≠1. 问题二：为什么对数函数 y = loga x(a > 0,a ≠ 1) 问题二： 的定义域为(0, + ∞ ) ？ 答：因为 y=logax 可化为 a = x ，不 ay > 0 ， 管y取什么值，由指数函数的性质， 所以x∈(0,+∞).
x ≠ x > x ≤
1 2 0 1 2
1 ⇒0 < x < 2
1 ∴ 函数的定义域为 ( 0 , ) 2
一般地，我们把函数 y = loga x(a > 0,a ≠ 1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域 为 (0, +∞ ) .
a>1
y y
0<a<1
1 o 1 x o x
1 42
的图象填写下表
图像特征 图象位于y轴 图象位于 轴右方
0 1 2 3 4 -1 -2
函数性质 定义域 :
x
( 0,+∞) R
图象向上、向下无限延伸 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降 自左向右看图象逐渐下降 轴的交点是（ ） 与x轴的交点是（1,0） 轴的交点是 X>1,图像在 轴下方 图像在x轴 图像在 0<x<1，图像在 轴上方 ，图像在x轴
引例： 引例：
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题， 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞 分裂时， 个分裂成2个 个分裂成 个分裂成4个 分裂时，由1个分裂成 个，2个分裂成 个……1个这样的细胞 个分裂成 个这样的细胞 分裂成x次后 得到细胞个数y是分裂次数 的函数， 次后， 是分裂次数x的函数 分裂成 次后，得到细胞个数 是分裂次数 的函数，这个函数 表示。 可以用指数函数 y=2x 表示。
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) ＞ a＞1
y 1 o 1 x o
0＜a＜1Leabharlann x图象定义域 值域 定点 值分布
(0,+∞) R (1,0) 当 x＞1 时，y＞0 ＞ ＞ 当 0＜x ＜1 时， y＜0 ＜ ＜
(0,+∞) R (1,0) 当 x＞1 时，y＜0 ＞ ＜ 当 0＜x＜1 时，y＞0 ＜ ＜ ＞ 上是减函数 在( 0 , + ∞ )上是减函数 上是
对数函数
概念
数形结合 图象 性质
思考 你能发现对数函数图象 和指数函数图象的关系吗？
例3 比较下列各组数中两个值的大小
(1) log 2 3.4, log 2 8.5 (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7
(3)loga 5.1,loga 5.9(a > 0, 且 a ≠ 1)
log2 3.4 < log2 8.5
（2）∵函数 y = log0.3x 在（0，+∞）上是 ） ， ） 增函数，且1.8<2.7 增函数， ∴
log0.3 1.8 > log0.3 2.7
（3）当a>1时， 函数 y = loga x 在（0，+∞）上 是增函数，且5.1<5.9 ∴ loga 5.1 < loga 5.9 当0<a<1时，函数 y = log x 在（0，+∞） a 上是减函数，且5.1<5.9 ∴ loga 5.1 > loga 5.9
⇒
x x
≠ >
1 2 0
探究1：y = log 2 x和y = log x 的图像 特征
1 2
在同一直角坐标系中分别画出它们的图 像
作图步骤：
列 表
X y=log2x … … 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 … …
描 点 连 线
y 2 1
0
11 42
注：(1)(2)是对数型函数。 是对数型函数
求下列函数的定义域？ 例2 求下列函数的定义域？ 2 (1) y = log a x （a>0且a≠1） 且 ） (2) y = log a (4 - x) （a>0且a≠1） 且 ）
log 1 x- 1
(3)
y=
2
2 x- 1
x 2 > 0 ， 即x ≠ 0 ：（1）要使函数有意义， 解：（ ）要使函数有意义，则
反过来， 个细胞经过多少次分裂 大约可以等于1万个 个细胞经过多少次分裂， 万个、 万个 万个…… 反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于 万个、10万个 细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？ 是 的函数吗 的函数吗？ 细胞？已知细胞个数 ，如何求分裂次数 ？x是y的函数吗？
1
2 x=?
4
0<a<1
图象位于y轴右方 图象位于 轴 图象向上、向下无限延伸 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降 自左向右看图象逐渐下降 轴的交点是（ ） 与x轴的交点是（1,0） 轴的交点是 X>1,图像在 轴下方， 图像在x轴下方， 图像在 0<x<1，图像在 轴上方 ，图像在x轴
对数函数的性质
单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 上是增函数
例3 比较下列各组数中两个值的大小
(1) log 2 3.4, log 2 8.5 (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7
解：（1）∵函数 y = log2 x 在（0，+∞）上是 ：（ ） ， ） 增函数， 增函数，且3.4<8.5 ∴
值 域 :
在(0,+∞)上是： 减函数 (0,+∞)上是： 上是 X=1时,y=0 时 X>1时,y>0;0<x<1时，y<0 时 时
y
4 3
y=log2x y=log3x
2 4 6 8 10
2
1
O
-1
x
-2
y = log
y = log x
1 2
-3
1 3
x
y 猜想： = log 4 x 和 y = log 1 x 分别与哪个图像相 4 似？
1 2 3
4
x
-1 -2
列 表 描 点
x y = log 2 x
y = log
1 2
… … …
1/4 1/2
-2 2 -1 1
1
0 0
2 4
1 -1
…
2 … -2 …
x
y 2 1
11 42
连 线
0
1 2 3
4
x
-1 -2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？ 系呢？
关于x轴对称 关于 轴对称
y 2
y
判断下列函数哪些是对数函数？ 例1 判断下列函数哪些是对数函数？ x （1） y = lo g 5 ） 5 （2） y = 3log 2 (x+1) ） （3） y = 2 log 2 x ） 解析：（ ）不是，不符合自变量前的系数为1 解析：（1）不是，不符合自变量前的系数为 ：（ （2）不是，定义域不是（0，+∞） ）不是，定义域不是（ ， ） （3）是，此函数可写成 y = log 2 x ）
探究2 y = loga x （a>0且a≠1）的图像特征及性质
y y 1 o 1 x o x
a>1
图象位于y轴右方 图象位于 轴 图象向上、向下无限延伸 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐上升 轴的交点是（ ） 与x轴的交点是（1,0） 轴的交点是 X>1,图像在 轴上方， 图像在x轴上方， 图像在 0<x<1，图像在 轴下方 ，图像在x轴
……
y=2x y
已知
x = log2 y → y = log2 x
一般地，我们把函数 y = loga x(a > 0,a ≠ 1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域 为 (0, +∞ ) . 系数为1 系数为1
注意: 注意
y = log a x
(a > 0, a ≠ 1)
自变量（ 自变量（x>0） ）
求下列函数的定义域？ 例2 求下列函数的定义域？ 2 (1) y = log a x （a>0且a≠1） 且 ） (2) y = log a (4 - x) （a>0且a≠1） 且 ）
log 1 x- 1
(3)
y=
2
2 x- 1
（3）要使函数有意义，则 ）要使函数有意义，
2 x-1 ≠ 0 ⇒ x>0 log x-1 ≥ 0 1 2
1
0
1 1 4 2
1 2 3
4
x
-1 -2
函数性质 定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R
在(0,+∞)上是： 增函数 (0,+∞)上是： 上是 X=1时,y=0 时
X>1时,y>0;0<x<1时,y<0 时 时
探索发现:认真观察 探索发现 认真观察 函数 y = log 1 x
2
y 2 11
探索发现:认真观察 探索发现 认真观察 函数 y = log 2 x 的图象填写下表
图像特征 图象位于y轴 图象位于 轴右方 图象向上、向下无限延伸 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐上升 轴交点为（ ） 与x轴交点为（1,0） 轴交点为 X>1,图像在 轴上方， 图像在x轴上方， 图像在 0<x<1，图像在 轴下方 ，图像在x轴