第3章 线性结构汇总
数据结构之线性结构和非线性结构
数据结构之线性结构和⾮线性结构线性结构：⼀、概念1. 线性结构作为最常⽤的数据结构，其特点是数据元素之间存在⼀对⼀的线性关系。
2. 线性结构拥有两种不同的存储结构，即顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储的线性表称为顺序表，顺序表中的存储元素是连续的，链式存储的线性表称为链表，链表中的存储元素不⼀定是连续的，元素节点中存放数据元素以及相邻元素的地址信息。
3. 线性结构中存在两种操作受限的使⽤场景，即队列和栈。
栈的操作只能在线性表的⼀端进⾏，就是我们常说的先进后出（FILO），队列的插⼊操作在线性表的⼀端进⾏⽽其他操作在线性表的另⼀端进⾏，先进先出（FIFO），由于线性结构存在两种存储结构，因此队列和栈各存在两个实现⽅式。
⼆、部分实现1. 顺序表（顺序存储） 按照我们的习惯，存放东西时，⼀般是找⼀块空间，然后将需要存放的东西依次摆放，这就是顺序存储。
计算机中的顺序存储是指在内存中⽤⼀块地址连续的空间依次存放数据元素，⽤这种⽅式存储的线性表叫顺序表其特点是表中相邻的数据元素在内存中存储位置也相邻，如下图：1 // 倒置线性表2 public void Reverse()3 {4 T tmp = default(T);56 int len = GetLength() - 1;7 for (int i = 0; i <= len / 2; i++)8 {9 if (i.Equals(len - i))10 {11 break;12 }1314 tmp = data[i];15 data[i] = data[len - i];16 data[len - i] = tmp;17 }18 }2. 链表（链式存储） 假如我们现在要存放⼀些物品，但是没有⾜够⼤的空间将所有的物品⼀次性放下（电脑中使⽤链式存储不是因为内存不够先事先说明⼀下...，具体原因后续会说到），同时设定我们因为脑容量很⼩，为了节省空间，只能记住⼀件物品位置。
第3章 线性系统的结构分析
一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
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一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
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一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
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一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,
第三章 结构分解
xco＝A21 xco＋A22 xco＋A23 xco＋A24 xco B2u 2、能控不能观子系统： y2＝0
xco＝A33 xco 3、不能控能观子系统： y3＝C3 xco
xc r y C1 C 2 x n-r c q r q (n r )
其中 xc为r维能控状态向量，xc 为(n r )维不能控状态向量。
由r维能控状态向量构成能控子系统， 由(n-r )维不能控状态向量构成不能控子系统。
显然有： 能控子系统:
C adj ( sI A) B C1 adj ( sI A11 ) B1 sI A sI A11
等式左边的分母多项式为n 次，右边的分母多项式为 l 次。 等式成立的唯一可能是等式左边式子存在零、极点相消。 可见系统的能控、能观性与传递函数是否存在零、极点 相消现象有必然联系。
不能控能观子系统
不能控不能观子系统
1、明显表示出系统的内部结构特性 2、深刻反映系统的传递特性
二、按能控性分解
x Ax Bu y Cx
rankS c rank B AB An1B r n
nnp
从 S c 中任意取r个线性无关的列，再加上任意选定的尽可能 简单的（n-r）列，构成一个非奇异的 RC 变换：
系统不能观，按上述原则构造变换阵RO： RO 1 1 2 0 1 1 3 2 0 1 3 RO 2 0 1 1 1 0 0 1
所以有 1 1 1 1 2 1 3 1 1 0 1 0 -1 A RO ARO 2 3 2 0 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 1 1 4 3 0 0 1 5 3 2
DS03_线性结构a__陈越主编_数据结构
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第3章 线性结构
§3.2.3 线性表的链式存储实现
线性表的链式存储实现
不要求逻辑上相邻的两个数据元素物理上也相邻，它是通过 “链”建立起数据元素之间的逻辑关系。因此对线性表的插入、 删除不需要移动数据元素，只需要修改“链”。
typedef struct Node{ ElementType Data; struct Node *Next; } List; List L, *PtrL;
1 a2
… …
i-1
i ai
i+1 ai+1
… …
n an
… …
SIZE-1 -
X
Last
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第3章 线性结构
§3.2.1 线性表的顺序存储实现
插入算法
void Insert( ElementType X, int i, List *PtrL ) { int j; if ( PtrL->Last == MAXSIZE-1 ){ /* 表空间已满，不能插入*/ printf(＂表满＂); return; } if ( i < 1 || i > PtrL->Last+2) { /*检查插入位置的合法性*/ printf(＂位置不合法＂); 平均移动次数为 n /2，平均 时间性能为 O(n)。 return; } for ( j = PtrL->Last; j >= i-1; j-- ) PtrL->Data[j+1] = PtrL->Data[j]; /*将 ai～ an倒序向后移动 */ PtrL->Data[i-1] = X; /*新元素插入*/ PtrL->Last++; /*Last仍指向最后元素*/ return; }
线性结构总结
教学单元一：线性结构一、知识点总结知识点我的总结（可以对课堂相对应的知识点进行总结）（建议图文并茂，标识重难点）掌握程度自评（1-5分）5分表示掌握的非常最好线性表的顺序存储●线性表的顺序存储：线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。
●通常用数组来描述数据结构中的顺序存储结构重点：线性表的顺序存储示意图难点：结构体定义●顺序存储的优点与缺点：线性表的顺序存储结构，在存、读数据时，不管哪个位置，时间复杂都是O(1)；而插入和删除时，时间复杂度都是O(n)优点：可以快速的存取任一位置的元素。
缺点：插入和删除元素时将移动大量元素。
5分线性表的链式存储●线性表的链式存储：线性表的链式存储：是用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素，这组数据元素可以是连续的，也可以是不连续的。
●单链表与顺序表优缺点对比：(1)若线性表需要频繁查找，很少进行插入和删除操作时，宜采用顺序存储结构。
若需要频繁插入和删除时，宜采用单链表结构。
(2)当线性表中的元素个数变化较大或者根本不知道多大时，最好采用单链表结构，这样可以不用考虑存储空间大小问题。
而如果事先知道线性表的大致长度，例如一年2个月这种用顺序存储结构效率会高很多。
重点：线性表的链式存储示意图●结构体定义●链表的初始化1.首先为头节点开辟空间使用malloc(sizeof())结构;也可采用无头结点的链表2.采用头插法或者尾插法，此处示例尾插法难点：插入节点和删除节点插入：删除：5分●双向列表●循环链表顺序查找和折半查找●顺序查找的概念：顺序查找也称为线性查找，属于无序查找算法。
从数据结构线性表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。
重点：顺序查找的示意图（请点击播放）●顺序查找时间复杂度：查找成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等）ASL=(1/n)∗(1+2+3+…+n)=(n+1)/2ASL=(1/n)∗(1+2+3+…+n)=(n+1)/2 ；当查找不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n)；所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)●二分查找的概念：二分查找也称为是折半查找，属于有序查找算法。
名词解释 线性结构
名词解释线性结构线性结构是指一种平衡系统的结构，其特点是各组成要素和子系统之间保持严格的比例关系。
如果该点上具有行政权利的人数少于可容纳的最大人数，则称该结构为线性结构；而反之，则为非线性结构。
其实，很多事物都属于线性结构，它们通过简单的叠加便能产生复杂的功能。
比如说，运动中的个人，整个团队，乃至国家和地区，也可以看作是一个典型的线性结构。
这就是非线性科学最本质的概念，只不过在中国历史上被长期忽略罢了。
有一句谚语是这么说的：铁打的衙门流水的官。
意思是一个衙门前的官员是会换的，但只要有需要就一定会有新的官员来充实这个衙门的人员配置。
为什么呢？因为官员是需要的，而官员的提升更是需要更多的支持的，所以我们经常可以看到一些官员明明在位时很风光，但一旦退下来或是去世了就难免会落得穷困潦倒，甚至惨死街头。
所以每次改朝换代之后，总是会有无数的人削尖脑袋想方设法谋求官职，他们觉得自己随着官职的升高，就会拥有越来越大的权力，到那时候也就可以为所欲为了。
然而正是这种天真的想法才使得封建王朝走向覆灭。
我们又可以从另一个角度来思考这个问题：一些部门实际管理人员与其所应承担的法律责任之间存在矛盾，这就是我们所谓的官僚主义。
这样的情况下，官员们往往并不直接面对公众，只对上负责，久而久之，这种极端的官僚化必将导致整个政府机构的瘫痪。
与此同时，由于没有人民的监督，一些基层公务人员会利用手中的职权贪污受贿，最终祸害百姓。
线性结构相当于一种社会等级体系，掌握了更高权力的官员自然就处在更高的地位，而处在较低等级的官员虽然会羡慕那些位高权重的官员，但却并不敢有太大的想法，否则极有可能引来杀身之祸。
相反，那些地位较低的官员们则往往心怀鬼胎，既希望成为上级官员的手下，又觊觎着他们的职位。
这样一来，他们就有可能发生行贿受贿或滥用职权的现象，而这两者无论哪一条路都会给国家的财政带来巨大的损失。
中国的官僚政治常常通过“权力依附”形成强大的行政权，以便于皇权维护统治阶级的利益。
第1.3章 数据结构——线性结构
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（3）插入运算 已知线性表的当前状态是(a1，a2，…，ai-1， 已知线性表的当前状态是 ， ， ， ， ai，…，an)，要在第 个位置插入一个元素 ，线性表变 个位置插入一个元素x， ， ， ，要在第i个位置插入一个元素 为(a1，a2，…，ai-1，x，ai，…，an)。 ， ， ， ， ， ， ， 。
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3.1.2 线性表的基本运算
线性表是一个相当灵活的数据结构， 线性表是一个相当灵活的数据结构，它的长度可以根 据需要增减，操作也比较灵活方便。线性表的基本操作有 据需要增减，操作也比较灵活方便。线性表的基本操作有 以下几种： 以下几种： 操作， (1) SETNULL(L)。 初始化 操作 ， 设定一个空的线性 。 初始化操作 表L。 。 (2) LENGTH(L)。求表长，求出线性表 中数据元素 求出线性表L中数据元素 。 个数。 个数。 (3) GET(L，i)。取元素函数，若1≤i≤LENGTH(L)， 素函数， ， 。取元素函数 ， 则函数值为给定线性表L中第 个数据元素， 中第i个数据元素 则函数值为给定线性表 中第 个数据元素，否则为空元素 NULL。 。
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可见， 可见，线性表中每个元素的存储地址是该元素在表中 序号的线性函数。只要确定了线性表的起始地址， 序号的线性函数。只要确定了线性表的起始地址，线性表 中任一数据元素都可以随机存取 随机存取， 中任一数据元素都可以随机存取，所以线性表的顺序存储 结构是一种随机存取的存储结构。 结构是一种随机存取的存储结构 是一种 语言中， 在C语言中，可用一维数组来描述顺序存储结构。 语言中 可用一维数组来描述顺序存储结构。
第三讲 线性结构
线性表的删除
①删除运算的逻辑描述 指在表的第i（ 指在表的第 （1≤i≤n+1）个位置上，删除一个 ）个位置上， 结点，使长度为n的线性表： (a1，…，ai-1， 结点，使长度为 的线性表： ， 的线性表 ai，…an)变成长度为 的线性表 1，…，ai-1， 变成长度为n-1的线性表 变成长度为 的线性表(a ， ai+1，…an). ②顺序表删除操作过程 【顺序表的删除 】 ③具体算法描述
例： 一个整数序列： 一个整数序列： （243，33，687，6，-56，2，， ， ， ， ， ， 987，0，345） ， ， ） 一周的七天： 一周的七天： （SUN,MON,TUE,WED,THU,FRI ,SAT） ）
一张学生成绩表： 一张学生成绩表：
学号 20090001 20090002 20090003 20090004 ······ 姓名 丁一 马二 张三 李四 ······ 数学 87 66 76 87 ······ 物理 55 55 89 55 ······ 电路 67 78 66 67 ······
listtype p,*l; int n=5,i,x,j; l=&p; printf("请输入顺序表的值（5个）"); creat_list(l,n); output_list(l); printf("\n请输入要插入元素的位置:"); scanf("%d",&i); printf("\n请输入插入元素的值:"); scanf("%d",&x); insert_list(l,i,x); output_list(l); printf("\n请输入要删除元素的位置:"); scanf("%d",&j); delete_list(l,j); output_list(l);
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3.1 引言
3.1.1 问题的提出
问题 1 ：日常生活中看到的学生花名册、学生的成绩 单、通讯录、单位的职工工资表以及图书馆的图书目录等 等，这些表单具有一个共同的特点，都是由一行行结构相 同的数据构成。对这些表单经常进行的操作是修改、查找、 插入和删除。 问题 2 ：日常生活中我们将洗好的盘子由下而上摆放 起来，使用的时候再从上至下依次取出，如果用计算机模 拟这一过程，盘子之间的逻辑关系是线性结构，但处理盘 子的摆放顺序需要遵循后摆放先取出的原则进行处理。 问题 3 ：日常生活中排队购物、汽车进站出站、到银 行办理业务等事务处理过程，如果用计算机模拟，一般情 况是一个需要遵循先来先服务的处理原则的线性结构。
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3.2 线性表的顺序存储与实现
3.2.1 顺序表
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线性表的顺序存储是指在内存中用地址连续的一块存
储空间依次顺序存放线性表各元素，用这种存储形式存储 的线性表称其为顺序表。
顺序存储可以按序号随机访问每一个数据元素：
设 a１的存储地址为Loc(a１)，每个数据元素占d个存储 地址，则第i个数据元素的地址为： Loc(ai)=Loc(a１)+(i-1)*d 1≤i≤n
第3章
线性结构
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⒈教学内容
线性表的逻辑结构、线性表的顺序存储、线性表的链 式存储、顺序表和链表的比较;栈和队列的逻辑结构、存储 实现及基本运算;字符串， 数组， 广义表的定义及运算。
⒉教学目的
理解线性表的定义及其运算,理解顺序表和链表的定义、 组织形式、结构特征和类型说明,掌握在这两种表上实现的 插入、删除和按值查找的算法,了解循环链表、双链表的结 构特点;理解栈和队列的定义、特征及基本运算；掌握栈和 队列的两种存储结构及基本运算的实现；了解串、数组、 广义表几中特殊的线形表的定义，理解和领会串的存储方 式和掌握常用的串运算，理解多维数组的结构特点和在内 存中的两种顺序存储方式，领会稀疏矩阵的压缩方式和简 单运算。
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⒋教学难点
线性表与线性结构的联系与区别，头结点在链 表中的作用、指针操作，删除、插入运算中的指针 操作顺序，双链表上指针的操作顺序；顺序栈的溢 出判断条件，循环队列的队空、队满判断条件，循 环队列上的插入、删除操作。
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线性结构的特点是数据元素之间是一种线性 关系，数据元素“一个接一个的排列”。 线性表是最简单、最基本、也是最常用的线 性结构，本章我们讨论这种最基本的线性结构， 线性表有两种存储方法：顺序存储和链式存 储，它的主要基本操作是插入、删除和检索等。 此外，本章还在基本线性结构的基础上讨论 两种具有特殊操作规则的数据结构：堆栈和队列 实现及其应用，以及以字符为元素的线性结构字 符串的存储和操作实现。最后阐述多维数组和特 殊矩阵与线性结构的对应关系。
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3.1.2 线性表的定义
线性表是具有相同数据类型的 n(n>=0) 个数据元素的 有限序列，通常记为： (a1，a2，… ai-1，ai，ai+1，…an) 其中n为表长， n＝0 时称为空表。表中相邻元素之间 存在着顺序关系。将 ai-1 称为 ai 的直接前趋，ai+1 称为 ai 的直接后继。 需 要 说 明 的 是 ： ai 为 序 号 为 i 的 数 据 元 素 （i=1,2,…,n），通常我们将它的数据类型抽象为 datatype， datatype根据具体问题而定，如在学生情况信息表中，它 是用户自定义的学生类型； 在字符串中，它是字符型； 等等。
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3.1.4 线性表的基本运算
⑴ 线性表初始化：Init_List(L)
⑵ 求线性表的长度：Length_List(L)
⑶ 取表元：Get_List(L,i) ⑷ 按值查找：Locate_List(L,x) ⑸ 插入操作：Insert_List(L,i,x) ⑹ 删除操作：Delete_List(L,i)
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用一维数组来示实现顺序表的数据存储区域。
考虑到线性表的运算有插入、删除等运算，即表长是可 变的，因此，数组的容量需设计的足够大，设用： data[MAXSIZE] 来表示，其中 MAXSIZE 是一个根据实际问 题定义的足够大的整数，线性表中的数据从data[0] 开始依次 存放，但当前线性表中的实际元素个数可能未达到 MAXSIZE多个，因此需用一个变量 last 来记录当前线性表 中最后一个元素在数组中的位置，即 last 起一个指示作用， 始终指向线性表中最后一个元素的位置 ，因此，表空时 last=-1。这种存储思想的具体描述可以是多样的。可以是： DataType[] data; int last;
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⒊教学重点
顺序表上插入、删除和定位运算的实现，单链表 的结构特点及类型说明，头指针和头结点的作用及区 别，定位、删除、插入运算在单链表上的实现，循环 链表、双链表的结构特点，循环链表、双链表上删除 与插入运算的实现；栈的定义、逻辑特点及基本运算， 栈的顺序存储结构、链式存储结构及运算，队列的定 义、逻辑特点及基本运算，队列的顺序存储结构、链 式存储结构及运算；串和数组的逻辑结构、基本运算、 存储方式，模式匹配算法，多维数组的存储方式，特 殊矩阵的压缩存储，稀疏矩阵的表示方法。
2018年Interface）的形式定义线性 表的ADT中的公有方法。 public interface List //线性结构的ADT { public void Init_List(L); //初始化线性表L public int Length_List(L); //求线性表L当前的长度 public DataType Get_List(L,i); //查找线性表L中的第i个元素 public int Locate_List(L,x); //查找给定元素x在线性表L中的位置 public int Insert_List(L,i,x); //在线性表L中插入值为x的元素作为第i个元素 public int Delete_List(L,i); //删除线性表中第i个元素 }//interface