高三一轮复习检测【数学】
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
高三数学第一轮复习专题测试试题
〔1〕—集合与函数
〔2〕—数列
〔3〕—三角函数
〔4〕—平面向量
〔5〕—不等式
〔1〕—集合与函数
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.
1．设集合 ,那么满足 的集合B的个数是〔〕
[解法二]当 时， .
由 得 ，
令 ，解得 或者 ，
在区间 上，当 时， 的图像与函数 的图像只交于一点 ；
当 时， 的图像与函数 的图像没有交点.
如图可知，由于直线 过点 ，当 时，直线 是由直线
绕点 逆时针方向旋转得到.因此，在区间 上， 的图像
位于函数 图像的上方.
22．〔1〕∵ ，∴要使 有意义，必须 且 ，即
A．1B．3C．4D．8
2．集合M＝｛x| ｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，那么MN＝〔〕
A．B．{x|x1}C．｛x|x1｝D．{x|x1或者x0}
3．有限集合 中元素个数记作card ，设 、
① 的充要条件是card =card +card ；
② 的必要条件是card card ；
③ 的充分条件是card card ；
card card =0 .由 的定义知card card .
4．D． ,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函数 的反函数为 .
6．B．由 ，应选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;应选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点〔2，0〕在原函数 的图象上，即 ，
(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
高三第一轮复习数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. $y = -x^2$B. $y = 2^x$C. $y = \log_2(x-1)$D. $y = \sqrt{x}$2. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的对称中心为（）A. $(1, -1)$B. $(-1, 0)$C. $(0, 1)$D. $(0, -1)$3. 若向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, -2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为（）A. $\frac{1}{5}$B. $\frac{2}{5}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$4. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线$y = x$的对称点为（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）5. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 20$，$S_9 = 54$，则$a_5$的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 106. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$），且$|z| = 1$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 双曲线D. 抛物线7. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $\{x | x \neq 1\}$B. $\{x | x \neq 0\}$C. $\{x | x \neq 3\}$D. $\{x | x \neq 4\}$8. 在三角形ABC中，若$\sin A : \sin B : \sin C = 1 : 2 : 3$，则$\cos A : \cos B : \cos C = $（）A. 1 : 2 : 3B. 3 : 2 : 1C. 1 : 1 : 1D. 3 : 3 : 19. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 0$，$f(-1) = 0$，则$f(x)$的图象与x轴的交点为（）A. （1，0），（-1，0）B. （0，1），（0，-1）C. （1，0），（-2，0）D. （0，1），（0，-1）10. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 2$，$S_4 = 32$，则公比$q$的值为（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$二、填空题（每小题5分，共50分）1. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值域为__________。
高三第一轮复习试卷数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 4x + 3$，其图像的对称轴是：A. $x = -1$B. $x = 1$C. $x = 2$D. $x = 3$2. 若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，则$ab$的最大值为：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{5}$3. 在三角形ABC中，$A = 60^\circ$，$B = 45^\circ$，$C = 75^\circ$，若$AB = 4$，则$BC$的长度为：A. $2\sqrt{3}$B. $4\sqrt{3}$C. $2\sqrt{2}$D. $4\sqrt{2}$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 + a_3 = 8$，$a_4 +a_6 = 20$，则数列的公差$d$为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 函数$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$在区间$[1, +\infty)$上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增6. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|$的值为：A. $\sqrt{13}$B. $\sqrt{2}$C. $\sqrt{5}$D.$\sqrt{3}$7. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的值为：A. $\pm\sqrt{2}$B. $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ D. $\pm\frac{1}{2}$8. 若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 2$，则$\sqrt{a} + \sqrt{b}$的最小值为：A. $\sqrt{2}$B. $2$C. $\sqrt{3}$D. $\sqrt{4}$9. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x)$的零点为：A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$10. 在三角形ABC中，$A = 30^\circ$，$B = 120^\circ$，$C = 30^\circ$，若$AB = 2$，则$AC$的长度为：A. $\sqrt{3}$B. $2\sqrt{3}$C. $\sqrt{6}$D.$2\sqrt{6}$二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的顶点坐标为______。
高三数学第一轮复习试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。
昆明市第一中学 2023届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷
机密★启用前 【考试时间：１１月２９日 １５：００—１７：００】 昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格，并追究经济和法律责任；对于首位举报者，经核实奖励２０００元。
举报电话：０８７１－６５３２５７３１昆明市第一中学２０２３届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 彭力 顾先成 莫利琴 孙思应 梁云虹 丁茵 张远雄 崔锦 秦绍卫 本试卷共４页，２２题。
全卷满分１５０分。
考试用时１２０分钟。
注意事项：１ 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
２ 选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
３ 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
４ 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１ 设复数ｚ满足ｚ·ｚ－＝１，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）的轨迹为Ａ 直线Ｂ 圆Ｃ 椭圆Ｄ 双曲线２ 设集合Ａ＝｛１，２，ｘ｝，Ｂ＝｛２，ｘ２｝，且Ａ∪Ｂ＝Ａ，则ｘ＝Ａ －１Ｂ １Ｃ －１或０Ｄ －１或０或１３ 等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ１＋ａ２＝０，Ｓ４＝１６，则Ｓ６等于Ａ ４８Ｂ ５４Ｃ ６４Ｄ ７２４ 为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从５名领导和６名科员中选出４名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有２名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是Ａ ２１０Ｂ ３６０Ｃ ４２０Ｄ ７２０５ 已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线方程为ｙ＝±１４ｘ，左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ２的直线与Ｃ的右支交于Ｐ，Ｑ两点，且ＰＱ＝１０，△ＰＱＦ１的周长为３６，则该双曲线的焦距等于槡槡Ａ ２Ｂ ４Ｃ １７Ｄ ２１７数学·第１页（共４页）数学·第２ 页（共４页）６ 若点Ｐ为曲线ｙ＝ｅｘ上的动点，点Ｑ为直线ｙ＝ｘ上的动点，则ＰＱ的最小值为Ａ槡２２Ｂ 槡３２Ｃ １Ｄ３２７ 已知ａ＝１ １１ ２，ｂ＝１ ２１ １，ｃ＝ｌｏｇ１ ２１ １，则ａ、ｂ、ｃ的大小关系为Ａ ａ＞ｂ＞ｃＢ ｂ＞ａ＞ｃＣ ｂ＞ｃ＞ａＤ ｃ＞ｂ＞ａ８ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）（０≤ｘ≤２０２２π），则函数ｆ（ｘ）的极小值点的个数为Ａ ２０２１Ｂ ２０２２Ｃ １０１１Ｄ １０１２二、多选题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
湖南省部分学校2025届高三一轮复习中期联考数学试题含答案
高三年级一轮复习中期质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：解答题按高考范围，其他题侧重考查集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数与解三角形､平面向量､数列.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤，{}10B x x =->，则A B = （）A.[)2,1-B.(]1,2 C.[)0,1 D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，根据交集定义可得结果.【详解】由24x ≤得：22x -≤≤，即[]2,2A =-；由10x ->得：1x <，即(),1B =-∞，[)2,1A B ∴=- .故选：A.2.在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分性和必要性的概念判断即可.【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马，所以“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件，故选：B3.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（）A.3.5小时B.246分钟C.4小时D.250分钟【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果.【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天､第2天､ ､第15天的运动时长依次成等差数列，且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为151415222402⨯⨯+⨯=分钟4=小时.故选：C4.在梯形ABCD 中，5BC AD = ，AC 与B 交于点E ，则ED =（）A.1166AD AB -B.1177AD AB -C.1166AB AD -D.1177AB AD -【答案】A 【解析】【分析】根据相似可得15ED BE =，即可由向量的线性运算即可求解.【详解】由于5BC AD =，故15ED BE = ，进而16ED BD = ，故()111666ED AD AB AD AB =-=-.故选：A.5.将函数()cos y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象.若()y f x =的图象关于点7π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象的平移可得()1cos 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可根据对称得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈求解.【详解】由题意可得()1cos 2f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于()y f x =的图象关于点7π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故7π7πcos 036f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7πππ,Z 62k k ϕ-+=-+∈,解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，取1k =-，π3ϕ=为最小值，故选：A6.已知()22220x y x y xy +=≠，则221169x y --的最大值为（）A.48-B.49- C.42- D.35-【答案】A 【解析】【分析】由题意知22111x y +=，然后根据基本不等式即可求解.【详解】因为()22220x y x yxy +=≠，所以22111x y +=，所以()22222211169169x y x y xy ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭222291625y x x y =++2549≥+，当且仅当2222916y x x y =，即2277,43x y ==时，等号成立，所以221169x y --的最大值为14948-=-.故选：A.7.若0x >，0y >，则322y x xy +-的最小值为（）A.427-B.0C.19-D.23【答案】A 【解析】【分析】由条件得32322y x xy y y +-≥-，构造函数()()320f x x xx =->，利用导数求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】3232223223222()y x xy y y x xy y y y x y y y +-=-+-+=-+-≥-，当且仅当x y =时，等号成立.设()()320f x x x x =->，则()()23232f x x x x x '=-=-，当203x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当23x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min 24()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，∴当且仅当23x y ==时，322y x xy +-取得最小值，且最小值为427-.故选：A.8.若2sin cos 2tan 3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，则α的值可以为（）A.π12-B.π20-C.π10D.π5【答案】B 【解析】【分析】根据二倍角的正切公式以及弦切互化可得πtan tan 64αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而得π1π,Z 205k k α=--∈，即可求解.【详解】由于sin cos tan 1πtan sin cos tan 14ααααααα--⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，22tan 3tan 61tan 3ααα=-，故由2sin cos 2tan 3sin cos 1tan 3αααααα-=+-可得πtan tan 64αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故π6π,Z 4k k αα-=+∈,则π1π,Z 205k k α=--∈，取π0,20k α==-，取3π1,20k α=-=，因此只有π20-符合要求，故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若()f x 与()g x 分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论.【详解】因为()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=--=-=-，所以函数()()()h x f x g x =为奇函数，所以()h x 的图象关于原点对称.故选：AC.10.如图，在ABC V 中，3AB AC ==，2BC =，点D ，G 分别边AC ，BC 上，点E ，F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A.ABC VB.()2213S =C.()S x 先增后减D.()S x 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用等面积法可求出ABC V 内切圆的半径；对于B 、C 、D ，由CDG CAB △△得到9CM =，进而可求出MF 的长，所以可求出矩形DEFG 的面积为S ，进而判断B 、C 、D.【详解】对于A ，取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==ABC V 的面积为122⨯⨯=，假设ABC V 内切圆的半径为r ，则1()2ABC AB BC AC r S ⋅++⋅= ，所以182r ⨯⨯=2r =，故A 正确；对于B 、C 、D ，过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得12AB CH ⋅=423CH =.由CM DG CH AB =，得9CH DG CM AB ⋅==，则39MH CH CM =-=-，所以()()22333)992S x DG DE DG MH x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=--<< ⎪⎝⎭，则()19S =，则()S x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x ，故B 错误，C ，D 均正确.故选：ACD.11.已知向量a ，b ，c 满足6a = ，1b = ，π,3a b <>= ，()()3c a c b -⋅-= ，则（）A.a b -=B.c rC.a c - 的最小值为2D.a c - 的最大值为62+【答案】BC 【解析】【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设()1,0b = ，(a = ，(),c x y = ，通过()()3c a c b -⋅-=，可求出c是以原点为起点，终点在以P22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，为圆心，2r =为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断A 项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断B 项，根据圆内一点A 到圆P 上一点距离的范围为,r AP r AP ⎡⎤-+⎣⎦可判断C ，D 项.【详解】根据题意不妨设()1,0b = ，(a =，(),c x y = ，则(3,c a x y -=-- ，()1,c b x y -=-，所以()()()()(313c a c b x x y y -⋅-=--+-= ，化简得()2243224x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，记为圆P ，即c 是以原点为起点，终点在以P 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，为圆心，2r =为半径的圆上的向量.对于A ，(2a b -= ，所以a b -= A 错误；对于B ，c =()0,0到圆P 上一点的距离，因为原点()0,0在圆P 上，所以c的最大值为圆P 的直径，即22⨯=，故B 正确；对于C ，D ，a c -=表示点A (到圆P 上一点的距离，因为点A (在圆P 内，所以a c -的最小值为43433122r AP -==,a c -的最大值为22r AP +=+=，故C 正确，D 错误.故选：BC .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2log =__________.【答案】152【解析】【分析】利用对数的运算法则计算即可.【详解】2222152215152222log log log log ====.故答案为：152.13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30︒角的三角板()ABC 的长直角边与含45︒角的三角板()ACD 的斜边恰好重合.AC 与BD 相交于点O .若AC =AO =___________.【答案】6-【解析】【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得6AO =-.【详解】由题可知()4,sin sin 30454AD AB DAB ∠===+=.由ADO ABO ABD S S S += 可得：111sin sin sin 222AD AO DAO AB AO BAO AD AB DAB ∠∠∠⋅+⋅=⋅，144224AO AO +⋅+⋅⋅=⨯，解得6AO =-.故答案为：6-14.已知函数()e x x f x m =-，2()exg x m =-，若()f x 与()g x 的零点构成的集合的元素个数为3，则m 的取值范围是__________.【答案】22221(0,(,e e e【解析】【分析】由函数零点的定义转化为直线y m =与函数2,e e x y x x y ==的图象共有3个交点求解.【详解】由()0g x =，得2e xm =，令函数2e x y =，一次函数2e x y =在R 上单调递增，值域为R ，因此直线y m =与函数2exy =的图象有且只有一个交点，即函数()g x 有1个零点0x ；由()0f x =，得e x xm =，令函数()x x h x e=，依题意，函数()f x 有不同于0x 的两个零点，即直线y m =与函数()y h x =的图象有两个交点，且交点横坐标不能是0x ，由()x x h x e =，求导得1()exxh x -'=，当1x <时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)eh x h ==，而(0)0h =，当0x >时，()0h x >恒成立，则当10em <<时，直线y m =与函数()y h x =的图象有两个交点，当()()f x g x =，即2e ex x x =时，0x =或2x =，则当0x =或2x =时，()f x 与()g x 的零点相同，由00x =，得0m =，由02x =，得22e m =，因此10e m <<且22em ≠，所以m 的取值范围是22221(0,(,)e e e.故答案为：22221(0,)(,e e e【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.（1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4:4:2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；（2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.【答案】（1）0.82（2）0.398【解析】【分析】（1）设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算；（2）先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果.【小问1详解】设事件,,A B C 分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D 表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得()()()40.4,0.2442P A P B P C ====++，()()()0.9,0.8,0.7P D A P D B P D C ===，由全概率公式得()()()()()()()0.90.40.80.40.70.20.82P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.【小问2详解】设事件E 表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E 的情况有：甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，则()()()()0.90.810.70.910.80.710.90.80.70.2160.1260.0560.398P E =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=++=，所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，148n n S S +-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a +=，*n ∈N （2）()323n n +，*n ∈N 【解析】【分析】（1）由148n n S S +-=得()1482n n S S n --=≥，相减可得递推公式，进而判断为等比数列，从而可得等比数列的通项公式；（2）根据题意计算可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法可得前n 项和.【小问1详解】由148n n S S +-=，得()1482n n S S n --=≥，两式相减得140n n a a +-=，即()142n na n a +=≥．因为18a =，所以()12148a a a +-=，得232a =，满足214a a =．所以是首项为8，公比为4的等比数列，121842n n n a -+=⨯=，*n ∈N ．【小问2详解】因为212n n a +=，所以()()22111111log log 212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭．所以1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.故数列的前n 项和为()323n nT n =+，*n ∈N .17.如图，在体积为的三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面ABC ，12AB AA AC ===，160ABB ∠= .（1）证明：1AB ⊥平面11A BC .（2）求平面1A BC 与平面11A ACC 夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）先根据体积为AC AB ⊥，再由线线垂直得到线面垂直；（2）根据空间向量法求面面角.【小问1详解】证明：取AB 的中点O ，连接1OB .由1B AB △为正三角形，得1OB AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABC 且交于AB ，所以1OB ⊥平面ABC ，即1OB 为该三棱柱的高.因为三棱柱111ABC A B C -的体积1ABC V S OB =⋅= 1OB =，所以2ABC S =△.因为1sin 22ABC S AB AC BAC ∠=⋅= ，所以90BAC ∠= ，即AC AB ⊥.由平面11ABB A ⊥平面ABC 且交于AB ，AC ⊂平面ABC ，可得AC ⊥平面11ABB A .因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AC AB ⊥.因为AC ∥11A C ，所以111AB AC ⊥.在菱形11ABB A 中，11AB A B ⊥.又因1111A B A C A = ，1A B ⊂平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以1AB ⊥平面11A BC .【小问2详解】如图，过O 作直线OD 平行于AC 交BC 于D ，以O 为原点，以1,,OB OD OB的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0C -，(1A -.设平面1A BC 的法向量为()111,,m x y z =r，因为((11,1,2,BA A C =-= .所以111111130,20,m BA x m A C x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令11x =，得(m =r.设平面11A ACC 的法向量为()222,,n x y z =r，因为((11,1,2,AA A C =-=，所以12212220,20,n A x n A C x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2x =，得)n =.因为cos ,5m n m n m n ⋅===，所以平面1A BC 与平面11A ACC夹角的余弦值为5.18.已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d ，且22OP d λμ=+，其中λ，μ均为常数，动点P 的轨迹称为(),λμ曲线.（1）判断()7,2曲线为何种圆锥曲线.（2）若1,2μ⎛⎫⎪⎝⎭曲线为焦点在y 轴上的椭圆，求μ的取值范围.（3）设曲线Ω为19,8⎛⎫- ⎪⎝⎭曲线，斜率为()0k k ≠的直线l 过Ω的右焦点，且与Ω交于A ，B 两个不同的点.若点B 关于x 轴的对称点为点D ，证明：直线AD 过定点.【答案】（1）()7,2曲线为双曲线.（2）()0,1.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据点点建立可得222x y y λμ+=+，即可代入7,2λμ==，根据双曲线方程的特征求解，（2）根据焦点在y 轴上的椭圆的性质可得()11212μ>-，即可求解。
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一轮复习检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B=().A.{(1,1)}B.{(-2,4)}C.{(1,1),(-2,4)}D.φ2.已知a+b i(a,b∈R)是的共轭复数,则a+b=().A.-1 B .- C .D.13.设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=().A.3B.2C.-2D.-34.的展开式中x4的系数是().A.-210B.-120C.120D.2105.已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=,SB=4,SC=2,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是().A.4 B.6 C.4 D.66.已知点A为曲线y=x+(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是().A.3B.4C.3D.47.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块8.若242log42loga ba b+=+，则（）A. 2a b> B. 2a b< C. 2a b> D. 2a b<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,该地区2006年~2018年().A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10.已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是().A.C 的方程为-y2=1 B .C 的离心率为C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x-y-1=0与C有两个公共点11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则().A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知22()()ln ,(),()f x f x x x g x f x x ''==是)(x f 的导函数,则下列结论正确的是（ ） A. )(x f 在12,e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. B. )(x g 在),0(+∞上两个零点C. 当e x x <<<210 时，)()()(212221x f x f x x m -<-恒成立，则23≥m D. 若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．(本题第一空2分,第二空3分.) 14.已知cos-sin α=,则sin = .15.直线l 过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F (1,0),且与C 交于A ,B 两点,则 += .16.半径为2的球面上有A ,B ,C ,D 四点,且AB ,AC ,AD 两两垂直,则△ABC ,△ACD 与△ADB 面积之和的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)在①b 1+b 3=a 2,②a 4=b 4,③S 5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k 存在,求k 的值;若k 不存在,请说明理由.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,{b n }是等比数列, ,b 1=a 5,b 2=3,b 5=-81,是否存在k ,使得S k >S k+1且S k+1<S k+2? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12分)在△ABC 中,∠A=90°,点D 在BC 边上,在平面ABC 内,过D 作DF ⊥BC 且DF=AC.(1)若D 为BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC ; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD ,求cos ∠CFB. 19.(12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为AD ,SC 的中点,EF 与平面ABCD 所成的角为45°.(1) 证明:EF ⊥AD ，EF ⊥SC.(2) (2)若EF=BC ,求二面角B-SC-D 的余弦值.20.(12分)下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y (单位:kg)和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7).(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系;(2)根据散点图相应数据计算得ii y =∑71=1074,i ii x y =∑71=4517,求y 关于x 的线性回归方程;(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.01)附:回归方程=+x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=()()()niii nii x x yy x x ==---∑∑121,=-.21.(12分)设中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆E 过点,且离心率为.F 为E 的右焦点,P 为E 上一点,PF ⊥x 轴,☉F 的半径为PF.(1)求E 和☉F 的方程.(2)若直线l :y=k (x-)(k>0)与☉F 交于A ,B 两点,与E 交于C ,D 两点,其中A ,C 在第一象限,是否存在k 使|AC|=|BD|?若存在,求l 的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .55级一轮复习检测试题1-8 CDAB CACB 9AD 10AC 11BC 12ACD13、 (1).13 (2). 1 14、54- 15、1 16、8 17【解析】因为在等比数列{b n }中,b 2=3,b 5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n =b 2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a 5=b 1=-1.(法一)若存在k ,使得S k >S k+1,即S k >S k +a k+1,则a k+1<0; 同理,若使得S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,则a k+2>0.若选①,则由b 1+b 3=a 2,得a 2=-1-9=-10,所以a n =3n-16,当k=4时,满足a 5<0,且a 6>0成立;若选②,则a 4=b 4=27,且a 5=-1,所以数列{a n }为递减数列,故不存在k ,使得a k+1<0,且a k+2>0;若选③,则由S 5=-25==5a 3,解得a 3=-5,从而a n =2n-11,所以当k=4时,能使a 5<0,且a 6>0成立.(法二)若选①,则由b 1+b 3=a 2,得a 2=-1-9=-10,所以公差d==3,a 1=a 2-d=-13,从而S n =a 1n+×d=(3n 2-29n ).⇔解得<k<,又k ∈N *,从而k=4满足题意. 若选②与若选③(仿上可解决,略).18【解析】(1)如图所示,D 为BC 的中点,所以BD=CD ,又因为S △ABC =S △CDF ,即AB×AC=CD×DF=BC×AC ,所以BC=2AB ,又∠A=90°,所以∠ACB=30°,所以∠ABC=90°-30°=60°. (2)因为∠ABC=45°,所以AB=AC ,设AB=AC=k ,则BC=k.因为BD=3CD ,所以BD=BC=k ,CD=k.因为DF=AC=k,所以BF==k,CF==k.(法一)由余弦定理,得cos∠CFB===.(法二)cos∠DFB==,sin∠DFB==,cos∠DFC==,sin∠DFC==,所以cos∠CFB=cos(∠CFD+∠DFB)=.19【解析】(1)连接AC,BD交于点G,连接EG,FG.因为四边形ABCD为矩形,且E,F分别是AD,SC的中点,所以EG∥CD,且FG∥SA.又SA⊥平面ABCD,所以GF⊥平面ABCD,所以GF⊥AD,又AD⊥GE,GE∩GF=G,所以AD⊥平面GEF,所以AD⊥EF.因为EF与平面ABCD所成的角为45°,所以∠FEG=45°,从而GE=GF,所以SA=AB.取SB的中点H,连接AH,FH,因为F,H分别为SC,SB的中点,所以FH∥BC∥AE,从而四边形AEFH为平行四边形.由SA=AB,知AH⊥SB.因为BC⊥平面SAB,所以AH⊥BC,又SB∩BC=B,所以AH⊥平面SBC.从而EF⊥平面SBC.因为SC⊂平面SBC,所以EF⊥SC.(2)设BC=2,则EF=1,从而GE=GF=,所以SA=AB=.以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(,0,0),D(0,2,0),S(0,0,),C(,2,0).从而=(,2,-),=(0,2,0).设平面BCS的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,从而得n1=(1,0,1).同理,可求得平面SCD的一个法向量为n2=(0,1,).设二面角B-SC-D的平面角为θ,由图可知二面角B-SC-D为钝角,则cos θ=-=-=-.20【解析】(1)由散点图可以看出,当x由小变大时,y也由小变大,从而y与x之间是正相关关系.(2)由题中数据可得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=,从而=i iiiix y x yx x==--∑∑71722177==≈7.89.=-=-×4≈121.86,从而所求y关于x 的线性回归方程为=7.89x+121.86.(3)由残差图可以看出,残差对应的点均匀地落在水平带状区域内,且宽度较窄,说明拟合效果较好.21【解析】(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由e=,得=e2==1-,从而=,即a2=4b2.又椭圆过点,从而得+=1,解得a2=4,b2=1,从而所求椭圆E 的方程为+y2=1.所以F (,0),令x=,得|PF|==r,所以☉F的方程为(x-)2+y2=.(2)不存在,理由如下:若|AC|=|BD|,则1=|AB|=|AC|+|CB|=|DB|+|CB|=|DC|.联立消去y并整理得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则从而|CD|=|x1-x2|===.由|CD|=1,得4k2+4=4k2+1,从而4=1,矛盾.故满足题设条件的直线l不存在.22【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sin cosf x x x=，则：()()224'23sin cos sinf x x x x=-()2222sin3cos sinx x x=-()222sin4cos1x x=-()()22sin2cos12cos1x x x=+-，()'0f x=在()0,xπ∈上的根为：122,33x xππ==，当0,3xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x>单调递增，当2,33xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x<单调递减，当2,3xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.(2)注意到()()()()22sin sin2sin sin2f x x x x x f xπππ+=++==⎡⎤⎣⎦，故函数()f x是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00f fπ==，233333228fπ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233333228fπ⎛⎫⎛⎛⎫=⨯-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，据此可得：()max338f x=⎡⎤⎣⎦，()min338f x=-⎡⎤⎣⎦，即()338f x≤.(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2nx x xx 233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 2n x x ⎡⎤≤⨯⨯⎢⎥⎣⎦23n⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎝⎭⎣⎦34n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.。