北师大版高中数学必修一第三章 指数函数和对数函数归纳总结3 81张
【精品】2019秋新版高中数学北师大版必修1课件：第三章指数函数和对数函数本章整合
应用 1 求函数 y=f(x)=提示:设 u=
1 ������ ,转化为求二次函数的值域. 2
1 2������ 1 ������ -4 +5 的值域. 2 2
解:函数的定义域是R. 1 ������ 设u= ,由于x∈R,则u∈(0,+∞). 2 则有y=-u2-4u+5=-(u+2)2+9. ∵u∈(0,+∞),∴y∈(-∞,5), 故函数y=f(x)的值域是(-∞,5).
=
16 100
=
4 . 25
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 数的大小比较问题 数的大小比较常用的方法: (1)比较两个数(式)或几个数(式)大小的问题是本章的一个重要 题型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及 差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图像法、 中间量法、作差法、作商法等. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可先将其 看成某个指数函数或幂函数或对数函数的函数值,然后利用该函数 的单调性比较. (3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分 为“小于0”“大于或等于0小于或等于1”“大于1”三部分,再在各部分 内利用函数的性质比较大小.
1
2
3
4
5
6
7
2(2016全国乙高考)若a>b>1,0<c<1,则( A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc
专题一
专题二
专题三
专题四
应用(1)若log34· log48· log8m=log42(m>0),求m的值;
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改
精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
北师大版高一数学必修1第三章《对数函数》
第三章 《对数函数》第1节 对数知识点1：对数的概念： 1、对数的概念一般地，如果a ()1,0≠>a a 的b 次幂等于N ，即N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式b N a =log 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R 。
2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．（2）以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系（1）由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． （2）对数恒等式：N aNa =log ；N a N a =log 。
()1,0≠>a a知识点2：对数的运算性质：已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的． 要点3、对数的换底公式及其推论1．换底公式：同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 2、推论：bN N a log 1log =．N mnN b nb m log log =（N ，b 大于零且不等于1） 例1：求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．例2：求下列各式中x 的值。
2018版北师大版必修一课件：第三章 指数函数、对数函
解答
类型三 指数函数图像的应用 命题角度1 指数函数整体图像
例4
可能是
b 2 x 在如图所示的图像中，二次函数y＝ax ＋bx＋c与函数y＝ a
的图像
解析
答案
反思与感悟
函数y＝ax的图像主要取决于0<a<1还是a>1.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是
解
函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1).
(1＋3x)－1 1 ∵y＝ ＝1－ x x， 1＋3 1＋3
又∵3x>0,1＋3x>1，
1 1 1 ∴0< x<1，∴－1<－ x<0，∴0<1－ x<1，∴值域为(0,1). 1＋3 1＋3 1＋3
解答
(2)y＝4x－2x＋1.
解
x
12 3 定义域为 R，y＝(2 ) －2 ＋1＝(2 －2) ＋4，
图像
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞) 性质 1 (3)过点 (0,1) ，即x＝ 0 时，y＝___ (4)当x>0时， y>1 ； 0<y<1 x<0时，_______ 增函数 (5)是R上的________ (4)当x>0时， 0<y<1 ； y>1 x<0时，______ 减函数 (5)是R上的_______
域是
.
R
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1
时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》重点难点突破
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《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》重点难点突破
1.一般地，在区间(0,)+∞上，尽管函数x y a =（1a >），log (1)a y x a =>，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x 的增大x y a =（1a >）的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度会越来越慢.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log (1,0)n x a x x a a n <<>>.
2.选取上述三个增长函数模型时，应注意：
（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
3）幂函数模型(0)n y x n =>可以描述增长幅度不同的变化，当n 值较小（1n ≤）时，增长较慢；当n 值较大（1n >）时，增长较快.。
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数_16
当0<a<1时,a1.3>a2.5.
2
3
2
3
5
3
5
(2)∵ >0, < ,∴
<
3
4
6
4
6
1
(3)∵ <a<1,∴1>a>1-a>0.
2
2
3
∴(1-a)a<(1-a)1-a,(1-a)1-a<a1-a,
∴(1-a)a<a1-a.
.
题型一
题型二
题型三
题型三 解指数不等式
【例3】 解下列指数不等式:
(1)
1 2+1
3
<
1 3-2
;
3
(2)a5x>ax+ 8(a>0,且 a≠1).
问题要使分母不为0,根式问题要使被开方数有意义;结合换元法,联
系函数的图像,根据单调性等确定值域.
解:(1)要使函数有意义,必须x-4≠0,则x≠4,
故所求函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
1
1
∵x≠4, ≠0,∴2-4 ≠1,
-4
故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
题型一
题型二
题型三
.
题型一
题型二
题型三
反思求与指数函数有关的函数的定义域和值域时,要充分考虑指
数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.对于解析式中某
些较复杂的式子,往往采用换元法求解,这样可以使问题变得简单.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 求下列函数的定义域、值域:
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_17
4
(2)、设y1
2 3
3
x
1
，y2
2 3
2
x
，确定x为何指时,
有(1) y1 y2； (2) y1 y2； (3) y1 y2
课堂小结
1、指数函数概念；
函数y = ax(a0且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
2、同底数指数幂比较大小的方法；
)x
y 2x
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4
8…
2x … 8 4
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
y 3x 与
y
(
1 3
)
x
y 3x
x
…
3x … 3x …
-2.5 -2 -1 -0.5 0 0.06 0.1 0.3 0.6 1 15.6 9 3 1.7 1
函
x … -3
-2
-1
0 1 2 3…
数
y=2x … 1/8 1/4 1/2
1
24
8…
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
图
象
yy 3
o -3 -2 -1 1 2 3
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2
北师大版高中《数学》必修一第三章第三节
1.指数函数的概念
回顾旧知
函数y = ax(a0且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
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成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(2)指数式与对数式的关系
第三章 ·本章归纳总结
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(3)对数的性质 根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a>0， a≠1)，即 1 的对数为零，底的对数等于 1.对数恒等式 alogaN ＝N(a>0，a≠1，N>0)． (4)常用对数和自然对数 通常将以 10 为底的对数叫作常用对数，为了简便，N 的 常用对数 log10N 简记为 lgN；在科学技术中常常使用无理数 e ＝2.71828…为底的对数，以 e 为底的对数叫作自然对数，为 了简便，N 的自然对数 logeN 简记作 lnN.
第三章 ·本章归纳总结
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1．指数的有关概念与性质 (1)有关概念 根式： a叫根式，其中 n 叫根指数，a 叫被开方数． n 次方根：若 xn＝a，则 x 叫 a 的 n 次方根，其中 n>1，n ∈N＋.当 n 为正整数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根为一个负数；当 n 为正偶数时，正数的 n 次方根(偶 n
第三章 ·本章归纳总结
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[例 1]
求不等式 x－1<log6(x＋3)的所有整数解．
[解析]设 y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出 它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标 显然在－3 和－2 之间，另一个交点设为 P.
第三章 ·本章归纳总结
m n mp np
n
n
.
第三章 ·本章归纳总结
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②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质 一样有： aαaβ＝aα＋β(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (aα)β＝aαβ(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (ab)α＝aαbα(a>0，a≠1，b>0，b≠1，α∈Q)． ③ 0 指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于 0 才有 意义． 2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫作指数函数．
第三章 ·本章归纳总结
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(2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
第三章 ·本章归纳总结
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第三章 ·本章归纳总结
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(3)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)底数越大时，函数的图像 在 y 轴右侧部分越远离 x 轴，这一性质可通过 x＝1 时的函数 值大小去理解．如 a>b>1>c 时，见函数图像(如图所示)
(1)求二次函数解析式． (2)设 A 点坐标为(x，y)，试求矩形 ABCD 的周长 p 关于 x 的函数解析式，并求 x 的取值范围．
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[解析](1)因为抛物线 y＝－mx2＋4m 的顶点坐标为(0,2)， 1 所以 4m＝2，解得 m＝2. 1 2 即二次函数解析式是 y＝－2x ＋2. (2)因为 AD＝BC＝2|x|，所以 AD＋BC＝4|x|. 又因为 AB＝CD＝|y|＝y，
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1 2 所以 AB＋CD＝2y＝2(－ x ＋2)＝－x2＋4， 2 所以 p＝－x2＋4＋4|x|＝－x2＋4|x|＋4. 1 2 1 2 由于 y＝－ x ＋2，令 y＝0，则－ x ＋2＝0， 2 2 1 2 所以 x＝± 2，即抛物线 y＝－ x ＋2 与 x 轴的两个交点分 2 别为(2,0)，(－2,0)． ∴－2<x<0，∴p＝－x2－4x＋4(－2<x<0)．
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次方根)有两个，它们互为相反数，其中正的 n 次方根为 a， n 负的 n 次方根为－ a，缩写成± a(a>0)，负数的偶次方根在 实数内无意义.0 的正指数次幂为 0. (2)有关性质 ①根式的基本性质：如果一个根式的被开方数是正数或 者为 0， 那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘或都除 n np 以同一个正整数，根式的值不变，即 an＝ amp(a≥0，n、p 为大于 1 的正整数，m∈N＋)，用分数指数幂表示为 a ＝a
[例 2]
2 若－1<loga <1，求 a 的取值范围． 3
2 1 2 [解析]－1<loga <1⇒loga ＝－1<loga <1＝logaa， 3 a 3 1 2 ①当 a>1 时，有 y＝logax 为增函数， < <a. a 3 3 3 ∴a> ，结合 a>1，故 a> . 2 2
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2a＋3>1 由题意，得 2 1 － 4 a > 2 a ＋ 3
，
0<2a＋3<1 或 2 0<1 － 4 a < 2 a ＋ 3
，
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3 －2<a<－1 a>－1 化简得 2 ，或 1 a ＋4a＋2<0 a<4 2 a ＋4a＋2>0 解得－1<a<－2＋ 2. 所以 a 的取值范围是(－1，－2＋ 2)．
(7)对数函数的图像及性质
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在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的 方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想 方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过 程中提高运用知识解决问题的能力．
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4．转化与化归思想 所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段，将问题通过变换使之转化，归结为在已有的知 识范围内可以解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变 换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易 求解的问题，将未解决的问题变换，转化为已解决的问题．可 以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无一不是在不断 转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分 类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．
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数学思想方法归纳
1.数形结合思想的应用 函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式， 因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到 “以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复 杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数 的判断和解的范围的确定等．
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(6)对数换底公式 logaN logbN＝ (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．利用对数 logab 换底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般 的对数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．
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(5)对数的运算性质 ①loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． M ②loga N ＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)． ③logaMn＝n· logaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)． ④loga n 1 M＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈N＋，n>1)．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章 指数函数和对数函数
本章归纳总结
第三章 指数函数和对数函数
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知识结构
知识梳理
专题探究 方法警示探究
即时巩固
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) D．3 个
C．2 个
此类方程是超越方程，只能借助函数图像解决．
[答案] C
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[解析]
在同一坐标系中画出函数 y＝log2(x＋4)及 y＝3x
的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点， 故选 C.
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因为 x＝1 时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2 时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以 1<xP<2. 综上，原不等式的所有整数解为－2，－1,0,1.
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方程 log2(x＋4)＝3x 解的个数是( A．0 个 [分析] B．1 个
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1 2 ②当 0<a<1 时，有 y＝logax 为减函数， > >a. a 3 2 2 ∴a<3，结合 0<a<1，故 0<a<3. 2 3 ∴a 的取值范围是{a|0<a<3或 a>2}．
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已知 log2a＋3(1－4a)>2，求 a 的取值范围． [解析]