图论和函数总结梳理离散数学 思维导图
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分第四章、二元关系和函数4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>实例：点的直角坐标(3,-4)有序对性质有序性 <x,y>¹<y,x> （当x¹ y时）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是<x,y>=<u,v> Û x=u Ù y=v例1 <2, x+5> = <3y- 4, y>，求x, y.解 3y- 4 = 2, x+5 = yÞ y = 2, x = - 3定义一个有序n (n³3) 元组 <x1, x2, …, x n> 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即<x1, x2, …, x n> = < <x1, x2, …, x n-1>, x n>当n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A´B，即A´B ={ <x,y> | xÎA Ù yÎB }例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A´B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}B´A ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}A={Æ}, P(A)´A={<Æ,Æ>, <{Æ},Æ>}性质：不适合交换律A´B¹B´A (A¹B, A¹Æ, B¹Æ)不适合结合律 (A´B)´C¹A´(B´C) (A¹Æ, B¹Æ)对于并或交运算满足分配律A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)(BÈC)´A=(B´A)È(C´A)A´(BÇC)=(A´B)Ç(A´C)(BÇC)´A=(B´A)Ç(C´A)若A或B中有一个为空集，则A´B就是空集.A´Æ=Æ´B=Æ若|A|=m, |B|=n, 则 |A´B|=mn证明A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)证任取<x,y><x,y>∈A×(B∪C)Û x∈A∧y∈B∪CÛ x∈A∧(y∈B∨y∈C)Û (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)Û <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×CÛ <x,y>∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B Ù C=D Þ A´C=B´D(2) A´C=B´D是否推出A=B Ù C=D ? 为什么？解 (1) 任取<x,y><x,y>ÎA´C Û xÎA Ù yÎCÛ xÎB Ù yÎD Û <x,y>ÎB´D(2) 不一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=Æ, 则A´C=B´D 但是A¹B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例 4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=Æ, R4={<0,1>}. 那么R1, R2, R3, R4是从A 到B的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有个不同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.设A 为任意集合，Æ是A 上的关系，称为空关系E, I A 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×AAI={<x,x>|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}AI={<1,1>,<2,2>}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系RÍ定义：L={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AÍR，R为实数集合AD={<x,y>| x,y∈B∧x整除y},BBÍZ*, Z*为非0整数集R={<x,y>| x,y∈A∧xÍy}, A是集合族.Í类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}AD={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}AA=P(B)={Æ,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={<Æ,Æ>,<Æ,{a}>,<Æ,{b}>,<Æ,{a,b}>,<{a},{a}>,Í<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m´n, 其中r ij= 1Û < a i, b j> ÎR.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果<x i,x j>属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R4.2 关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | $y (<x,y>ÎR) }ran R = { y | $x (<x,y>ÎR) }fld R = dom RÈ ran R例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R-1 = {<y,x> | <x,y>ÎR}R∘S = |<x,z> | $ y (<x,y>ÎRÙ<y,z>ÎS) }例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}R-1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}定义 F 在A上的限制F↾A = {<x,y> | xFyÙ xÎA}A 在F下的像F[A] = ran(F↾A)实例R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}R↾{1}={<1,2>,<1,4>}R[{1}]={2,4}R↾Æ=ÆR[{1,2}]={2,3,4}注意：F↾AÍF, F[A] Íran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F-1)-1=F(2) dom F-1=ran F, ran F-1=dom F证 (1) 任取<x,y>, 由逆的定义有<x,y>∈(F -1)-1 Û <y,x>∈F-1 Û <x,y>∈F所以有 (F-1)-1=F(2) 任取x,x∈dom F-1 Û $y(<x,y>∈F-1)Û $y(<y,x>∈F) Û x∈ran F所以有dom F-1= ran F. 同理可证 ran F-1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H)(2) (F∘G)-1= G-1∘F-1证 (1) 任取<x,y>,<x,y>Î(F∘G)∘HÛ$t(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H) Û $t ($s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)Û $t $s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)Û $s (<x,s>∈F∧$t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H))Û $s (<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H)Û <x,y>∈F∘(G∘H)所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)(2) 任取<x,y>,<x,y>∈(F∘G)-1Û <y,x>∈F∘GÛ $t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G)Û $t (<x,t>∈G-1∧(t,y)∈F-1)Û <x,y>∈G-1∘F-1所以 (F∘G)-1 = G-1∘F-1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={<x,x> | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n∘R注意：对于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA对于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m∘R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m∘R0=R m∘I=R m=R m+0A假设R m∘R n=R m+n, 则有R m∘R n+1=R m∘(R n∘R)=(R m∘R n)∘R=R m+n+1 ,所以对一切m, n∈N有R m∘R n=R m+n.(2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n∘R m=(R mn)∘R m=R mn+m=R m(n+1)所以对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.4.3 关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若"x(x∈A→<x,x>ÎR), 则称R在A上是自反的.(2) 若"x(x∈A→<x,x>ÏR), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}2R＝{<1,3>}3R自反,2R反自反,3R既不是自反也不是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若"x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系Æ反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,其中R＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}1R＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}3R对称、反对称.1R对称，不反对称.2R反对称，不对称.3R不对称、也不反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若"x"y"z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系ÆA小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,2>,<2,3>}2R＝{<1,3>}3R和R3 是A上的传递关系1R不是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A ÍR(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=Æ(3) R在A上对称当且仅当R=R-1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R-1ÍI A(5) R在A上传递当且仅当R°RÍR证明模式证明R在A上自反任取x,xÎAÞ ……………..….……. Þ <x,x>ÎR前提推理过程结论例4 证明若I A ÍR ，则 R在A上自反.证任取x,xÎA Þ <x,x> ÎIÞ <x,x>ÎRA因此R 在A 上是自反的.证明模式证明R在A上对称任取<x, y><x,y>ÎRÞ……………..….……. Þ <y,x>ÎR前提推理过程结论例5 证明若R=R-1 , 则R在A上对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR-1Þ <x,y>ÎR因此R 在A 上是对称的.证明模式证明R在A上反对称任取<x, y><x,y>ÎRÙ<y,x>ÎRÞ ………..………. Þ x=y前提推理过程结论例6 证明若R∩R-1ÍI A , 则R在A上反对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Ù<y, x>ÎRÞ <x,y>ÎR Ù<x,y>ÎR-1Þ <x,y>ÎR∩R-1Þ <x,y>ÎI AÞ x=y因此R 在A 上是反对称的.证明模式证明R在A上传递任取<x, y>，<y, z><x,y>ÎRÙ<y, z>ÎRÞ…..………. Þ <x,z>ÎR前提推理过程结论例7 证明若R°RÍR , 则R在A上传递.证任取<x,y>，<y, z><x,y>ÎR Ù<y,z>ÎRÞ <x,z>ÎR°RÞ <x,z>ÎR因此R 在A 上是传递的.4.4 关系的闭包闭包定义定义设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R¢, 使得R¢满足以下条件：（1）R¢是自反的（对称的或传递的）（2）RÍR¢（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R¢¢ 有R¢ÍR¢¢. 一般将R 的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).闭包的构造方法定理1 设R为A上的关系, 则有(1) r(R) = R∪R0(2) s(R) = R∪R-1(3) t(R) = R∪R2∪R3∪…说明：对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过R n. 若R是自反的，则r(R)=R; 若R是对称的，则s(R)=R; 若R是传递的，则t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, M r, M s 和M t , 则M= M + ErM= M + M’sM= M + M2 + M3 + …tE 是和M 同阶的单位矩阵, M’是M 的转置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G r, G s, G t , 则G r, G s, G t 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到G r . 考察G的每条边, 如果有一条x i 到x j 的单向边, i≠j, 则在G中加一条x j 到x i 的反方向边，最终得到G s. 考察G的每个顶点x i, 找从x i 出发的每一条路径，如果从x i 到路径中任何结点x j 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图G t .4.5 等价关系和偏序关系定义设R 为非空集合上的关系. 如果R 是自反的、对称的和传递的, 则称R 为 A 上的等价关系. 设R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称x 等价于y, 记做x～y.实例设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R：R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }其中x≡y(mod 3) 叫做x 与y 模3相等, 即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等.验证模 3 相等关系R 为A上的等价关系, 因为"x∈A, 有x ≡ x(mod 3)"x, y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3)"x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),则有x≡z(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证定义设R为非空集合A上的等价关系, "x∈A，令[x]R = { y | y∈A∧xRy }称 [x]R 为x 关于R 的等价类, 简称为x 的等价类, 简记为[x].实例A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}等价类的性质：定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则(1) "x∈A, [x] 是A的非空子集.(2) "x, y∈A, 如果x R y, 则 [x]=[y].(3) "x, y∈A, 如果x y, 则 [x]与[y]不交.(4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}，[2]=[5]=[8]={2,5,8}，[3]=[6]={3,6}以上3 类两两不交，{1,4,7}È{2,5,8}È{3,6} = {1,2, (8)定义设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R| x∈A }实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/I= { {1},{2}, … ,{8}}AA/E= { {1, 2, … ,8} }A集合的划分：定义设A为非空集合, 若A的子集族π(πÍP(A)) 满足下面条件：(1) ÆÏπ(2) "x"y (x,y∈π∧x≠y→x∩y=Æ)(3) ∪π=A则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.例1 设A＝{a, b, c, d},给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：π= { {a, b, c}, {d} }，π2= { {a, b}, {c}, {d} }1π= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} }3π= { Æ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }5则π1和π2是A的划分, 其他都不是A 的划分.为什么？等价关系与划分的一一对应商集A/R 就是A 的一个划分不同的商集对应于不同的划分任给A 的一个划分π, 如下定义A 上的关系R：R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与y 在π的同一划分块中}则R 为A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是π.例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系.例3 设A={1, 2, 3, 4}，在A´A上定义二元关系R：<<x,y>,<u,v>>ÎR Û x+y = u+v，求R 导出的划分.解A´A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>,<4,2>, <4,3>, <4 ,4>}根据 <x,y> 的x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将A´A划分成7个等价类：(A´A)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>},{<1,3>, <2,2>, <3,1>},{<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>},{<2,4>, <3,3>, <4,2>},{<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作≼. 设≼为偏序关系, 如果<x, y>∈≼, 则记作x≼y, 读作x“小于或等于”y. 实例集合A上的恒等关系I A 是A上的偏序关系.小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.x与y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系,x,yÎA, x与y可比Û x≼y ∨y≼x.结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况：x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.全序关系：R为非空集合A上的偏序, "x,yÎA, x与y 都是可比的，则称R 为全序（或线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系整除关系不是正整数集合上的全序关系覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果x ≺y且不存在zÎA 使得x ≺z ≺y, 则称y 覆盖x.实例：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系,2 覆盖 1,4 和 6 覆盖 2.4 不覆盖 1.定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记作 <A,≼>.实例：整数集和小于等于关系构成偏序集<Z,≤>，幂集P(A)和包含关系构成偏序集<P(A),RÍ>.哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边偏序集的特定元素定义设<A,≼>为偏序集, BÍA, y∈B.(1) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B 的最小元.(2) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B 的最大元.(3) 若Ø$x (x∈B∧x ≺y) 成立, 则称y 为B的极小元.(4) 若Ø$x (x∈B∧y ≺x) 成立, 则称y 为B的极大元.特殊元素的性质对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个.最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一.最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.孤立结点既是极小元，也是极大元.定义设<A, ≼>为偏序集, BÍA, yÎA.(1) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B的上界.(2) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B的下界.(3) 令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界或上确界.(4) 令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界或下确界.特殊元素的性质下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.4.6 函数的定义和性质函数定义：定义设F 为二元关系, 若 "x∈dom F 都存在唯一的y∈ran F 使xFy 成立, 则称F 为函数. 对于函数F, 如果有xFy, 则记作y=F(x), 并称y 为F 在x 的值.例1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}F={<x1,y1>,<x1,y2>}2F是函数, F2不是函数1函数相等：定义设F, G为函数, 则F =G Û FÍG∧GÍF如果两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件：(1) dom F = dom G(2) "x∈dom F = dom G 都有F(x) = G(x)实例函数F(x)=(x2-1)/(x+1), G(x)=x-1不相等, 因为 dom FÌdom G.定义设A, B为集合, 如果f 为函数dom f = Aran f Í B,则称f 为从A到B的函数, 记作f：A→B.实例f：N→N, f(x)=2x 是从N 到N 的函数g：N→N, g(x)=2也是从N 到N 的函数定义所有从A 到B 的函数的集合记作B A,读作“B上A”，符号化表示为B A ={ f | f：A→B }计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=n m.A=Æ, 则B A=BÆ={Æ}.A≠Æ且B=Æ, 则B A=ÆA= Æ.例2 设A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求B A.解B A = {f0, f1, … , f7}, 其中f={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}2f={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}4f={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}6定义设函数f：A→B, A1ÍA.A在f 下的像：f(A1) = { f(x) | x∈A1 }1函数的像f(A)注意：函数值f(x)∈B, 而像f(A1)ÍB.函数的性质定义设f：A→B,（1）若ran f = B, 则称f：A→B是满射的.（2）若 "y∈ran f 都存在唯一的x∈A使得f(x)=y, 则称f：A→B是单射的. （3）若f：A→B既是满射又是单射的, 则称f：A→B是双射的f满射意味着："y ÎB, 都存在xÎA使得 f(x) = y.f 单射意味着：f(x) = f(x2) Þ x1= x21例4判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?(1) f：R→R, f(x) = -x2+2x-1(2) f：Z+→R, f(x) = ln x, Z+为正整数集(3) f：R→Z, f(x) = ëxû(4) f：R→R, f(x) = 2x+1(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.解 (1) f：R→R, f(x)=-x2+2x-1在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.(2) f：Z+→R, f(x)=ln x单调上升, 是单射. 但不满射, ran f={ln1, ln2, …}.(3) f：R→Z, f(x)= ëxû满射, 但不单射, 例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4) f：R→R, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ran f=R.(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}解 A={Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f, f1, … , f7 }, 其中f={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},2f={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},4f={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.6令f：A→B,f(Æ)=f, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,f({1,2})=f, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f74常函数、恒等函数、单调函数1. 设f：A→B, 若存在c∈B 使得 "x∈A 都有f(x)=c, 则称f：A→B是常函数.2. 称A 上的恒等关系I A为A 上的恒等函数, 对所有的x∈A 都有I A(x)=x.3. 设f：R→R，如果对任意的x1, x2∈R，x1<x2, 就有f(x1) £ f(x2), 则称f 为单调递增的；如果对任意的x1, x2∈A, x1< x2, 就有f(x1) < f(x2), 则称f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递减和严格单调递减的函数.例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如A={a, b, c}, 则有= { <a,0>, <b,0>, <c,0> }，cÆc= { <a,1>, <b,1>, <c,0>}{a,b}(2) 给定集合A，A 上不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如A={1, 2, 3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IAg(1) = g(2) = {1,2}, g(3) = {3}4.7 函数的复合和反函数函数复合的定理定理设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足(1) dom(F∘G)={ x | x∈dom F Ù F(x)∈dom G}(2) "x∈dom(F∘G) 有F∘G(x) = G(F(x))推论1 设F, G, H为函数, 则 (F∘G)∘H 和F∘(G∘H)都是函数, 且 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)推论2 设f：A→B, g：B→C, 则f∘g：A→C, 且"x∈A 都有f∘g(x) = g(f(x)).函数复合运算的性质定理设f：A→B, g：B→C.(1) 如果f：A→B, g：B→C 都是满射的, 则f∘g：A→C也是满射的.(2) 如果f：A→B, g：B→C 都是单射的, 则f∘g：A→C也是单射的.(3) 如果f：A→B, g：B→C 都是双射的, 则f∘g：A→C也是双射的.证 (1) "c∈C, 由g：B→C 的满射性, $b∈B 使得g(b)=c. 对这个b, 由f：A→B 的满射性，$a∈A使得f(a)=b. 由合成定理有f∘g(a)=g(f(a))=g(b)=c从而证明了f∘g：A→C是满射的.(2) 假设存在x1, x2∈A使得f∘g(x1) = f∘g(x2)由合成定理有g(f(x1))=g(f(x2)).因为g：B→C是单射的, 故f(x1)=f(x2). 又由于f：A→B也是单射的, 所以x1=x2. 从而证明f∘g：A→C是单射的.(3) 由 (1) 和 (2) 得证.定理设f: A®B，则f = f∘I= I A∘fB反函数存在的条件任给函数F, 它的逆F -1不一定是函数, 是二元关系.实例：F={<a,b>,<c,b>}，F -1={<b,a>,<b,c>}任给单射函数f：A→B, 则f -1是函数, 且是从 ran f 到A的双射函数, 但不一定是从B 到A 的双射函数.实例：f : N →N, f(x) = 2x,f -1 : ran f→N, f -1 (x) = x/2反函数定理设f：A→B是双射的, 则f -1：B→A也是双射的.证因为f 是函数, 所以f -1 是关系, 且dom f -1 = ran f = B , ran f -1 = dom f = A,对于任意的y∈B = dom f -1, 假设有x1, x2∈A使得<y,x1>∈f -1∧<y,x2>∈f -1成立, 则由逆的定义有<x1,y>∈f∧<x2,y>∈f根据f 的单射性可得x1 = x2, 从而证明了f -1是函数，且是满射的. 下面证明f -1的单射性.若存在y1, y2∈B 使得f -1 (y1) = f -1 (y2) = x, 从而有<y1,x>∈f -1∧<y2,x>∈f -1Þ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈fÞ y1 = y2反函数的定义及性质对于双射函数f：A→B, 称f -1：B→A是它的反函数.反函数的性质定理设f：A→B是双射的, 则f -1∘f = I, f∘f -1 = I AB对于双射函数f：A→A, 有f -1∘f = f∘f -1 = IA函数复合与反函数的计算问题描述——多机调度问题：有2台机器c1, c2；6项任务t1, t2, …, t6. 每项任务的加工时间分别为：l(t)=l(t3)=l(t5)=l(t6)=1, l(t2)=l(t4)=21任务之间的顺序约束是：任务t3只有在t6和t5完成之后才能开始加工；任务t2只有在t6, t5和t4都完成后才能开始加工；任务t1只有在t3和t2完成之后才能开始加工.调度：任务安排在机器上加工的方案截止时间：开始时刻0，最后停止加工机器的停机时刻问题描述集合任务集T={t1, t2, ... , t n}, nÎZ+机器集M={c1, c2, ... , c m}，mÎZ+时间集 N函数和关系加工时间——函数l:T®Z+.顺序约束R ——T上的偏序关系，定义为R={<t i, t j>| t i, t jÎT, i=j 或t i 完成后t j 才可以开始加工}可行调度分配到机器：T 的划分 p={T, T2, ... , T m}，划分块T j 是T 的非空子集，1由安排在机器c j上加工的所有任务组成.每个机器上的任务开始时间"T jÎp，存在调度函数 s j:T j®N，满足以下条件：(1) 任意时刻i，每台机器上正在加工至多1个任务"i, 0 £ i<D,| { t k| t kÎT j, s j(t k)£i<s j(t k)+l(t k) }| £1, j=1, 2, …, m(2) 任务的安排满足偏序约束"t iÎT i, t jÎT j, <t i,t j>ÎRÛ s i(t i)+l(t i)£s j(t j) i, j=1, 2, …, m机器j 的停止时间D=max{s j(t k)| t kÎT j}+l(t k)j所有任务的截止时间D=max{D| j=1,2,...,m}.j我们的问题就是确定使得D达到最小的可行调度.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
离散数学图论整理
离散数学图论整理总结第⼋章图论8.1 图的基本概念8.1.1 图定义8.1―1 ⼀个图G 是⼀个三重组〈V (G ),E (G ),ΦG 〉,其中V (G )是⼀个⾮空的结点(或叫顶点)集合,E (G )是边的集合,ΦG 是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
⼀个图可以⽤⼀个图形表⽰。
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是⽆序的。
若边e 所对应的偶对〈a ,b 〉是有序的,则称e 是有向边。
有向边简称弧,a 叫弧e 的始点,b 叫弧e 的终点,统称为e 的端点。
称e 是关联于结点a 和b 的,结点a 和结点b 是邻接的。
若边e 所对应的偶对(a ,b )是⽆序的,则称e 是⽆向边。
⽆向边简称棱,除⽆始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同每⼀条边都是有向边的图称为有向图。
每⼀条边都是⽆向边的图称为⽆向图。
有向图和⽆向图也可互相转化。
例如,把⽆向图中每⼀条边都看作两条⽅向不同的有向边,这时⽆向图就成为有向图。
⼜如,把有向图中每条有向边都看作⽆向边,就得到⽆向图。
这个⽆向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧⽴结点。
全由孤⽴结点构成的图称为零图。
关联于同⼀结点的⼀条边称为⾃回路。
在有向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若同始点和同终点的边多于⼀条,则这⼏条边称为平⾏边。
在⽆向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若多于⼀条边,则称这⼏条边为平⾏边。
两结点a 、b 间互相平⾏的边的条数称为边［a ,b ］的重数。
仅有⼀条时重数为1,⽆边时重数为0。
定义8.1―2 含有平⾏边的图称为多重图。
⾮多重图称为线图。
⽆⾃回路的线图称为简单图。
仅有⼀个结点的简单图称为平凡图。
定义 8.1―3 赋权图G 是⼀个三重组〈V ,E ,g 〉或四重组〈V ,E ,f ,g 〉,其中V 是结点集合, E 是边的集合,f 是定义在V 上的函数,g 是定义在E 上的函数。
8.1.2 结点的次数定义 8.1―4 在有向图中,对于任何结点v ,以v 为始点的边的条数称为结点v 的引出次数(或出度),记为deg +(v );以v 为终点的边的条数称为结点v 的引⼊次数(或⼊度),记为deg -(v );结点v 的引出次数和引⼊次数之和称为结点v 的次数(或度数),记作deg (v )。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学的概念总结
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学第五章 函数
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学图的基本概论
边连通度：设G为无向连通图，记(G) =
min{| E' | E'是G的边割集}，
(G)为G的边连通度。
连通度的性质：k(G) (G) (G)
五、有向图的连通性：
(1) 如果有向图 D = < V,E >中所有有向边的方 向去掉后所得图为无向连通图，则说D为 弱连通图。
(2) u,vV，如果存在u到v的一条通路，则说u 可达v。
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
n
n
d(vi) d(vi)m
i1
i1
度数序列：设V = {v1,v2,…,vn}为图G的顶点集， 称(d(v1), d(v2),…, d(vn))为G的度数 序列。
度数序列之和必为偶数(?)。
例8.1 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数 序列吗？为什么？
8.1 无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图 无序积：设A，B为二集合，称{{a,b} | aAbB}
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b)
有序组(a,b)均用< a,b >
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元 素为顶点或结点；
三、图的连通性
两顶点连通：u,v为无向图G的两个顶点，u到v 存在一条通路。
连 通 图：G 中任何两个顶点是连通的；否 则是分离图。
连通性的性质：无向图中顶点之间的连通关系是 顶点集V上的等价关系。
证明： (1) 自反性：由于规定任何顶点到自身总是连通的； (2) 对称性：无向图中顶点之间的连通是相互的； (3) 传递性：由连通性的定义可知。