第十四章 动力自由度的选择

(14-1)
(14-2)
§14.3 静力凝聚法
高等结构动力学
这对子矩阵方程中的第一个给出了两种类型自由 度的静力约束关系，即
ˆ ˆ k 00 v 0 + k0t vt = 0
由此得到
− ˆ0 = −k001k0t vt ˆ v
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4-3)
假设为集中质量体系,用静力凝聚得振动方程
ˆ t =ω 2 mt vt ˆ kt v
∂ω = ∂Ζn
2
高等结构动力学
% % % % m ∂k / ∂Ζn − k ( ∂m / ∂Ζn ) % m2
− ω
2
(
)
=0
(14-17) (14-18)
% ∂ k ∂ Ζ
n
% ∂ m ∂ Ζ
=
n
0
再由(14-16)得
% ∂k ∂ T T = 2Ζ Ψ mΨ (Ζ ) = 2 ΖT Ψ T kψ ∂Ζ n ∂Ζ n
v =
( s) N
高等结构动力学
0 max Es v(N )
ΦΛs ΦT ΦY L
(
)
=
ΦΛs Y
0 max Es v(N )
(
)
=
λnsφnYn ∑
0 max Es v(N ) n =1
N
(
)

v
(s )
N
=
m ax
(
s λN
E sv( N
0)
)
φ N Y N +
∑
N −1 n =1
§14.5 Rayleigh-Ritz法 特征问题的迭代解 正分析假定最高振型为
v
(0 )
N
高等结构动力学
=
∑
N
n =1
φ nY n = Φ Y
0
(14-111*)
v ( ) = E v (N ) N
1
vN =
(1)
1 v (N )
max v N
1 Ev(N)
( )
(1)
=
Ev (N0 )
max Ev N
λn φNYN λN
s
(14-115*)
进行足够多次的迭代后,括号里的可以忽略.
vN
(s )
s λ N φ N YN = s m ax ( λ N φ N Y N
)
=
m ax (φ N
φN
)
= φN
(14-116*)
§14.5 Rayleigh-Ritz法
高等结构动力学
再进一步迭加
(1)
(14-11)
ω
2
% m fm ψ = % % ψ T m fm fm ψ
T
ψ
(14-12)
§14.5 Rayleigh-Ritz法
高等结构动力学
§14.5 Rayleigh-Ritz法 法
Ritz法的基本假设为
v= ψ 1Ζ 1 + ψ 2 Ζ
2
+ ψ 3Ζ 3 + L
(14-13)
v=Ψ Ζ
§14.5 Rayleigh-Ritz法 矩阵迭代的一些基本概念 式(14-43*)写成
E φ
n
高等结构动力学
= φnλ
(14-97*)
n
E Tφ
Ln
= φ
Ln
λn
T Ln
φ
φ φ
T Ln
E = λ nφ
n
(14-98*)
T L m
E φ E φ
= φ = λ
T L m
φ nλ
T L m
n
(14-99*) (14-100*)
0
高等结构动力学
v
(1 ) 1
=
E
-1
(
( v1
0
)
)
(14-118*) (14-119*)
(
)
进行足够多次的迭代后,括号里的可以忽略. φ1 (s ) v1 = = φ1 m ax (φ1 ) 对应的特征值
(14-120*)
λ1 =
( max v1
(
1
s + 1)
)
(14-121*)
§14.5 Rayleigh-Ritz法 带有移位的迭代 把每一个特征值表示成移位和余量之和
§14.5 Rayleigh-Ritz法
高等结构动力学
前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法,用改进了 的广义坐标刚度和质量矩阵来代替(14-21)
% k = Ψ m fm Ψ
∗ T
（14-28a） （14-28b）
% % m = Ψ mfmfmΨ
∗ T
由初始形状所对应的惯性力产生的挠度为
高等结构动力学
Φ L EΦ = Λ
T
(14-104*) (14-105*)
T Ln
2 T
E=ΦΛΦ L
T
E = ∑ λ nφ nφ
n =1
2 T T
N
(14-105a*)
E = ΦΛΦLΦΛΦL = ΦΛ ΦL
E
s
(14-106*) (14-107*) (14-110*)
= Φ Λ tΦ
T L
Φ L = mΦ = kΦΛ -1
(
(0)
)
( 0)
(14-112*)
vN =
(s )
( 2)
max Ev N
(
(1)
)
=
0
E 2 v(N0)
max E v N
(0 )
(
2
)
(14-113*)
vN =
E s v (N )
m ax E v N
(
s
)
(14-114*)
§14.5 Rayleigh-Ritz法 把(14-107*)和(14-111*)代入(14-114*)得
高等结构动力学
高等结构动力学
第十四章 动力自由度的选择
高等结构动力学
第十四章 动力自由度的选择
§14.1 有限元自由度 §14.2 运动学约束 §14.3 静力凝聚法 离散坐标系中的Rayleigh Rayleigh法 §14.4 离散坐标系中的Rayleigh法 Rayleigh-Ritz法 §14.5 Rayleigh-Ritz法 §14.6 子空间迭代法 §14.7 振型截断误差的减少 衍生Ritz Ritz向量 §14.8 衍生Ritz向量
§14.3 静力凝聚法
高等结构动力学
§14.3 静力凝聚法
离散质量的配置 自由振动运动方程写成形式为
ˆ ω 2 mv ˆ kv=
对质量和刚度矩阵作分割得
K 00 K t0 ˆ ˆ K 0t v 0 0 0 v0 2 v = ω 0 m v ˆ K tt ˆ t tt t
高等结构动力学
λn = δ n + µ
（14-122*）
Λ = δ% + µ I
(14-123*)
T L m
n
m φ
φ
n
§14.5 Rayleigh-Ritz法
高等结构动力学
式(14-99*)减去(14-100*)得
T 0 = ( λ n − λ m )φ L m φ n
它表明了正交特性
T φ Lmφ n = 0
(λ m
≠ λn )
(14-101*)
§14.5 Rayleigh-Ritz法 几个重要结论
Ψ kΨΖ−ω Ψ mΨΖ= 0
T 2 T
§14.5 Rayleigh-Ritz法 采用符号
k* = Ψ T kΨ
高等结构动力学
（14-21a） （14-21b）
m* = ΨT mΨ
则得
ˆ (k * − ω 2 m * ) Ζ = 0
(14-22)
(14-21)是广义质量和广义刚度,其每一个元素是一个广义质量和 广义刚度项,即
将(14-5)求得的值代入
Tm ax =
V
m ax
1 2 2 Ζ 0ω ψ 2 1 2 = Ζ 0ψ
2
T
T
mψ
kψ
（14-7a） （14-7b）
§14.4 离散坐标系中的Rayleigh法 使最大动能等于最大位能求得频率为
ω
2
高等结构动力学
ψ = ψ
T T
kψ m ψ
k* = m *
(14-8)
将改进的Rayleigh法写成矩阵形式,取初始位移为:
高等结构动力学
Ζ = Φ ΖY
（14-24）
这些振型对于广义质量和广义刚度是正交的,将式(14-24)代入 (14-13),几何坐标就能用规格化振型坐标来表示为
v=ΨΦΖ Y
（14-26）
可见,几何坐标中的近似振型为假定的形状与广义坐标振型之积
Φ = ΨΦ Ζ
（14-27）
前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法
§14.1 有限元自由度
高等结构动力学
§14.1 有限元自由度
一维单元 模型的自由度数由结构的物理布置所决定．一般来说， 所有自由度都与给结构施加常见静荷载分布所引起的应力 和位移分析有关．另一方面，在任意动力荷载下的反应分 析中，所有自由度并不都作为独立变量考虑．动力分析取 决于时间变化及荷载空间分布情况，使用本章介绍的方法 后，通常很少独立的自由度数目便可有效进行．
v
(0 )
=ψ Z
0
（14-9）
则自由振动产生的惯性力为