2015高中数学 1.1变化率与导数要点讲解 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及其运算解读素材 新人教A版选修2-
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导数概念及其运算教材解读课标要求1． 了解函数平均变化率的概念；掌握函数平均变化率的求法；2．了解瞬时速度、瞬时变化率(导数)的定义，并掌握其求法； 3．了解导数的几何意义;4．掌握几个常用导数的求法，掌握基本初等函数的导数公式； 5．灵活运用导数的运算法则。
基础知识 一、导数的概念 1．函数的平均变化率一般地,函数)(x f y =，21,x x 是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121)()(x x x f x f --表示,我们把这个式子称为函数)(x f y =从1x 到2x 的变化率(average rate ofchange ）。
习惯上用x ∆表示12x x -即x ∆=12x x -，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用1x +x ∆代替2x ；类似地，)()(12x f x f f -=∆，于是平均变化率可以表示为xf ∆∆. 注意：（1）xx f x x f x x x f x f x f ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212，式子中x ∆、f ∆的值可正可负，但x ∆的值不能为零，f ∆的值却可以为零。
人教新课标版数学高二选修2-2讲义 1.1.1变化率问题 导数的概念
1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件 新人教A版选
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华 根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一 点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑 出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2， 所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的 路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0） 趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时 间的瞬时变化率．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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(人教)2015高中数学选修2-2课件 1-1 变化率与导数(共41张PPT)
(2)从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到,当 x=x0 时,f'(x0)是 一个确定的数.这样,当 x 变化时,f'(x)便是 x 的一个函数,称它为 f(x)的导 函数(简称为导数),y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'= ������������������
f( ������0 +������x)-f( ������0 ) ,称它为函数 ������x ������x → 0
y=f(x)在 x=x0 处的导数.
(2)导数的符号表示 用 f'(x0)或 y'|x=x 0 表示函数 f(x)在 x=x0 处的导数,即 f'(x0)= ������������������
KETANG HEZU引
(3)平均变化率的几何意义 如下图所示,函数 f(x)的平均变化率的几何意义是直线 AB 的斜率. 事实上,kAB=
������������ -������������ ������������-������������
=
������(������2 )-f(������1 ) ������2 -������1
重点难 点
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习导引
1.平均变化率 (1)平均变化率的定义 对于函数 f(x),当自变量 x 从 x1 变到 x2 时,函数值从 f(x1)变到 f(x2), 则称式子
������(������2 )-f(������1 ) 为函数 ������2 -������1
高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1.1 变化率与导数1.1.1-1.1.2
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 A.1 C.2
(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的 B.－1 D.－2
平均变化率等于( B )
解析
Δy f3－f1 由图知， 函数 y＝f(x)在 A， B 两点间的平均变化率为 ＝ Δx 3－1
Δy fx2－fx1 则平均变化率 Δx＝ 表示割线P1P2的 斜率 . x2－x1
答案
知识点二 瞬时速度
思考1
Hale Waihona Puke 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段
时间内的平均速度.
Δs 答 Δs＝5(1＋Δt) －5＝10Δt＋5(Δt) ， v ＝ ＝10＋5Δt. Δt
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质： 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，
2 2
思考2
当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一
速度？
答
Δs 当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度. Δt
答案
瞬时速度
(1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt Δt Δs 极限 是 v，这时 v 就是物体 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，Δt 的_____ st0＋Δt－st0 Δs 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学新课标选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
ΔΔyx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v＝
lim
Δt→0
Δt0＋ΔΔtt－st0.
(3)f′(x0)＝ xl→imx0 fxx－－fx0x0与定义中的 f′(x0)意义本质相同．
• 题型一 求平均变化率 • 【例1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
2．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0 是指时间间隔 Δt 越来越短， 能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定的常 数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度．
第一章 导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
• 【课标要求】 • 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化
率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的 实际背景．
• 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． • 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数
．
• 【核心扫描】 • 1．求函数的平均变化率．(重点) • 2．求瞬时速度．(重点) • 3．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(
名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意 一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
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变化率与导数要点讲解
一、求导的基本方法——导数极限定义
函数y =f (x )在点x 0的导数，正好就等于函数曲线在点M （x 0，f （x 0））的切线斜率. 我们看看这个结论是如何得出的.
右边这个图，在x 0右边距离为△x 的地方另取
一点，那么曲线上相应的点M 1的坐标为（x 0+△x ，f （x 0+△x ）），我们将点M 和M 1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线. 这条割线的斜率是多少呢？
割线MM 1的斜率=
请注意，如果这时我们沿着曲线f （x ）移动点M 1，使它逐渐接近点M （也就是让△x 缩小，最后变成0），割线MM 1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT ，向切线MT 逼近. 从图中可以看出，当M 1沿着曲线逐渐向M 靠拢时，MM 1的斜率也会向MT 的斜率逐渐靠近. 我们可以把上面这句话写成：当△x →0，MM 1的斜率→MT 的斜率.用式子表示： 切线MT 的斜率=
这就是导数的定义.
△x 中在x 前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta ，相当于英文字母的
D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x 这个符号，来代表x 的微小变化.
导数的定义还可以有其他形式，比如用h 替代△x ：
还可以用x 替代x 0，得到：
我们假设，这样，当△x →0，就相当于x →x 0，可以把式子改写成：
从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.
什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的.
二、导数几何意义的应用
函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.
一、切线的夹角问题
例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别
为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.
解析：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2
，解得A (－2，0)，B (3，5)， 由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，
根据两直线的夹角公式，tan θ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023
. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第
二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).
二、两条曲线的公切线问题
例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，
称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 2
1＋2x 1)处的切线方程是
y －(x 2
1＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①， 函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q (x 2，－x 2
2＋a )处的切线方程是
y －(－x 2
2＋a )＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，
所以⎩⎨⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22
＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式△＝4－4×2(1＋a )＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12
，此时点P 和Q 重合， 即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y ＝x －14
. （Ⅱ）证明：略
点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.。