高考泰安市高三第一轮复习质量检测数学

2013届高三高考模拟卷（四）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}04|{2=+=x x x A ，+++=x a x x B )1(2|{2}012=-a ，若B B A = ，则a 的值为A ．2B ．1C ．2-D ．1- 2．定义运算bc ad dcb a -=，则符合条件02111=+-+ii i z 的复数z 是A ．i 5452-B ．i 5452--C ．i 5452+-D ．i 5452+3．“2|1|≤-x ”是“0)3(<-x x ”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义某种运算b a S ⊗=，运算原理如图所示，则式子1)31()35cos4(25sin)45tan2(-⊗+⊗πππ的值为 A ．13 B ．11 C ．8 D ．45. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为6．已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为A ．51-B ．51 C ．5- D ．57. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种8．设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和,(m b =)sin 2α+m ，其中αλ,,m 为实数，若b a 2=，则mλ的取值范围是A ．]1,6[-B ．[4，8]C ．]1,6(-D ．]6,1[- 9．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是10．已知斜率为2的直线过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A ．x y 42= B ．x y 82=C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=11. 在△ABC 中，已知4=-b a ，b c a 2=+，且最大角为︒120，则这个三角形的最大边等于A ．4B ．14C ．4或14D ．2412．已知)(x f y =是奇函数，且满足0)(2)2(=-++x f x f ，当)2,0(∈x 时，)21(ln )(>-=a ax x x f ，当)2,4(--∈x 时，)(x f 的最大值为41-，则=aA ．41 B ．31 C ．21 D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．由曲线22x y -=和直线x y =围成的封闭图形的面积为_______。

14．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．15. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥1P D MN -体积的最大值为______．16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= (5323)+= 119733++= 1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m ________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且21)cos(=+C A ，A c a sin 2=．(1)求cosC 的值；(2)当]2,0[π∈x 时，求函数x A x x f 2cos cos 42sin )(+=的最大值．18. (本小题满分12分)已知数列}{n a 满足：11=a ，11=-+n n a a ，*N n ∈．数列}{n b 的前n 项和为n S ，且2=+n n b S ，*N n ∈．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；(2)令数列}{n c 满足n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是32．(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求二面角A BD E --的余弦值． 21.（本小题满分13分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率22=e ，左、右焦点分别为21F F 、，抛物线x y 242=的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程； (2)已知圆M ：3222=+y x 的切线与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，22．(本小题满分13分)设函数x xx a x f ln 2)1()(++=，2)(x x g =．(1)当0>a 且2=/a 时，直线与函数)(x f 和函数)(x g 的图象相切于同一点，求直线的方程．(2)若函数)(x f 在区间[2，4]上为单调函数，求实数a 的取值范围．高三高考模拟卷（四） 数学（理科）参考答案一、1．B 【解析】因为B B A = ，所以B A ⊆．又因为}4,0{-=A ，而B 中最多有两个元素，所以}4,0{-==A B ，所以1=a ．选B ．2.A 【解析】设bi a z +=．根据定义运算得++1)((bi a 0)1)(1()2=-+-i i i ，即2)2()2(=++-i b a b a ，根据复数相等的定义得⎩⎨⎧=+=-,02,22b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,54,52b a 所以i z 5452-=．3．B 【解析】由2|1|≤-x 得212≤-≤-x ，31≤≤-x ；由0)3(<-x x 得30<<x ．因此“2|1|≤-x ”是“0)3(<-x x ”成立的必要不充分条件，所以选B ．4．A 【解析】原式+⨯++⨯=⊗+⊗=2(3)11(232121) =13．5．C 【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C ．6．A 【解析】圆C 的方程可化为1)1()1(22=-++y x ，所以圆心C 的坐标为)1,1(-，又直线04=++y kx 恒过点)4,0(-A ，所以当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，直线CA 应垂直于直线04=++y kx ，因为直线CA 的斜率为5-，所以51=-k ，51-=k ．7.C 【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法共有6种，甲任选一种为16C ，然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有25A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法1202516=A C 种，故选C ．8．A 【解析】根据已知条件得)sin 2,2(2α+=m m b ，又b a 2=，所以m 22=+λ，ααλsin 2cos 22+=-m ，于是αλαλsin 42cos 2222++=-，即+-=-αλλ22sin 226)1(sin 24sin 42+--=+αα，故6222≤-≤-λλ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤-226222λλλλ，解得223≤≤-λ，故=+=12λλλm ]1,6[242-∈+-λ，故选A ． 9．C 【解析】由解析式可知，当b x >时，0>y ，由此可以排除A 、B 选项．又当b x ≤时，0≤y ，从而可以排除D ．故选C ．10．D 【解析】抛物线的焦点坐标是)0,4(a，直线的方程是-=x y (2)4a ，令0=x ，得2a y -=，故)2,0(a A -，所以△OAF 的面积为⨯2116|2||4|2aa a =-⨯，由题意，得4162=a，解得8±=a ．故抛物线方程是x y 82=或x y 82-=．故选D ．11．B 【解析】因为4=-b a ，所以4-=a b ，所以b a >，又b c a 2=+，所以8-=a c ，所以a 大于c b 、，则︒=120A ，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+= ⋅---+-=)4(2)8()4(22a a a )21()8(-⋅-a ，所以056182=+-a a，所以14=a 或4=a （舍去）．12．D 【解析】由题意知)(2)(2)2(x f x f x f =--=+，所以=+)4(x f )]2(2[++x f)(4)2(2x f x f =+=，所以)4(41)(+=x x f ．当)2,4(--∈x 时，)2,0(4∈+x ，则)4(41)(+=x x f )]4()4[ln(41+-+=x a x ，)41(41)(a x x f -+='，令=')(x f 0，得41-=a x ，又21>a ，所以)2,4(41--∈-a ．当>')(x f 0时，41-<a x ，)(x f 在)41,4(--a 上单调递增；当0)(<'x f 时，41->a x ，)(x f 在)2,41(--a上单调递减．所以=max )(x f )11(ln41)41(a a a a f ⋅-=-41-=，所以01ln=a得1=a ．二、13．29【解析】由x x =-22，得2-=x 或1=x ，则曲线22x y -=与直线xy =围成的图形的面积-=--=⎰-x dx x x S 2()2(1221223|)2131--x x 29)310(67=--=．14．9【解析】先根据约束条件画出变量y x ,满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线04=+-k y x 与2=y 的交点为)2,8(k A -，观察图形可知目标函数y x z +=3在点)2,8(k -处取得最小值1-，即12)8(3-=+-⨯k ，解得9=k ．15．312-【解析】由条件可得，A 、M 、P 、N 四点在以PA 为直径的圆上，所以由正弦定理得245sin =︒MN，所以2=MN 、在△PMN 中，由余弦定理可得≥︒⋅-+=135cos 2222PN PM PN PMMN PN PM ⋅+)22(，当且仅当PM= PN 时取等号，所以⋅PM 22222-=+≤PN ，所以底面△PMN 的面积⋅PM 211sin135(22PN ︒≤⨯-=，当且仅当PM= PN 时取最大值，故三棱锥MN D P 1-的体积≤⋅∆131AA S PMN 312221231-=⨯-⨯．16．11【解析】由3122+=，53132++=，753142+++=，…，可知)12(5312-++++=n n ．由115312++++= m ，可知6=m ，易知292725232153++++=，则21是53的分解中最小的正整数，可得5=p ．故11=+p m ． 三、17．【解析】(1)在△ABC 中，因为21)cos(=+C A ，所以3π=+C A ．（2分）又A c a sin 2=，c C c Aa 2sin sin ==，所以21sin =C ，6π=C 或π65（舍），（4分）所以23cos =C ．（6分）(2)由(1)知23cos =A ，（7分）所以32cos 32sin cos 322sin )(2++=+=x x x x x f++=)32sin(2πx 3，（10分）又]2,0[π∈x ，所以32)(max +=x f ．（12分）18．【解析】(1)由已知可知数列}{n a 为等差数列，且首项为1，公差为1． ∴数列}{n a 的通项公式为n a n =．（2分） ∵2=+n n b S ，∴211=+++n n b S ，∴211=+nn b b ，∴数列}{n b 为等比数列，（4分）又211=+b S ，∴11=b ，∴数列}{n b 的通项公式为121-=n n b ．（6分）(2)由已知得：121-⋅=n n n c ．∴12223221-++++=n n nT ，∴nn n n n T 22123222121132--++++=- ，（8分）∴两式相减得nn n n T 221212121121132-+++++=-n nn 2211211---=nn n 2)211(2--=．（10分）∴数列}{n c 的前n 项和112242)211(4--+-=--=n n nn n n T ．（12分）19．【解析】(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ， 则51204)(362214===C C C A P ，⨯⨯+-=32)321()(133C B P 27792271)321(2=+=-（3分）事件B A 、相互独立，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是-=⋅-1)(1B A P 135128277511)()(=⨯-=⋅B P A P ．（6分）(2)由题知ξ的所有可能取值是1，2．51)1(362214===C C C P ξ，54)2(36341224=+==C C C C P ξ，（9分）则ξ的分布列为所以59542511=⨯+⨯=ξE ．（12分）20．【解析】(1)法一 如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF ． 在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB=4，CD=2，所以CD BF //， 所以四边形BCDF 为平行四边形，所以DF ∥BC ．（2分） 在△PAB 中，PE=EA ，AF=FB ，所以EF//PB ．又因为DF EF=F ，PB BC=B ，所以平面DEF ∥平面PBC ． 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC ．（4分） 法二 取PB 的中点M ，连接CM ，ME ． 在△PAB 中，PE=EA ，PM=MB ，所以AB EM 21//．在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB=4，CD=2， 故AB CD 21//，所以CD EM //，（2分）所以四边形CDEM 为平行四边形，故DE ∥CM ． 因为CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， 所以DE ∥平面PBC ．（4分）(2)取AD 的中点O ，BC 的中点N ，连接ON ，则ON ∥AB ． 在△PAD 中，PA=PD=AD=2，所以PO ⊥AD ，3=PO ， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以PO ⊥平面ABCD ．（6分）如图，以O 为坐标原点；分别以OA ，ON ，OP 所在直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(O ，)0,0,1(A ，)0,0,1(-D ，)3,0,0(P ，)0,4,1(B ．因为E 为PA 的中点，所以,21(E )23,0，故)0,4,2(=DB ，=DE )23,0,23(．（8分）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，PO ⊥AD ，所以PO ⊥平面ABD ，故,0,0(=PO )3-为平面ABD 的一个法向量．设平面EBD 的法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥DE n DB n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02323042z x y x ，即⎩⎨⎧=+=+0302z x y x ，令1-=y ，则2=x ，32-=z ，所以)32,1,2(--=n 为平面EBD 的一个法向量．（10分）所以|,cos n PO =><222)32()1(23)32,1,2()3,0,0(-+-+⨯--⋅-=17512=．设二面角A BD E --的大小为θ，由图可知)2,0(πθ∈，所以17512cos =θ．（12分）21．【解析】(1)因为椭圆C 的离心率22=e ，所以22=ac ，即c a 2=．（4分）因为抛物线x y 242=的焦点)0,2(F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以2=a ，所以1=c ，1=b ．所以椭圆C 的方程为1222=+y x．（6分）(2)(i)当直线的斜率不存在时．因为直线与圆M 相切，故其中的一条切线方程为36=x ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,12,3622y xx 不妨设)36,36(A ，)36,36(-B ， 则以AB 为直径的圆的方程为32)36(22=+-y x ．（6分）(ii)当直线的斜率为零时．因为直线与圆M 相切，所以其中的一条切线方程为36-=y ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,12,3622y xy 不妨设)36,36(-A ，)36,36(--B ， 则以AB 为直径的圆的方程为32)36(22=++y x ．显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分） (iii)当直线的斜率存在且不为零时．设直线的方程为m kx y +=．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,22y x m kx y 消去y ，得0224)12(222=-+++m kmx x k ，所以设),(11y x A ，),(22y x B ，则124221+-=+k km x x ，12222221+-=k m x x ．所以))((2121m kx m kx y y ++=122)(222221212+-=+++=k k m m x x km x x k ．所以2121y y x x OB OA +=⋅12223222+--=k k m ．①（11分）因为直线和圆M 相切，所以圆心到直线的距离361||2=+=km d ，整理，得)1(3222k m +=， ②将②代入①，得0=⋅OB OA ，显然以AB 为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0，0)．（13分） 22．【解析】(1)由题易得xxa x f 2)11()(2+-='>-+=x xax ax (222)0，x x g 2)(='，因为直线与函数)(),(x g x f 的图象相切于同一点，则令x xax ax 2222=-+，解得1=x ，或)2(2=/=a a x ，或1-=x (舍去)．（2分）易得，2)1(='f ，a f 2)1(=；a a f =')2(，+=2)2(2a a f 22ln 2+a．2)1(='g ，1)1(=g ；a ag =')2(，4)2(2a a g =．（3分） ①当1=x 时，21=a ，易知直线的斜率为2，且直线过点(1，1)，则直线的方程为12-=x y ；（4分）②当2a x =时，因为)2()2(ag a f -=，则42ln22222aa a=++，即0182ln2=++aa ，(*)令182ln)(2++=aa a h ，则0)2()2(22<⋅e h eh ， 易得方程(*)在0>a 且2=/a 上一定有解，且直线以a 为斜率，过点)4,2(2aa ， 所以直线的方程为)2,0(42=/>-=a a aax y ．综上所述，直线的方程为12-=x y 或)2,0(42=/>-=a a aax y ．（6分）(2)由题易知，xxa x f 2)11()(2+-=')0(222>-+=x xax ax ，要使)(x f 在区间[2，4]上为单调递增函数，需0)(≥'x f 在∈x [2，4]时恒成立，即0222≥-+xax ax 在]4,2[∈x 时恒成立，即022≥-+a x ax 在]4,2[∈x 时恒成立，即)42(12122≤≤-=-≥x xxxx a ．（9分）设)42(1)(≤≤-=x x x x u ，则)42(11)(2≤≤--='x xx u ，易知当42≤≤x 时，0)(<'x u ，所以)(x u 在[2,4]上单调递减，则)2()()4(u x u u ≤≤，即231415-≤-≤-x x ，所以3412121582-≥-=-≥-xx x x ，所以当158-≥a 时，)(x f 在区间[2，4]上为单调递增函数．（11分）要使)(x f 在区间[2，4]上为单调递减函数，需0)(≤'x f 在∈x [2，4]时恒成立，易得34-≤a ．综上所述，若)(x f 在区间[2，4]上为单调函数，则a 的取值范围为),158[]34,(+∞---∞ ．（13分）。