2019年杭州二中高考热身考数学试卷
2019年浙江省杭州二中高三第二次月考数学（理）试题及答案
2019年浙江省杭州⼆中⾼三第⼆次⽉考数学（理）试题及答案⾼考数学精品复习资料2019.5杭州⼆中20xx 届⾼三第⼆次⽉考数学（理）试题第I 卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、若集合{|2}-==xM y y，{|==P y y ，则M P =A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2、实数等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（）A.充分⽽不必要条件 B ．必要⽽不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A ．⼀定相离B ．.⼀定相切C ．相交且⼀定不过圆⼼D ．相交且可能过圆⼼4、已知实数等⽐数列{}n a 公⽐为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A ．12-B ．1C ．12-或1D ．112-或 5、已知x 、y 满⾜2y xx y x a ≥??+≤??≥?，且2z x y =+的最⼤值是最⼩值的4倍，则a 的值是（）A ．34 B ．14 C ．211D ．4 6、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知254523335,25S S a a ==，则6543Sa =（） A ．125 B ．85 C ．45 D ．357、若正数a ，b 满⾜111a b +=，则1911a b +--的最⼩值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．168、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆⼼作⼀个圆恰好经过椭圆中⼼并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离⼼率为A ．13-B ．32-C ．22 D ．239、若等差数列{}n a 满⾜2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最⼤值为（）A ．60B ．50C ． 45D ．4010、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论：①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若⽅程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内⾄少有5个零点，⾄多有13个零点其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（共100分）⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，共28分．11、如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同⼀平⾯上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所⽰，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ． 12、在△ABC 中，6 A π=，D 是BC 边上任意⼀点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+?，则⾓B 等于．13、函数210()log 0x x f x xx +≤?=?>?，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．14、已知正三棱柱111ABC A B C -体积为94若P 为底⾯ABC 的中⼼，则1PA 与平⾯111A B C 所成⾓的⼤⼩为15、已知sin ,cos αα是关于x 的⽅程20x ax a -+=的两个根，则1cos 2sin 21sin 2cos 21sin 2cos 21cos 2sin 2a a a aa a a a+---+=--+- ．16、已知O 是ABC ?外⼼，若2155AO AB AC =+，则cos BAC ∠= ． 17、已知函数()af x x x=-，对(0,1)x ?∈，有()(1)1f x f x ?-≥恒成⽴，则实数a 的取值范围为．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．18、在ABC ?中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos sin 0b C C a c --=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2a c +的取值范围.19、如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平⾯PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平⾯PBC ；（Ⅱ）若F 在线段AC 上，满⾜//AD 平⾯PEF ，求AFFC的值．20、已知数列{}n a 的⾸项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且有1(0)n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1t =时，若对任意*n N ∈，都有5n b b ≥，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1t ≠时，若122...n n c b b b =++++，求能够使数列{}n c 为等⽐数列的所有数对(,)a t ．APCD EF21、如图，已知圆2220G x y x +--=：，经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 及上顶5π22、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最⼤值．参考答案⼀、选择题 1-10 CACAB CBABC ⼆、填空题 11、7； 12、512π； 13、113,,24?--??； 14、3π；151； 16、4 17、14a ≤-或1a ≥ 三、解答题18、解：（1）由正弦定理知：sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=sin sin()sin cos cos sin A B C A C A C =+=+代⼊上式sin cos sin sin 0B C B C C --=sin 0C >,cos 10B B --=.即1sin()62B π-=,(0,)B π∈,3B π∴=（2）由（1）得：22sin bR B==222(2sin sin )2[2sin sin()]5sin )3a c R A C A A A A A πθ∴+=+=+-=+=+2(0,)3A π∈,2)a c A θ∴+=+∈19、（1）证明：BC ⊥平⾯PAB BC AD ∴⊥ PA AB =，D 为PB 中点AD PB ∴⊥,PB BC B ?=,AD ∴⊥平⾯PBC （2）连接DC 交PE 于G ，连接FG//AD 平⾯PEF ，平⾯ADC ?平⾯PEF=FG//AD FG ∴,⼜G 为PBC ?重⼼,12AF DG FC GC ∴== 20、解：（1）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at = 当2n ≥时，1n n S tS a -=+，11()()n n n n S S t S S +-∴-=-，即1n n a ta +=⼜10a a =≠，综上有1(*)n na t n N a +=∈，即{}n a 是⾸项为a ，公⽐为t 的等⽐数列,1nn a at -∴=（2）当1t =时，,1n n S an b an ==+，当0a >时，{}n b 单调递增，且0n b >，不合题意；当0a <时，{}n b 单调递减，由题意知：460,0b b >< ，且4565||||b b b b ≥??-≥?解得22911a -≤≤-, 综上a 的取值范围为22[,]911--（3）1t ≠，11nn a at b t-∴=+-22(1)2(1)(...)2(1)111(1)n nn a a a at t c n t t t n t t t t -∴=++-+++=++-----1222(1)(1)1(1)n at a at n t t t +=-+++---由题设知{}n c 为等⽐数列，所以有,220(1)101at t t a t-=?-?-+=-，解得12a t =??=?，即满⾜条件的数对是(1,2)．（或通过{}n c 的前3项成等⽐数列先求出数对(,)a t ，再进⾏证明）21、解：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ．∴62=a ．故椭圆的⽅程为12622=+y x ．（Ⅱ）设直线l 的⽅程为)6)((33>--=m m x y ．由--==+)(3312622m x y y x 消去y 得0)6(2222=-+-m mx x ．设),(11y x C ，),(22y x D ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--?--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴FD FC ?=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x=3)3(2-m m ．∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ?>，即2(3)03m m ->，解得0m <或3m >．由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．⼜6>m ，326<∴3m <<．22、解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成⽴，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成⽴，①当1x =时，（*）显然成⽴，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-，所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++-≤≥…10分①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经⽐较，此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +.④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，故此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为0.。
2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟(二)数学试卷(含答案)
（3）若方程
f
(x)
b 有两个实数根
x1, x2
，且
x1＜x2
，证明：
x2
x1
1
b e 1 3e 1
eb e 1
.
【命题意图】本题考查导数在单调性与最值、极值、切线问题中的应用，及不等式性质、恒成立等基
础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论及分析问题和解决问题的能力.
高三数学试题卷第 6 页，共 6 页
边上有一点 P 的坐标是 3a, a，其中 a 0 .
（1）求 cos 的值；
（2）若 tan 2 1 ，求 tan 的值.
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.
19.(原创题)（本题满分 15 分）如图，已知多面体 ABCD A1B1C1D1 ， AA1, BB1,CC1, DD1 均垂直于平面
数学试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 6 页，选择题部分 1 至 3 页；非选择题部分 3 至 6 页.
满分 150 分.考试用时 120 分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸
规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷
高三数学试题卷第 2 页，共 6 页
6.(原创题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 3 3 C. 3 3
2
B. 5 3 2
D. 9 3 2
【命题意图】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“三视图的几何体”
的相互转化和空间想象能力.
2019届浙江省杭州市高三第二次质检理科数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省杭州市高三第二次质检理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，则（）A． B． C．D．2. 设等比数列的前项和为，则“ 且”是“数列单调递增”的（）A．充分不必要条件___________ B．必要不充分条件C．充分必要条件____________________________________________ D．即不充分也不必要条件3. 若直线与函数的图象及轴分别交于三点，若，则（）A．或________________________ B．或C．或________________________ D．4. 设，若，则（）A．______________________________________ B．______________________________________ C． D．5. 在梯形中，，，，，若，则的取值范围是（）A． B． C．___________________________________ D．6. 设双曲线的顶点为，为双曲线上一点，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线和的斜率分别为，若且，则双曲线离心率为（）A．2 B． C．D． 47. 设函数与的定义域为，且单调递增，，，若对任意，不等式恒成立，则（）A．都是增函数 B．都是减函数C．是增函数，是减函数___________________________________D．是减函数，是增函数8. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，若，则（）A．当时，平面平面B．当时，平面平面C．当，直线与底面都不垂直D．，使直线与直线垂直二、填空题9. 设函数，最小正周期，则实数__________，函数的图象的对称中心为__________，单调递增区间是__________.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，表面积为__________.11. 设直线，若，则__________.12. 若实数满足，则的取值范围是__________.13. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为，则的最大值为__________.14. 定义，设，则的最小值为__________，当取到最小值时， __________， __________.15. 在边长为1的正方体，中，分别在上，并且满足，，，若平面，平面，平面交于一点，，则 __________， __________.三、解答题16. 在中，内角所对的边分别为，若．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的取值范围.17. 在底面为正三角形的三棱柱，，平面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小.18. 设数列满足， .（1）求证：；（2）求证： .19. 设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于，两点，直线（为坐标原点）的斜率分别为，若 .（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.20. 设函数，函数在区间上的最大值为 .（1）若，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷
2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（ ） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（ ） A ． 3 B ． －3 C ．13 D ． －133． 二项式512)xx -（的展开式中 x 3项的系数是（ ） A ． 80 B ． 48 C ． －40 D ． －804．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含5． 若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90x-2y-10≥⎧⎨≤⎩，设z ＝x ＋2y ，则（ ）A ． z ≤0B ．0≤z ≤5C ． 3≤z ≤5D ．z ≥5 6．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数． 若 a b ＝b a ，则（ ） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21eC ． ab ＞e 2D ． ab ＜e 27． 已知 0＜a ＜14，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1P3 41 4－aa当 a 增大时，（ ）A ． E (ξ)增大， D (ξ)增大B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小8．已知a＞0 且a≠1，则函数f (x)＝(x－a)2ln x（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值9．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝372+B． |a＋c|max＝372-C． |a－c|min＝√37+D． |a＋c|min＝37-10．已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）A．α1＜α2 B．α1＞α2C．α2＜α3 D．α2＞α3非选择题部分（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）11．双曲线222xy-= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤14，|f(x)＋1－x2|≤34，则f(1)＝．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R ，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f (x )＝（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y ＝f (－x )的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ． （Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnxx x（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )； （Ⅱ）证明：f (x )2e+ee 为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程； （Ⅱ）求|OB||OD|的值．22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋nca （c ＞0，n ∈N *）， （Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1； （Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m mca n m a a -+≤ （ⅱ）．51n n a -2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．y x = 12．3；162 13．143π；6(6++π 14．－14 15．3216．3417．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －34π)，所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋34π)．所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分 （Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －34π)，所以单调递减区间为(54π＋2kπ，94π＋2kπ)（k ∈Z）．…………14分19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ．…………7分（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BCMD ＝2DC ＝DC ′＝2，AD．在Rt△C ′MD 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-＝9－设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即 4－x 2＝(9－－(x －1)2， 解得，x ＝2，即AF ＝2． 所以 C ′F ＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '． …………15分20．（本题满分15分）（I ）221(21)ln ()()x x xf x x x +-+'=+．…………6分（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++， 则函数g (x )在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001ln 021x x x +-=+， 所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减． 所以 f (x )≤f (x 0)＝00ln (1)x x x +＝001(21)x x + …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，ABC′D M F （第19题）即 y ＝2x 0x －20x ．…………6分（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ． 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0． 由021,2x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2． 由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝021mx m-，y 1y 2＝3220224x y m=．所以220042(1)1612mx x m m -=，解得 mx 0＝3-±所以点D 的纵坐标y D＝202x m -=，故||||6||BDy OB OD y ==±． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋nca ＞a n （n ∈N *）， 下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋kca ＞a k ≥1． 所以，当n ∈N *时，a n ≥1． 所以 a n ＋1＞a n ≥1．…………5分（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋mca ， 所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤mc a (n －m )， 所以 ()n m mca n m a a -+≤． …………9分（ⅱ）若12c >，当282(21)c m c ->-时，21822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以12m c c a <-． 所以当n m ≥时，1()1()2n m mcc n a n m a a ---+≤≤．所以当112m m mcm a a n c c a +->--时，1()1()2m m cc n n m a a -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 222222125224n nn n nc a a c a c c a a +=+++++≤≤，所以n a …………15分。
浙江省杭州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
浙江省杭州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 2．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．3π B ．3πC ．3πD ．243π【答案】D【解析】 【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD V 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u ur u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 4．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ，()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） AB．C．5D．5【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 6．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】=4==的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，=4=，=，2=，=1=，2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.8．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．9．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
2019年【杭州二模】浙江省杭州市高三第二次高考科目质检数学(文)试题及答案
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3. 设直线 l 平面 ，直线 m 平面 .（ ）
A. 若 m // ，则 l // m
B. 若 // ， l m 则
C.若 l m ，则 //
D.若
，则 l // m
4. 设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， (n 1) Sn＜nSn 1(n
二、 填空题：（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 .）
11. 设 i 是虚数单位 ,若复数 zi 1 i ，则 z ______. 12. 设数列 an 是各项均为正数的等比数列，若 a1 a2n 1 4 n ，则数列 an 的通项公式是
_______. 13. 某几何体的三视图如图所示，若该正视图面积为
折起后所在的平面记为 , p ，设 PB, PC与 所成的角分别为 1, 2 （ 1, 2 均不为
零） .若 1 2 ，则满足条件的 P 所形成的图像是 _______.
17. 若向量 a, b 满足 a 2b 1，则 a b 的最大值是 _______.
三、 解答题 ：（本大题共 5 个小题，共 72 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .）
△
21.（本题满分 15 分）若 a R, 函数 f (x) 1 x3 1 ax 2 ( a 1)x . 32
（ I）若 a 0 ，求函数 f (x) 的单调递增区间；
（ II ）当 x
2 1,2 时， 1 f ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围 .
3
△
22.（本题满分 14 分）设抛物线 : y2 2 px( p＞ 0) 过点 (t, 2t ) （ t 是大于零的常数） .
33
.
浙江省杭州市2019第二次高考科目教学质量检测 数学(文)
杭州市2019第二次高考科目教学质量检测数学（文）试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R p = V=Sh球的体积公式其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高343V R p =台体的体积公式其中R 表示球的半径 121()3V h S S =+锥体的体积公式 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh =如果事件A 、B 互斥，那么 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U=R ，集合{|2},{|13},A x x B x x =?-<?则()()U U A B ?痧A ．{|12}x x -<?B ．{|12}x x x ?>或C ．{|23}x x <<D ．{|3}x x >2．已知i 是虚数单位，则11i ii i++=+（ ） A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i -3．设m R Î，则“5m =”直线:20l x y m -+=与圆22:(1)(2)5C x y -+-=恰好有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一盆子中号为1，2的红色球个，编号为1，2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是A ．16B ．14C ．13D ．125．设m ，n 是两条不同的直线，,a b 是两个不同的半面 A ．若m ∥a ，n ∥b ，m ∥n ，则a ∥b B ．若m ∥a ，n ∥b ，a ∥b 则m ∥nC ．若m ⊥a ，n ⊥b ，m ⊥n 则a ⊥bD ．若m ⊥a ，n ⊥b ，a ⊥b 则m ⊥n6．已知实数x ，y 满足不等式组0320,60x y x y x y ì-?ïïï-+?íïï+-?ïïî则23x y -+的最小值是A ．3B ．4C ．6D ．97．设P 为函数()sin()f x x p =的图象上的一个最高点，Q 为函数()cos()g x x p =的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）AB ．2 C．2D ．8．在边长为1的菱形ABCD 中，BAD=60，E 是BC 的中点，则AC ·AE =AB ．92CD ．949．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b+=>>，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2， 且k 1·k 2=45-，则双曲线的离心率是（ ） AB ．94C ．32D ．9510．若函数()(1).xf x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e <-，都存在x R Î,使得()f x m < B ．对任意21m e>-，都存在x R Î，使得()f x m < C ．对任意x R Î，都存在21m e <-，使得()f x m < D ．对任意x R Î，都存在21m e >-，使得()f x m < 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数2()11x f x nx -=+的定义域是 。
2019年05杭州二中数学试卷(月底)
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20. （本题满分 15 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， DAB = 60 ， PC 平面 ABCD ，且 AB 2 ， PC 6 ， F 是 PA 的中点． （Ｉ）求证： CF 平面 PDB ； （Ⅱ）求平面 ADP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值．
，
2
, 2
，且满足 sin
cos
sin
cos
1
，则 sin
sin
的取值范围是
A. 2, 2
B. 1, 2
C. 0, 2
D. 1, 2
8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为
A. 1
22. （本题满分 15 分）已知函数 f (x) 1 ln x . x
（Ｉ）如果当
x
1 时，不等式
f
(x)
a x 1
恒成立，求实数 a
的取值范围；
1
1
1
（Ⅱ）求证： e212 1 e222 1 ... e2n2 1 n 2 (n N * ) .
第 4 页（共 4 页）
B.
a2
1 a2
a
1 a
C.
a
b
a
1
b
2
D. a 3 a 1 a 2 a
6.双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a,b 0)
上存在一点 P
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21. 本题满分15分已知：椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的离心率为
3 ，且 a b 3 。过左焦点 F 作 2
一条直线交椭圆于 A、B 两点，过线段 AB 的中点 M 作 AB 的垂线交 y 轴于点 P
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)当 PAB 面积最大时，求直线 AB 的斜率
x y70
13.已知圆 C : x a2 y b2
1
,设平面区域
x y30
，若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴
y 0
相切，则 a 2b 的最小值为_________ a2 b2 的最大值为_________.
14. ABC 中，A 2B, BC 1 ,则 AC 的取值范围是_________，BA BC 的取值范围是_________. 15 过 y2 2 px(P 0) 的焦点 F 的直线与其交于 A, B 两点， AF 2 BF 2 ,则 p =_______
a 的最小值为
A. e
B. e 2
C. e
D. 2e
非选择题部分（共 110 分）
()
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. 成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”
问题，题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭
A.8
B.6
C.4
D.2
3. 函数 f (x) x | x a | b 是奇函数的充要条件是
（）
A. ab=1
Ba+b=0
C.a=b
D. a2 b2 0
4.
若复数
a 3i 1 2i
(a
R,
i为复数单位）是纯虚数，则实数
a
的值为
A. -6
B.6
C.4
D.3
（）
5. 设 a,b, c 是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立的是 （ ）
一项是符合题目要求的。 1.设集合 A {1,2,3}, B {2,3,4}, C {3,4,5} ，则 ( A B) (B C) （ ）
A.{1,2,3}
B.{2,3,4}
C.{3,4,5}
D.{3}
2. 已知等差数列 an的公差为 2，若前 17 项和为 S17 34 ，则 a12 （ ）
22. 本题满分15分已知函数 f x 1 ln x
x
(Ⅰ)如果当 x 1时，不等式 f x a 恒成立，求实数 a 的取值范围
1 x
1
1
1
(Ⅱ)求证： e 212 1 e 222 1 ........ e 2n2 1 n 2 n∈ N *
16. 有 5 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每个匣子内各放入一把钥
匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能相继用钥匙打开其余 4 个匣子，那么钥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
匙的放法有_______种。
17. 数列 an满足 a1 1, an1 an2 can 1，若 an是单调递增，则实数 c 的取值范围是________
19. 本题满分15分甲、乙、丙三名乒乓球手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，
每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 3 ，丙胜甲的概率为 3 ，
5
4
乙胜丙的概率为 p ，且各场比赛结果互不影响，若甲获第一名且乙获第三名的概率为 1 。 10
(Ⅰ)求 p 的值
3 其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高
台体的体积公式
V
=
1 3
(S
A
+
SASB + SB )h
柱体的体积公式
其中 SA, SB 分别表示台体的上、下底面积
V = Sh
h 表示台体的高
其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高
选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
2019 年杭州二中高考热身考数学答案(5 月)
(Ⅱ)设在该次对抗比赛中，丙得分为 X ,求 X 的分布列、数学期望和方差。
20. 本题满分15分在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， DAB 60, PC 面ABCD
且 AB 2, PC 6, F是PA的中点 (Ⅰ)求证: CF 面PDB (Ⅱ)求平面 ADP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值。
如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生
k 次的概率 Pn ( X = k) = Cnk pk (1- p)n-k (k = 0,1, 2,…, n)
球的表面积公式 S = 4p R2
球的体积公式 V = 4 p R3
3 其中 R 表示球的半径
锥体的体积公式 V = 1 Sh
B. 3
C. 3 1
D.2
2
7.
设
,
2
,
2
，且 sin
cos
cos
sin
1 ，则 sin
sin
的取值范围是（
）
A. 2, 2
B. 1, 2
C. 0, 2
D. 1, 2
8. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 本题满分14分已知函数 f (x) sin2 x
3 sin x cos x
4
44
(Ⅰ)求 f (x) 的最大值及此时 x 的值
(Ⅱ)求 f (1) f (2) f (2019) 的值
长各几何？”题意是：有一个正方形池塘，边长为一丈（10 尺），有棵芦苇长在它的正中央，
高出水面部分有 1 尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），
则水深为_____尺，芦苇长_______尺。
12.
x
1 2x2
6
的展开式中常数项为________,二项式系数最大的项系数为__________.
2019 年杭州二中高考热身考数学试卷(5 月)
本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 请考生按规定将所有试题答案写在答题卷的相应位置。 参考公式：
如果事件 A, B 互斥，那么 P( A + B) = P( A) + P(B)
如果事件 A, B 相互独立，那么 P( A× B) = P( A)× P(B)
A. a b a c b c
C. a
b
a
1
b
2
B.a 2
1 a2
a
1 a
D. a 3 a 1 a 2 a
6.
双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0) 上存在一点
P，与坐标原点
O，右焦点 F2 构成正三角形，则双
曲线的离心率为
（）
A. 5 1
外接球半径为了
（）
A. 1 2
B. 3 16
C. 17 4
D. 17 4
9. 平面向量 a,b 满足：1 a 2,1 a b 3,1 a b 2 ，则 b 的最大值为
()
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
10.已知不等式 x a ln x
1 ex
xa 对 x (1,) 恒成立，则实数