matlab最短路径
matlab的floyd算法
matlab的floyd算法Floyd算法，是一种图论算法，用于在加权图中求解最短路径。
它是以发明者之一、罗伯特·弗洛伊德的名字命名的。
这个算法同样被用于对于任意两点之间的最长路径（所谓的最短路径问题）进行求解。
算法描述给定一个带权的有向图G=(V,E)，其权值函数为w，下面我们定义从顶点i到顶点j的路径经过的最大权值为dist(i,j)。
特别地，当i=j时，dist(i,j)=0。
为了方便描述算法，我们用D(k,i,j)表示从顶点i到顶点j且路径中的所有顶点都在集合{1,2,⋯,k}中的所有路径中，最大边权值的最小值。
则从顶点i到顶点j的最短路径的边权值就是 D(n,i,j)，其中n是图中顶点的数量。
算法思想：建立中间顶点集合算法是通过不断地扩充中间顶点集合S，来求解任意两点之间的最短路径。
具体来说，设S={1, 2, ⋯, k}，其中k是整数。
Floyd算法的基本思想是，依次考察所有可能的中间顶点x（即所有S中的顶点），对于每个中间顶点x，若从i到x再到j的路径比已知的路径更短，则更新dist(i,j)为更小的值D(k,i,j)。
最终，在S={1, 2, ⋯, n}的情况下，所得到的D(n,i,j)就是顶点i到顶点j之间的最短路径的长度。
Floyd算法的核心是一个三重循环，在每一轮循环中，枚举S中所有的中间顶点x，通过动态规划计算出从i到j的最短路径长度D(k,i,j)。
这一过程可表述为：for k = 1 to nfor i = 1 to nfor j = 1 to nif D(k,i)+D(j,k) < D(k,i,j)D(k,i,j) = D(k,i)+D(j,k)其中D(0,i,j)即为dist(i,j)，若i和j不连通，则D(0,i,j)=+Inf。
算法实现function D = Floyd(adjmat)% adjmat为邻接矩阵邻接矩阵adjmat的定义为：- 若两个顶点之间有边相连，则对应位置为该边的边权值；- 若两个顶点之间没有边相连，则对应位置为0。
最短路径法射线追踪的MATLAB实现
最短路径法射线追踪的MATLAB 实现李志辉 刘争平（西南交通大学土木工程学院 成都 610031）摘 要：本文探讨了在MA TLAB 环境中实现最短路径射线追踪的方法和步骤，并通过数值模拟演示了所编程序在射线追踪正演计算中的应用。
关键词：最短路径法 射线追踪 MATLAB 数值模拟利用地震初至波确定近地表介质结构，在矿产资源的勘探开发及工程建设中有重要作用。
地震射线追踪方法是研究地震波传播的有效工具，目前常用的方法主要有有限差分解程函方程法和最小路径法。
最短路径方法起源于网络理论，首次由Nakanishi 和Yamaguchi 应用域地震射线追踪中。
Moser 以及Klimes 和Kvasnicha 对最短路径方法进行了详细研究。
通过科技人员的不断研究，最短路径方法目前已发展较为成熟，其基本算法的计算程序也较为固定。
被称作是第四代计算机语言的MA TLAB 语言，利用其丰富的函数资源把编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。
MA TLAB 用更直观的、符合人们思维习惯的代码，为用户提供了直观、简洁的程序开发环境。
本文介绍运用Matlab 实现最短路径法的方法和步骤，便于科研院校教学中讲授、演示和理解最短路径方法及其应用。
1 最短路径法射线追踪方法原理最短路径法的基础是Fermat 原理及图论中的最短路径理论。
其基本思路是，对实际介质进行离散化，将这个介质剖分成一系列小单元，在单元边界上设置若干节点，并将彼此向量的节点相连构成一个网络。
网络中，速度场分布在离散的节点上。
相邻节点之间的旅行时为他们之间欧氏距离与其平均慢度之积。
将波阵面看成式由有限个离散点次级源组成，对于某个次级源（即某个网格节点），选取与其所有相邻的点（邻域点）组成计算网格点；由一个源点出发，计算出从源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；然后把除震源之外的所有网格点相继当作次级源，选取该节点相应的计算网格点，计算出从次级源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；将每次计算出来的走时加上从震源到次级源的走时，作为震源点到该网格节点的走时，记录下相应的射线路径位置及射线长度。
matlab避障最短路径
matlab避障最短路径一、引言随着机器人技术的发展，自动化导航成为一个重要的研究领域。
在许多应用中，机器人需要通过复杂的环境中，避开障碍物并找到最短路径。
Matlab作为一种强大的数学计算工具，为我们提供了实现这一目标的丰富功能和工具。
二、建立环境模型在开始编写避障算法之前，首先需要建立机器人所在环境的模型。
可以使用Matlab的图形界面工具来实现，也可以通过编程方式来创建。
这里我们选择使用编程方式来建立环境模型。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示环境模型。
假设我们的环境是一个网格，每个网格可以是空地、障碍物或起点/终点。
我们可以用不同的数值来表示不同的状态，例如0表示空地，1表示障碍物，2表示起点，3表示终点。
三、编写避障算法在建立环境模型之后，我们可以开始编写避障算法了。
这里我们使用A*算法来寻找最短路径。
A*算法是一种常用的启发式搜索算法，它通过估计当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点，从而找到一条最短路径。
具体来说，A*算法通过维护一个开放列表和一个关闭列表来搜索最短路径。
初始时，将起点加入开放列表。
然后，重复以下步骤直到找到终点或开放列表为空：1. 从开放列表中选择代价最小的节点作为当前节点。
2. 如果当前节点是终点，搜索结束，返回最短路径。
3. 否则，将当前节点加入关闭列表，并计算其相邻节点的代价。
4. 对于每个相邻节点，如果它不在关闭列表中并且不是障碍物，则更新其代价，并将其加入开放列表。
四、Matlab实现在Matlab中，可以使用自定义函数来实现A*算法。
下面是一个简单的示例代码：```matlabfunction path = astar(start, goal, map)% 初始化开放列表和关闭列表openList = start;closeList = [];% 初始化起点的代价为0start.g = 0;while ~isempty(openList)% 选择开放列表中代价最小的节点作为当前节点[~, index] = min([openList.f]);current = openList(index);% 如果当前节点是终点，搜索结束if current == goalpath = reconstructPath(current);return;end% 将当前节点加入关闭列表closeList = [closeList, current];openList(index) = [];% 对当前节点的相邻节点进行处理neighbors = findNeighbors(current, map);for i = 1:length(neighbors)neighbor = neighbors(i);% 如果相邻节点在关闭列表中或是障碍物，跳过if ismember(neighbor, closeList) || map(neighbor) == 1continue;end% 计算相邻节点的代价g = current.g + 1;h = heuristic(neighbor, goal);f =g + h;% 如果相邻节点不在开放列表中，或其代价更小if ~ismember(neighbor, openList) || g < neighbor.gneighbor.g = g;neighbor.f = f;neighbor.parent = current;% 如果相邻节点不在开放列表中，加入if ~ismember(neighbor, openList)openList = [openList, neighbor];endendendend% 如果开放列表为空，搜索失败error('No path found.');endfunction path = reconstructPath(node)path = [];while ~isempty(node.parent)path = [node, path];node = node.parent;endendfunction neighbors = findNeighbors(node, map)% 根据当前节点的位置和地图大小，找到相邻节点[row, col] = size(map);neighbors = [];% 上方节点if node.row > 1neighbors = [neighbors, struct('row', node.row-1, 'col', node.col)];end% 下方节点if node.row < rowneighbors = [neighbors, struct('row', node.row+1, 'col', node.col)];end% 左方节点if node.col > 1neighbors = [neighbors, struct('row', node.row, 'col', node.col-1)];end% 右方节点if node.col < colneighbors = [neighbors, struct('row', node.row, 'col', node.col+1)];endendfunction h = heuristic(node, goal)% 使用曼哈顿距离作为启发函数h = abs(node.row-goal.row) + abs(node.col-goal.col);end```以上代码实现了A*算法，并提供了辅助函数来计算相邻节点、启发函数和重构最短路径。
matlab弗洛伊德算法求出最短距离
最短路径Floyd算法
Floyd算法是一种用于解决最短路径问题的动态规划算法，其时间复杂度为O(n^3 )。
Floyd算法可以求出任意两点之间的最短路径，并且可以处理负权边（但不能处理负权环）。
算法思想
Floyd算法的基本思想是：对于图中的每一对顶点i和j，看看是否存在一个顶点k，使得从i 到k 再到j 比已知的路径更短。
如果是更短的，就修改当前路径为更短的那个路径。
算法步骤
1.初始化：将图中任意两点之间的最短路径长度初始化为它们之间的权值，如果两点之间没有直接的边，则权值为∞。
2.对于每一个中间节点k，依次考察所有的节点对(i,j)，如果从i到j经过节点k比原来的路径更短，则更新最短路径长度。
3.最后得到的矩阵即为任意两点之间的最短路径长度。
Matlab代码
function [D,P] = floyd(W)
% W为邻接矩阵
% D为最短距离矩阵
% P为最短路径矩阵
n = size(W,1);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if W(i,k)+W(k,j)<W(i,j)
W(i,j)=W(i,k)+W(k,j);
P(i,j)=k;
end
end
end
end。
ART算法MATLAB程序
ART算法MATLAB程序
Dijkstra贪婪算法是一种解决最短路径问题的算法，它通过一次搜索查找出从源点到目的点的最短路径，是一种可以用多种步骤解决
最短路径问题的算法。
而UMK实用快速路算法（UMKUART）是一种基于图结构的技术，
是建立在Dijkstra贪婪算法基础上的一种改进的算法。
它的核心思想
是借助一个“虚拟源点”去完成对整个地图的最短路径的搜索，而不
是从一个实际的源点出发。
将虚拟源点看作是源点，虚拟源点到所有
实际源点的虚拟距离都设置为1。
UMKUART算法利用减枝技术，对所有
图中结节进行迭代，计算所有源点到其他源点的最短距离，最终求得
最短路径。
MATLAB是一种高级编程语言，专为科学计算而开发，用于处理非线性问题和大规模数值分析。
MATLAB可以使用UMKUART算法求解最短
路径问题。
具体而言，首先，建立相应的图结构，以及图中的节点和
路径的关系，接着使用MATLAB语句umkuart函数，获得从源点到目的
点的最短路径，最后将路径中所有节点依次连接起来就可以得到最短
路径。
使用MATLAB程序，可以将UMKUART算法运用到最短路径问题中，求解出最短路径，减少了路径搜索所需的时间和空间，极大的提高了
最短路径问题的解决效率。
MATLAB解决最短路径问题代码
默认是Dijkstra 算法是有权的, 我想如果把权都赋1的话, 就相当于没权的了参数是带权的稀疏矩阵及结点看看这两个例子(一个有向一个无向), 或许你能找到你想知道的% Create a directed graph with 6 nodes and 11 edgesW = [.41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21]; %这是权DG = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],W) %有权的有向图h = view(biograph(DG,[],'ShowWeights','on')) %画图, 这个好玩% Find shortest path from 1 to 6[dist,path,pred] = graphshortestpath(DG,1,6) %找顶点1到6的最短路径% Mark the nodes and edges of the shortest pathset(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4]) %上色edges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID'));set(edges,'LineColor',[1 0 0]) %上色set(edges,'LineWidth',1.5) %上色下面是无向图的例子% % Solving the previous problem for an undirected graph% UG = tril(DG + DG')% h = view(biograph(UG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) % % Find the shortest path between node 1 and 6% [dist,path,pred] = graphshortestpath(UG,1,6,'directed',false)% % Mark the nodes and edges of the shortest path% set(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4])% fowEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID'));% revEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(fliplr(path)),'ID')); % edges = [fowEdges;revEdges];% set(edges,'LineColor',[1 0 0])% set(edges,'LineWidth',1.5)clc;close all; clear;load data;% global quyu;quyu = [2,3];%一片区域z_jl = lxjl(jdxx,lxxh);%计算路线的距离z = qyxz(jdxx,quyu,z_jl);% 根据节点信息，从z中将y区域的节点和路线选出所有点的信息hzlx(z);%绘制Z的图像[qypt, nqypt] = ptxzm(xjpt,quyu);changdu = length(bhxz(jdxx,1:6));%选出x中y区的标号,只是分区域，求长度并绘制它tt = z(:,[1,2,end])';k = min(min(tt(1:2,:)));%求两次最小值t = tt(1:2,:) ;xsjz = sparse(t(2,:),t(1,:),tt(3,:),changdu,changdu);%产生稀疏矩阵[dist, path, pred] = zdljxz(xsjz, qypt, k );%三个原包矩阵通过zdljxz计算得到最短路径hold onfor j = 1:nqyptcolors = rand(1,3);%产生随机数并用颜色标记hzptxc(path{j},jdxx,colors)endhold offaxis equal%把坐标轴单位设为相等zjd = jdfgd( path, quyu);function z = lxjl(x, y)%计算路线的距离[m n] = size(y);for i = 1:myy(i,1:2) = x(y(i,1),2:3);yy(i,3:4) = x(y(i,2),2:3);endz = sqrt((yy(:,3) - yy(:,1)).^2 + (yy(:,2) - yy(:,4)).^2);y = sort(y');y = y';z = [y yy z];z = sortrows(z);function [z lz] = ptxz(xjpt,y)pt = xjpt(:,2);wei = ismember(xjpt(:,1),y);z = pt(wei);lz = length(z);unction hzptxc(path,jdxx,colors)n = length(path);% hold onfor i = 1:nhzptjd(jdxx, path{i},colors)end% hold offunction hzptjd(jdxx,x,colors)% m = length(x);% x = x';hold onplot(jdxx(x,2),jdxx(x,3),'o','LineStyle' ,'-' ,...'Color',colors,'MarkerEdgeColor',colors)plot(jdxx(x(1),2),jdxx(x(1),3),'*','MarkerFaceColor',colors)hold offfunction hzlx(x)%绘制x的图像[m n] = size(x);hold onfor i = 1:mplot([x(i,3) x(i,5)],[x(i,4) x(i,6)],'k:')endhold offfunction z = bhxz(x,y)%选出x中y区的标号,只是分区域xzq = x(:,4);xzr = ismember(xzq,y);z = x(xzr,:);z = z(:,1);。
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
matlab实现dijkstra算法
matlab实现dijkstra算法Matlab实现Dijkstra算法第一段：什么是Dijkstra算法，为什么它重要？Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1956年提出，被广泛应用于网络路由、地图导航和图论等领域。
该算法的核心思想是在给定的带权图中找到从起点到终点的最短路径，通过迭代的方式逐步推进，直到找到最短路径或处理完所有节点。
Dijkstra算法被广泛认为是一种高效、可靠的解决方案，具有良好的理论基础和实际应用性。
第二段：如何在Matlab中实现Dijkstra算法？在Matlab中实现Dijkstra算法，可以分为以下几个步骤：1. 创建带权图：我们需要将问题转化为带权图的形式。
在Matlab中，可以使用邻接矩阵来表示图的连接关系，其中每个边的权重存储在矩阵中的对应位置。
2. 初始化距离和路径：将起点到每个节点的距离初始化为无穷大，并为每个节点设置一个空路径。
将起点的距离设置为0，表示起点到自身的距离为0。
3. 遍历节点：循环遍历所有节点，找到距离起点最近的节点，并标记为已访问。
更新与该节点相邻节点的距离和路径信息。
如果经过当前节点到达某个相邻节点的距离更短，则更新该节点的距离和路径。
4. 重复步骤3，直到所有节点都被遍历为止。
这样，我们就能得到从起点到其他节点的最短路径信息。
第三段：个人观点和理解Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一，它具有广泛的应用价值。
在日常生活中，我们经常需要找到最佳的路径规划，例如快递员送货时选择最短路径、地铁或公交车乘客选择最快到达目的地的路线等。
对于这些问题，Dijkstra算法可以提供一个可靠、高效的解决方案。
在使用Matlab实现Dijkstra算法时，我们可以利用Matlab强大的矩阵运算能力和易用的函数库来简化算法的实现过程。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以帮助我们直观地展示算法执行过程和结果。
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最短路径算法
Floyd算法程序的使用说明： 算法程序的使用说明：
1. [D, path]=floyd(a), 返回矩阵D, path 。其中a是所求 返回矩阵D, 其中a 图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示 表示i 的最短距离; 图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距离; path(i,j)表示 path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点. 表示i 之间的最短路径上顶点i的后继点. 2. [D, path, min1, path1]= floyd(a,i,j) 返回矩阵D, path; 返回矩阵D, 并返回i 之间的最短距离min1和最短路径 和最短路径path1. 并返回i与j之间的最短距离min1和最短路径path1.
算法思路： 算法思路： 采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v 为根的最短路树, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径. 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.
Dijkstra算法 Dijkstra算法——算法步骤 算法——
3 5 9 9
3 6
5 6 2 3
4
8 1 7 7 8
8
1
12
5 10 11
9
7 2 10
2
5
最短路径算法
Dijkstra算法 Dijkstra算法
使用范围: 使用范围:
1) 2) 3)
2
3
3
8 1 7 7 8
8
5 6 2 9 3 7 9 9 2
5 4 6 1
10
1 5 12 11 0 2
寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 有向图、无向图和混合图; 有向图、无向图和混合图; 权非负. 权非负.
13
引例1 Matlab求解 引例1的Matlab求解
edge= [ 2,3,1,3,3,5,4, 4,1,7,6,6,5, 5,11, 1,8,6,9,10,8,9, 9,10;... 3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11, 5, 8,1,9,5,11,9,8,10,9;... 3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7, 2, 9,9, 2, 2]; n=11; weight=inf*ones(n, n); for i=1:n weight(i, i)=0; end for i=1:size(edge,2) end [dis, path]=dijkstra(weight, 1, 11)
MATLAB程序（Floyd算法 MATLAB程序（Floyd算法） 算法） 程序
function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal) D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n); for i=1:n if nargin==3 for j=1:n min1=D(start,terminal); if D(i,j)~=inf m(1)=start; path(i,j)=j; i=1; end, end, end path1=[ ]; for k=1:n while path(m(i),terminal)~=terminal for i=1:n k=i+1; for j=1:n m(k)=path(m(i),terminal); if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) i=i+1; D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); end path(i,j)=path(i,k); m(i+1)=terminal; end, end, end,end path1=m; end
引例1 引例1：最短运输路线问题
如图的交通网络， 如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行 驶所需的时间，有向边表示单行道， 驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向 行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点， 11号顶点 行驶。若有一批货物要从1 号顶点运往11号顶点 ， 问运 货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 2
更新l(v), f(v) 更新 寻找不在S中的顶点 使 为最小.把 加入到 加入到S中 寻找不在 中的顶点u,使l(u)为最小 把u加入到 中, 中的顶点 为最小 然后对所有不在S中的顶点 如 然后对所有不在 中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则 中的顶点 则 更新l(v),f(v), 即 l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u; 更新 ← ←
14
2 8 1 7 7 8
3 5 9 9
3 6 3 9 25 6 Nhomakorabea4 1 5
12 10 11 2
8 weight(edge(1, i), edge(2, i))=edge(3, i);
7 2 10
引例1 引例1的求解
运行上页程序输出： 运行上页程序输出： dis = 21 path = 1 8 9 10 11
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明： 算法程序的使用说明：
调用格式为 [min,path]=dijkstra(w,start,terminal), 其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵， 其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵，start, terminal分别为路径的起点和终点的号码 返回start terminal分别为路径的起点和终点的号码。返回start 分别为路径的起点和终点的号码。 terminal的最短路径 的最短路径path及其长度 及其长度min. 到terminal的最短路径path及其长度min. 注意：顶点的编号从1开始连续编号。 注意：顶点的编号从1开始连续编号。
[D, path]=floyd(a)
运行便可输出结果。 运行便可输出结果。
0 50 ∞ 40 25 10
4
最短路径问题
定义： 是加权图G中从 的路径,则该路 定义：设P(u,v)是加权图 中从 到v的路径 则该路 是加权图 中从u到 的路径 径上的边权之和称为该路径的权,记为 径上的边权之和称为该路径的权 记为w(P). 从u到v 到 记为 的路径中权最小者 P*(u,v)称为 到v的最短路径 称为u到 的最短路径 的最短路径. 称为 2
S: 具有永久标号的顶点集 具有永久标号的顶点集; l(v): v的标记 f(v):v的父顶点 用以确定最短路径 的标记; 的父顶点,用以确定最短路径 的标记 的父顶点 用以确定最短路径; 输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm. 输入加权图的带权邻接矩阵
1) 2)
初始化
Φ∀ ≠ ∞ 令l(v0)=0,S=Φ;∀ v≠v0 ,l(v)=∞;
3)
重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止 中为止. 重复步骤 直到所有顶点都在 中为止
MATLAB程序（Dijkstra算法 MATLAB程序（Dijkstra算法） 算法） 程序
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:n min=label(terminal); if i~=start path(1)=terminal; label(i)=inf; i=1; end, end s(1)=start; u=start; while path(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); while length(s)<n i=i+1 ; for i=1:n ③ end ins=0; ① for j=1:length(s) path(i)=start; L=length(path); if i==s(j) path=path(L:path=path(L:-1:1); ins=1; end, end if ins==0 v=i; if label(v)>(label(u)+w(u,v)) label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u; end, end, end v1=0; k=inf; ② for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if k>label(v) k=label(v); v1=v; end, end, end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end
3 5 9 9
3 6
5 6 2 3
4
8 1 7 7 8
8
1
12
5 10 11
9
7 2 10
2
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引例2 引例2：最廉价航费表的制定
某公司在六个城市C 某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司， 都有分公司， 公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci Ci到 公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航 班票价由下述矩阵的第i 列元素给出（ 班票价由下述矩阵的第 i 行 ， 第 j 列元素给出 （ ∞ 表示无 直达航班） 直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最 廉价路线航费表。 廉价路线航费表。 0 50 ∞ 40 25 10 50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 10 20 ∞ 40 20 10 0 10 25 25 ∞ 20 10 0 55 10 25 ∞ 25 55 0
Floyd算法 Floyd算法——算法步骤 算法——
d(i,j) : i到j的距离 的距离; 到 的距离 path(i,j): i到j的路径上 的后继点 的路径上i的后继点 到 的路径上 的后继点; 输入带权邻接矩阵a(i,j). 输入带权邻接矩阵 1）赋初值 ） 对所有i,j, d(i,j)←a(i,j) , path(i,j)←j,k=l. 对所有 ← ← 2）更新d(i,j) , path(i,j) ）更新 对所有i,j, 对所有 若d(i,k)+d(k,j)<d(i,j),则 则 d(i,j)←d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)←path(i,k) , k ←k+1 ← ← 3）重复2)直到 ）重复 直到 直到k=n+1