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f (x) 的图象经过点
π，2 ．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）求 f ( x) 的最小正周 4
期；（ 3）求 f (x) 在 [0， ] 上的单调 增 区间． 2
解：（ 1） f (x) a b m(1 sin 2x) cos2x ，
……………… 3 分
∵图象经过点 π，2 ， 4
∴ f π m 1 sin π cos π 2 ，解得 m 1．
19． ( 本小题满分 16 分 ) 已知数列 an 的首项 a1 3 ， an 1 3an , n 1,2, ．
5
2an 1
（ 1）求证：数列
1 1 为等比数列； (2) 记 Sn 1 1
an
a1 a2
1 ， 若 Sn 100 ，求最大正
an
整数 n ．
（ 3）是否存在互不相等的正整数 m, s, n ，使 m, s, n 成等差数列且 am 1,as 1,an 1 成等
▲．
3．若命题“ x R ，使得 x2 ( a 1) x 1 0 ”为假命题，则实数 a 的范围
▲． 4 ．某算法的程序框图如图，若输入
a 4, b 2, c 6 ，则输出的结果为
▲．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段
长度 2 倍”的概率为 ▲ ．
6．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 角 A 的大小为 ▲ ．
12．已知函数 f ( x)
log 2( x 1), x 0,
x2
2x,
x
若函数 g( x) 0.
f ( x) m 有 3 个零点，则实数 m
的取值范围是
(0,1)
．
13．当 0
x
1 时， | ax
2x 3 |
1
恒成立，则实数
a 的取值为
2
2
14．已知 ABC 三边 a， b，c 的长都是整数，且 a ≤ b ≤ c ，如果 b
18． ( 本小题满分 16 分 ) 已知圆 C： x2 y2 2 x 4 y 3 0 ；
（1）若圆 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）从圆 C 外一点 P( x1, y1 ) 向圆引一条切线，切点为
使|PM| 最小的 P 点的坐标．
M ， O 为原点，且有 |PM|=|PO|，求
（ 2）若 x 0 使 f (x) 0 成立，求实数 m 的取值范围； （ 3）设 1 m e ， H (x) f ( x) ( m 1) x ，
证明：对 x1、 x2 [1, m] ，恒有 | H ( x1 ) H ( x2 ) | 1 ．
江苏省无锡市天一中学 2018 届高三 4 月月考（数学）
合条件的三角形共有
m(m 1) 2
个（结果用 m 表示）．
1
3
a
．
2
2
m (m N * ) ，则符
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．( 本小题满分 14 分 ) 设函数 f ( x) a·b ，其中向量 a (m, cos 2x) ，b (1 sin 2 x,1) ，
x R，且 y
18． ( 本小题满分 16 分 ) 已知圆 C： x2 y2 2 x 4 y 3 0 ；
（1）若圆 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）若圆 Q 与圆 C 关于直线 x y 3 0 对称，求圆 Q 的方程；
（3）从圆 C 外一点 P( x1, y1 ) 向圆引一条切线，切点为
．
12．已知函数 f ( x)
log 2( x 1), x 0,
x2
2x,
x
若函数 g( x) 0.
f ( x) m 有 3 个零点，则实数 m
的取值范围是
▲
．
13．当 0
x
1 时， | ax
2x 3 |
1
恒成立，则实数
a 的取值范围为
2
2
14．已知 ABC 三边 a， b，c 的长都是整数，且 a ≤ b ≤ c ，如果 b
17． （本小题满分 14 分） 如图，在半径为 30cm 的半圆形（ O 为圆心）铝皮上截取一块矩 形材料 ABCD ，其中点 A 、 B 在直径上，点 C、 D 在圆周上。 （1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积； （2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁 和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．
又 ∵ |PM|=|PO| ， 坐 标 代 入 化 简 得
--------10 分 2x1 － 4y1 ＋
3=0．
----------------------12 分
|PM|最小时即 |PO|最小，而 |PO|最小即 P 点到直线 2x1－ 4y1＋ 3=0 的距离，即 3 5 ．----13 分 10
( 1,3) ．
4 ．某算法的程序框图如图，若输入
a 4, b 2, c 6 ，则输出的结果为
6．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段
长度 2 倍”的概率为
2
．
3
6．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 1 tan A 2c ，则 tan B b
角 A 的大小为
．
3
7．已知 | a |=3， | b |=4， ( a + b ) ( a +3 b )=33 ，则 a 与 b 的夹角为
8．已知双曲线
C: x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右顶点、右焦点分别为
的左准线与 x 轴的交点为 B，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线
120 ． A、 F，它
使|PM| 最小的 P 点的坐标． 解：（ 1）∵切线在 x 轴， y 轴上的截距相等，
M ， O 为原点，且有 |PM|=|PO|，求
∴第一种情况：切线的斜率是
±1．
----------------------1 分
分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：
x＋ y－ 3=0, x ＋ y＋ 1=0, ----------------------2 分 ∴第二种情况：切线经过原点（
为▲．
9．已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2—7n, 且满足 16＜ ak+ak+1＜ 22, 则正整数
k= ▲ ．
10．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，四面体 ACB1 D1 的体积为
▲．
11．曲线 y x3 ax 1 的一条切线方程为 y 2 x 1 ，则实数 a= ▲
C 的离心率
为 21 ．
9．已知数列
an
的前
n
项和
Sn=
2
n
—7n,且Fra bibliotek足16＜ak+ak+1＜ 22, 则正整数
k=
8
．
10．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，四面体 ACB1 D1 的体积为
1
．
3
11．曲线 y x3 ax 1 的一条切线方程为 y 2 x 1 ，则实数 a= 2 ．
合条件的三角形共有
▲
个（结果用 m 表示）．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
▲
．
m (m N * ) ，则符
15．( 本小题满分 14 分 ) 设函数 f ( x) a·b ，其中向量 a (m, cos 2x) ，b (1 sin 2 x,1) ，
x R，且 y f ( x) 的图象经过点 π，2 ．（ 1）求实数 m 的值； （2）求 f (x) 4
4
2
2
……………… 5 分
（2）当 m 1时， f (x) 1 sin 2x cos 2x
2 sin 2 x π 1， ……………… 7 分 4
∴T 2 2
（3） x [ 0, ] , 2x [0, ] , ∴ 2x
5 [, ]
2
4 44
……………… 9 分 ……………… 11 分
由 2x
,得
4
42
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1 ． 设 集 合 A { x x 2 x 12 0}, B { x 2 x 0} ， 则 A B
（2,3） ．2．如果复数 ( m2 i )(1 mi ) 是实数，则实数 m
－1 ．
3．若命题“ x R ，使得 x2 ( a 1) x 1 0 ”为假命题，则实数 a 的范围
0,0 ）．
----------------------3 分
设此时切线斜率为 k，直线为 kx-y=0 ，用点到直线的距离公式
可求得 k 2 6 ，解得切线方程 (2 6 )x y 0
----------------------5 分
综 上 ， 此 圆 截 距 相 等 的 切 线 方 程 为 x ＋ y － 3=0, x ＋ y ＋ 1=0, (2 6 )x y 0 .
0x 8
……………… 13 分
∴ f ( x) 在 [0 ， ] 上的单调增区间为 [ 0, ] .
2
8
……………… 14 分
16． ( 本小题满分 14 分) 如图，平行四边形 ABCD 中， BD CD ，
正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直， H 是 BE 的中点， G 是
AE, DF 的交点 .
从而解方程组
x12 y12
9 20 ，