2020年高考数学一轮复习专题7.2二项式定理练习(含解析)
第二讲 二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.考向一 通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为 。
（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 。
（4）展开式中x 2的系数为 。
【答案】（1）10 （2）-20 （3）30 （4）-1280【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【解析】（1）T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r＝25－r C r5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10（2）∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.（3）法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30. 法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.（4）根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为： 化简得到-1280 x 2【举一反三】1．展开式中项的系数是（ ）A ．270B ．180C ．90D ．45【答案】A 【解析】∵，∴展开式中项的系数为 270， 故选：A ．【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出2．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．112【答案】A【解析】因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A 3．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，含项的系数为.故选：B4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26【答案】B【解析】展开式中的系数中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项中的与展开式中项相乘，所以的系数是，故选B项.考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【解析】根据所给的等式求得常数项，令，则在所给的等式中，令，可得： ①令，则 ②用①②再除以可得用①②再除以可得在中，令，可得【举一反三】【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中1x的系数与x 的系数的和.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x5－2k·(－1)k.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.2．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（ ）. A ．4 B ．8C ．12D ．11【答案】D【解析】 当x ＝﹣2时，x +3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a 0+a 1+a 2+…+a 12．∴a 0+a 1+a 2+…+a 12＝…①当x ＝﹣4时，x +3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 12…②上述①②两等式相相减有：a 1+a 3+…+a 11＝（+0）＝，log 2（a 1+a 3+…+a 11）＝．故答案为：D ．3．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】二项式展开式中含项，根据二项式的展式的公式得到，令.此时的系数为故答案为：A.4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于A．B．C．D．【答案】C【解析】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，，故选C。
考向三二项式定理单调性【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A．200 B．110 C．210 D．150【答案】C【解析】由题意，n＝10，令30﹣5r＝0，∴r＝6∴展开式中的常数项为T7＝＝210故选C.【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（）A．10 B．42 C．50 D．182【答案】A【解析】因为的展开式中第4项的二项式系数为，且最大所以n=6所以多项式二项式的展开通项式为所以当k=4时，当k=3时，所以展开式中常数项为故选：A.2．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴最大，n=10；∴展开式的通项公式为令，解得r=2，即展开式中的常数项是第3项．故选：B 3．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.【答案】（1）（2）-【解析】（1）由二项式定理得展开式中第项为，所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，由题意可得，整理得，解得或（舍去），则展开式中二项式系数最大的项是第五项，（2）因为，若该项为有理项，则是整数，又因为，所以或或，所以所有有理项的系数之和为考向四整除【例4】(1)若S＝C127＋C227＋…＋C2727，求S除以9的余数．【答案】7【解析】S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1 ＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.【举一反三】1．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 ()A．0 B．2 C．7 D．0或7【答案】D【解析】79,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.2．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】.故能整除（其中）的是11.故选C .3．除以的余数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，即除以100的余数为41，故选B.4．237除以17，所得余数是（）A．－1 B．－2 C．15 D．16【答案】C【解析】在上述展开式中不能被17整除，即余数为15，故选:C考向五求近似值【例5】_____（小数点后保留三位小数）．【答案】【解析】【套路总结】1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.【举一反三】1.求1.025的近似值．(精确到两位小数)【答案】1.10【解析】1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C15×0.02＋C25×0.022＋…＋C55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【解析】的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.因常数项相等，故，解得，故选A.2．已知二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为A．20 B．C．40 D．【答案】B【解析】由题意得：，即n=6，则该展开式的通项为，令6−2r=0，得r=3，所以该展开式中的常数项为.故选B．3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a n(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)n a n等于A．(3n－1) B．(3n－2) C．(3n－2) D．(3n－1)【答案】D【解析】在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝．故选D.4．若的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意二项式的展开式为，展开式的为，所以，解得，故选D.5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为( )A．11 B．20 C．15 D．16【答案】C【解析】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n，∴n=6．则二项式（x﹣）n=（x﹣）6展开式中的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为=15，故选：C．6．记，则（）A．81 B．365 C．481 D．728【答案】B【解析】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B 7．，则A．B．C．64 D．65【答案】B【解析】，令，可得，再令，，，故选：B．8．已知的展开式中常数项为-40，则的值为（）A．2 B．-2 C．±2 D．4【答案】C【解析】的展开式的通项为x5﹣2r．取5﹣2r＝﹣1，得r＝3，取5﹣2r＝0，得r（舍）．∴的展开式中常数项为，得a＝±2．故选：C．9．的展开式中，的系数为（）A．-10 B．-5C．5 D．0【答案】B【解析】要求的系数，则的展开式中项与相乘，项与-1相乘，的展开式中项为，与相乘得到，的展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为.故选B.10．的展开式的常数项是（）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【解析】，∴展开式的常数项.故选:D.11．多项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵的展开式中各项系数和为3，令x=1,∴（1+a）＝3，解得a＝2．∴＝（+），的展开式中常数项为，含的项的系数为．∴（+）的展开式中项的系数是2×（﹣12）+1×（﹣160）＝﹣184故选：A12．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（ ） A ．3 B ．-3C ．2D ．-2【答案】A【解析】展开式的通项公式为 所以令，此时含的项的系数为，又令，舍去，所以含项的系数为，所以，得.故选A.13．被49除所得的余数是 A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】由题可得，=是正整数）=是正整数）.所以被49整除，所以余数为0.故选B ．14．若n 为正奇数，则112217?7?7?7n n n n n n n C C C ---++++L 被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8 【答案】C【解析】原式()()7181911nnnn n C =+-=-=--()()1112219?9?9?9111n nn n n n n n n C C C ----=-+--+--L ，n 为正奇数， ()11297n--=-=-+，则余数为7，故选C.15．若二项式的展开式中的系数为，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________． 【答案】【解析】由题意，二项式的展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的系数为，解得．令，得，所以展开式中的常数项为．令，得展开式中所有项系数之和为，所以展开式中除常数项外其余各项系数之和为．16．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.【答案】10【解析】令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5．∴的．令，则∴展开式中的二项式系数为故答案为：10．17．设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则___．【答案】7【解析】展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因为所以即：解得：18．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为______．【答案】【解析】由的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以．多项式的通项公式：，其中．考虑展开式中的常数项和含的项：（1）令，则，（2）令，则，故常数项为．故答案为：35．19．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．【答案】4【解析】，，故.20．的展开式中的系数是______.（用数字作答）.【答案】120【解析】由二项式定理可知的系数是：的展开式中的系数是120.21．若的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含项的系数是___【答案】20【解析】当时，的展开式中所有项的系数和为，解得；展开式的通项公式，可得展开式中含项：；即展开式中含项的系数为. 故答案为.22．展开式中的系数为________________【答案】15【解析】因为二项式展开式的通项为，分别令可得，因为是正整数，所以，所以时，；时，，因此展开式中的系数为.故答案为1523．在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是 20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．24．在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】-9【解析】表示三个相乘，所以展开式中含的项有两种情况：（1）从三个选取一个然后取，再从剩余的两个中分别选取，所得结果为；（2）从三个选取两个分别取，再从剩余的一个中选取，所得结果为．综上可得展开式中含的项为．故答案为：．25．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+aa，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，故答案为12．26．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．【答案】【解析】根据定积分的计算，可得，令，则，即的展开式中各项系数和为.27．_____（小数点后保留三位小数）． 【答案】【解析】28．已知2235n n n a +⋅+-能被25整除，则最小值A=_____________________ 【答案】4【解析】 由2235465n n n n a n a +⋅+-=⋅+-，当1n =时， 3123529a a ⨯+-=-，此时()2925a k k Z =-∈，当1k =时， 4a =；当2n ≥时， ()2212223545154(555nn n n n n n n n a n a C C +--⋅+-=⋅++-=+⋅++⋅L151)5415254254n n C n a M n a k a -+⋅++-=⋅++-=+-，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4， 综上可得：正整数a 的值为4.29．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.【答案】（1）（2）-【解析】（1）由二项式定理得展开式中第项为，所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，由题意可得，整理得，解得或（舍去），则展开式中二项式系数最大的项是第五项，（2）因为，若该项为有理项，则是整数，又因为，所以或或，所以所有有理项的系数之和为30．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中的含x2的项．【答案】（1）8；（2）【解析】（1）由题设，得， 即， 解得n ＝8，n ＝1（舍去）．∴ n =8.(2) 依题意，当时，解得，则，故含的项为 31．（1）证明：为偶数（n ∈N *）； （2）证明：大于的最小整数能被整除（n ∈N *）. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）因为， 所以为偶数（n ∈N *）． （2）注意到，则大于的最小正整数必为，记为2k N ， 又因为 而由（1）同理可得必为偶数，记为， 所以，，即能被整除，从而命题得证． 32．(1)设()42340123431x a a x a x a x a x -=++++.①求01234a a a a a ++++；②求024a a a ++；③求1234a a a a +++；(2)求1227272727S C C C =+++L 除以9的余数．【答案】（1）16，256，15；（2）7【解析】(1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16.②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136.③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15.（2）解 S ＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C ×99－C ×98＋…＋C ×9－C －1 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C )－2＝9(C ×98－C ×97＋…＋C －1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S 被9除的余数为7.。
2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理
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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通 项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝ －1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则令得，所以含项的系数为，故选【考点】二项式定理.2.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5【答案】A【解析】(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝22(－1)8＝180.故选A.3.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】Tr＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，Tr＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.4.已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.【答案】1【解析】由Tr＋1＝ (kx2)6－r＝k6－r x2(6－r)，得x8的系数为k4＝15k4，由15k4<120得k4<8，因为k为正整数，所以k＝1.5.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 6.的二项展开式中，的系数等于．【答案】15【解析】,时，,此时的系数等于.【考点】二项式系数7.二项式的展开式中系数最大的项是第项．【答案】9【解析】因为，而组合数中最大，所以展开式中系数最大的是，即第9项.【考点】组合数性质8.若（的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）A．B．12C．D．36【答案】C【解析】展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，所以,那么,与围成的封闭图形区域为,故选C.【考点】1.二项式系数；2.定积分.9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40B．-20C．20D．40【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1. S＝＋＋…＋除以9的余数为()A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9(×98－×97＋…＋)－2.∵×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.2.的二项展开式中，的系数等于．【答案】15【解析】,时，,此时的系数等于.【考点】二项式系数3.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．4.设，若，则（）A．-1B．0C．l D．256【答案】B【解析】，令，则有，又令得，，故．【考点】定积分，二项展开式的系数．)的展开式中含有常数项的最小的n为( )5.使n(n∈N＋A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】T＋1＝3x)n－r＝3n－r xn－r，当T r＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，rn＝5时成立．6.使的展开式中含有常数项的最小的n为( )A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】此二项式之通项为若是常数，则，即．当，1时，，不满足条件；当时,,所以常数项的最小的．7.已知二项式的展开式中第2项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列．（1）求及的值．（2）数列中，，，，求证：能被4整除．【答案】（1），；（2）)证明过程详见解析.【解析】（1）由展开式中第2项为常数项，则可根据二项式展开式的第2项展开式中未知数的指数为0，从而求出的值，将的值代回第2项展式可求出的值；（2）可利用数学归纳法来证明，①当时，，，能被4整除，显然命题成立；②假设当n=k时，能被4整除，即．那么当n =k+1时，===显然是非负整数，能被4整除．由①、②可知，命题对一切都成立．试题解析：（1）， 2分故，，． 4分（2）证明：①当时，，，能被4整除．②假设当n=k时，能被4整除，即，其中p是非负整数．那么当n =k+1时，===显然是非负整数，能被4整除．由①、②可知，命题对一切都成立． 10分【考点】1.二项式定理；2.数学归纳法.8.已知展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大992，则展开式中系数最大的项是第项．【答案】5【解析】各项的系数和令,为,二项式系数和为,所以,解得,设展开式中第项的系数最大，则,, 所以,故是第5项.【考点】二项式展开式的系数与二项式系数9.在(x－)10的展开式中，x6的系数是________．【答案】1890【解析】T＋1＝x10－r(－)r，令10－r＝6，r＝4，T5＝9x6＝1890x6.r10.已知关于的展开式中，二项式系数和等于512，则展开式的系数之和为 .【答案】【解析】因为展开式中二项式系数和等于512，所以因此展开式的系数之和为【考点】二项展开式中二项式系数及项的系数11.已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .【答案】【解析】因为只有第项的二项式系数最大，所以因此展开式的系数之和为【考点】二项式系数性质12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.15. (2x-1)5的展开式x3项的系数是__________.(用数字作答)【答案】80【解析】根据二项式定理可得(2x-1)5的第项展开式为,则n=3时，得到展开式x3项为,所以系数为80，故填80【考点】二项式定理16.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.17.设(1+x)n=a0+a1x+…+anx n,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3【答案】B【解析】令x=1,则(1+1)n=++…+=64.∴n=6.故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.18. (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56C ．112D ．224【答案】C【解析】该二项展开式的通项为T r ＋1＝x 8－r 2r ＝2rx 8－r ，令r ＝2，得T 3＝22x 6＝112x 6，所以x 6的系数是112. 19. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的常数项_________． 【答案】-20 【解析】依题意，，解得，．令得．故常数项为．故填-20【考点】二项式定理 20. 5展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40【答案】C【解析】T r ＋1＝C 5r (x 2)5－rr＝C 5r (－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 52(－2)2＝40.21. 若（其中、为有理数），则 .【答案】169【解析】应用二项式定理把展开化简即可得，．【考点】二项式定理．22. 若4＝a ＋b (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )． A ．36 B ．46 C ．34D ．44【答案】D【解析】二项式的展开式为1＋()1＋()2＋()3＋()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，所以a ＝28，b ＝16，a ＋b ＝28＋16＝44.23. 设(1－x )(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则a 2＝________. 【答案】30【解析】(1＋2x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(2x )k ＝·2k ·x k ，所以x 2的系数为1×·22－·21＝30，即a 2＝30. 24. 若展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ．【答案】4 【解析】展开式的常数项是.【考点】二项式定理.25.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．26.二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是．【答案】70【解析】因为二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，由的展开式中，常数项为，令，，所以，常数项是，答案为.【考点】二项式定理，二项式系数的性质.27.在的展开式中，若第项的系数为，则 .【答案】【解析】由可得.【考点】二项式定理展开式28.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为【答案】－80【解析】由题意可知，，所以n=5，T=，由解得，所以该展开式中含的项的系数为=-80.【考点】二项定理及其性质.29.设函数,则当时,表达式的展开式中常数项为（）A．-15B．20C．-20D．15【答案】C【解析】当时, .所以常数项为.【考点】二项式定理.30.若展开式的常数项是，则常数的值为 .【答案】4【解析】，由,得，所以,解得.【考点】二项式定理.31.求展开式中的常数项．【答案】15【解析】在二项式展开式的通项中，令的指数为0，可求得常数项所在的项数，进而求出常数项.试题解析：展开式的通项公式为，令,得，故该展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.32.在二项式的展开式中，常数项为_________. （用数字作答）【答案】160【解析】通项，令，则，故常数项为.【考点】二项式定理.33.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.【考点】1.二项式定理；2.组合数的计算.34.的展开式中含的项的系数为 (用数字作答).【答案】.【解析】的展开式中第项为，令，解得，故的展开式中含的项的系数为.【考点】二项式定理35.若，则的值为（）A．40B．-40C．80D．-80【答案】B【解析】即，所以，-40，故选B。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。
9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。
二项式定理练习题-含解析
二项式定理练习题一、单选题
A．252B．426
二、多选题
5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）
A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
11C C C r r r n n n
-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2
n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大
D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9。
2020届高三数学一轮复习测试：二项式定理
2020届高三数学一轮复习测试：二项式定理数学试卷〔二项式定理〕时刻：90分钟，总分值：110分一、选择题〔共55分，每题5分〕1. 假设21()(*,100)n x n N n x +∈≤展开式中一定存在常数项，那么n 的最大值为A ．90B ．96C ．99D ．100 2. 假设b a b a ,(2215+＝）＋（为有理数〕，那么a b +=A ．45B ．55C ．70D ．80 3. 假设5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，那么实数a 的值是A ．-2 B. 22 D. 24. 假设多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则A ．9B ．10C ．－9D ．－10 5. 设n x x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。
那么展开式中x 2项的系数为A ．250B ．－250C ．150D ．－150 6. n x x )1(2-的展开式中，常数项为15，那么n =A ．3B ．4C ．5D ．67. 6)12(x x -的展开式中含2x 项的系数是A ．240B ．－240C ．192D ．－192 8. 假设)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为－5，那么n 等于 A ．4 B ．6 C ．8 D ．109. 设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,那么a 0,a 1,…，a 8中奇数的个数为A ．2B ．3C ．4D ．510. 假设多项为+++++++++=+201010991010,)1()1()1(a a x a x a x a a x x 则 8a + =A ．509B ．510C ．511D ．102211. 73)12(x x -的展开式中常数项是 A ．－14 B ．14 C ．－42 D ．42二、填空题〔共55分，每题5分〕12. 假设nx )2(+展开式的二项式系数之和等于64，那么第三项是 。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题57 二项式定理(解析版)
考点57 二项式定理1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为()A.30B.70C.90D.-150【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为T r+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为()A．－27C37B．－81C47C．27C37D．81C47【答案】A【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37×17－3×(－3x)3＝－27C37x3，其系数为－27C37，选A.3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A．－30 B．120C．240 D．420【答案】B【解析】[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C26(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C34×23，x2y2项的系数为C24×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为C26C34×23－C26C24×22＝480－360＝120，故选B.5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是()A.160B.-160C.-20D.20【答案】B【解析】由题意得a=sin xdx=(-cos x)=2.∴二项式为,其展开式的通项为T r+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为()A．10 B．15C ．20D ．21【答案】B【解析】(x ＋y ＋z )4＝[(x ＋y )＋z ]4＝C 04(x ＋y )4＋C 14(x ＋y )3z ＋C 24(x ＋y )2z 2＋C 34(x ＋y )z 3＋C 44z 4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B. 7．(x 2+3y-y 2)7展开式中x 12y 2的系数为( ) A.7B.-7C.42D.-42【答案】B【解析】将(x 2+3y-y 2)7看作7个因式相乘,要得到x 12y 2项,需要7个因式中有6个因式取x 2,1个因式取-y 2,故x 12y 2的系数为×(-1)=-7.8．1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010除以88的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 【答案】B【解析】1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除, ∴余数是1.9．⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25 D ．25【答案】C【解析】⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝⎛⎭⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2⎝⎛⎭⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.10．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中的常数项为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18【答案】B【解析】在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ，该二项展开式的二项式系数之和为2n ，∴B ＝2n ，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9，故选B. 11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x 2y 3z 2的项的系数为( ) A.-30 B.120 C.240 D.420【答案】B【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z 2的项为(x-y)(x+2y)4z 2=z 2[x(x+2y)4-y(x+2y)4], ∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x 2y 3的项为xx(2y)3-yx 2(2y)2=8x 2y 3, ∴含x 2y 3z 2的项的系数为×8=15×8=120,故选B. 12．若a 0x 2 016+a 1x 2 015(1-x)+a 2x 2 014(1-x)2+…+a 2 016(1-x)2 016=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 2 016的值为( ) A.1 B.0 C.22 016 D.22 015 【答案】C【解析】1=[x+(1-x)]2 016=x 2 016+x 2 015(1-x)+…+(1-x)2 016, ∴a 0+a 1+…+a 2 016=++…+=22 016,故选C.13．在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________. 【答案】－2 【解析】⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a 5－4＝－10，解得a ＝－2. 14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x 2的系数为 . 【答案】-6【解析】∵展开式中x 2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0, ∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6. 15．若(x －1)5＝a 5(x ＋1)5＋a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 【答案】31【解析】令x ＝－1可得a 0＝－32.令x ＝0可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝－1＋32＝31.16．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________． 【答案】120【解析】在⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n 项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= . 【答案】120【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=x r ,(1+y)4展开式的通项公式为=y h , ∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h . ∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.18．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________. 【答案】8【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n n －18，由其依次成等差数列，得n ＝1＋nn －18，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8. 19．二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，含x 2项的系数是________． 【答案】60【解析】由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6x 6－2r (－2)r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 26(－2)2＝60.20．⎝⎛⎭⎫x ＋ax 210展开式中的常数项为180，则a ＝________. 【答案】±2【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋a x 210展开式的通项为C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫a x 2r ＝a r C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，又a 2C 210＝180，故a ＝±2.21．设⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式中x 2的系数为m ，则直线y ＝m3x 与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为________． 【答案】43【解析】⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r －4·x 2r ＝C r 4x 3r －4，令3r －4＝2，得r ＝2，则m ＝C 24＝6.又直线y ＝2x 与曲线y ＝x 2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S ＝⎠⎛20(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝43.,22．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256.(1)求n 的值；(2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) 8 (2) 8【解析】(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x)8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 23．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) 3 432 (2) 16 896x 10【解析】(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124·23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123·24＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫127·27＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第r ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x)12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r≤10.4，又r ∈N *，∴r ＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：二项式定理(含解析)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：二项式定理（含解析）一、【知识精讲】1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.【注意点】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n二、【典例精练】考点一 通项公式及其应用 角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(2018·信阳二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( ) A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________.【答案】 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2 【解析】 (1)由于⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r ＝C r 5·(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x10－2k3.由题意10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2. 【解法小结】 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可.。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
高中数学-2二项式定理(带答案)
二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.n n n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rr n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n nC -12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,())(531420a a a a a a ++++ 的值等于.题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。