完全平方问题中字母数值的求法

完全平方问题中字母数值的求法
1．用完全平方式求解
例1 已知x2＋2mx＋1为完全平方式，求m的值．
分析因为多项式a2±2ab＋b2叫完全平方式，要使x2＋2mx＋1为完全平方式，不难对比发现，只要满足2m＝±2，即m＝±1．
2．用特殊值求解
例2 已知4x2＋kx＋9为完全平方式，求k的值．
解 4x2＋kx＋9为完全平方式，必为（2x±3）2的形式，即
4x2＋kx＋9＝（2x±3）2
令 x＝1，解得k＝±12．
3．用判别式求解
例3 已知（k－1）x2＋8x＋k＋1为完全平方式，求k的值．
解∵（k－1）x2＋8x＋k＋1为完全平方式，
∴△＝0，即64－4（k－1）（k＋1）＝0，
4．用待定系数法求解
例4 已知kx2＋5x＋4为完全平方式，求k值．
解设kx2＋5x＋4＝（Ax＋2）2
则 kx2＋5x＋4＝A2x2＋4Ax＋4
5．用有理根求解
例5 已知12＜m＜60，方程x2－2（m＋1）x＋m2＝0有两个不同的整数根，求整数m．
∵方程有2个不同的整数根，故△＝2m＋1必为完全平方数，
又∵ 12＜m＜60，
故25＜2m＋1＜121，且2m＋1为奇数．
于是 2m＋1＝72或2m＋1＝92，
m＝24或m＝40．
6．用整数的性质求解
例6 已知x＋79和x＋204都为完全平方数，求自然数x．
解令x＋79＝a2，x＋204＝b2，则
b2－a2＝（b＋a）（b－a）
＝125＝1·125＝5·25
∵ b＋a与b－a有相同的奇偶性，
解得 b＝63或b＝15，
∴x＝b2－204＝632－204＝3768，
或 x＝b2－204＝225－204＝21．
7．用其他限制条件求解
例7 求最大的正整数m，使m2＋1994m是一个完全平方数．
解因为m＞0，要使m2＋1994m是一个完全平方数，即要求n，使得m2＋1994m＝n2，则n＞m，故存在正整数k，使得n＝m＋k，于是m＋1994m2＝n2＝（m＋k）2＝m2＋2mk＋k2，
即 1994m＝2mk＋k2．
∵ m＞0，
∴ 1994－2k＞0，即k＜997，
∴ k越大时，k2越大，而1994－2k越小．
∴ k取996，取得所求的最大正整数为
注：本文开始提到的课本题是：
已知y2－2my＋1是完全平方式，求m的值．
张运宝。