2017春高中数学第2章数列2.1数列第2课时数列的递推公式选学课时作业新人教B版必修5
课时作业6：2.1.2 数列的递推公式（选学）
2.1.2数列的递推公式(选学)知识梳理1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，且从数列{a n }的第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的______公式．2．一般地，一个数列{a n }，如果从______起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从______起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列． 巩固训练 一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18 二、填空题7．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4＝________.8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化总面积为a n ＋1.则a n ＋1用a n 表示为________．10．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1 (n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数，试写出A n 与A n －1的关系及B n 与B n －1的关系． 能力提升13．已知数列{a n}满足a1＝－1，a n＋1＝a n＋1n n＋1，n∈N＋，则通项公式a n＝________. 14．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．参考答案知识梳理1．递推 2.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等 作业设计 1. A 2. B 3. B 4．C【解析】a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.5．A【解析】∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ． 6．B【解析】a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a ＋1＝a ，a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ， ∴{a n }为周期数列，周期为3. ∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .] 7．－148．129．a n ＋1＝45a n ＋425【解析】由已知可得a n 确定后，a n ＋1表示如下： a n ＋1＝a n ·(1－4%)＋(1－a n )·16%， 即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425.10．a n ＝1n ＋1【解析】∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3， a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2. 12．解：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000，A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1，B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1.由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1. 所以A n ＝0.8A n －1＋0.3×(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300. 同理，B n ＝0.2×(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 13．－1n【解析】∵a n ＋1－a n ＝1n n ＋1， ∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；… … a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n .14．a n ＝1n【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .。
第一部分 第二章 2.1 第二课时 数列的性质及递推关系式
[一点通]
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有
区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之
若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…， n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比 较an＋1与an的大小来断定，注意作差法的应用． an＋1－an>0⇔an＋1>an⇔数列{an}单调递增． an＋1－an<0⇔an＋1<an⇔数列{an}单调递减．
(6 分)
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9 4×3－3 a3＝10＝ ， 4×3－2 13 4×4－3 a4＝14＝ . 4×4－2 4n－3 ∴其通项公式可猜想为 an＝ . 4n－2 (10 分)
(12 分)
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[一点通]
根据初始值及递推公式写出数列的前几
项，然后归纳、猜想其通项公式，其中归纳、猜想通项
公式是难点，可用根据数列的前几项写出一个通项公式 的方法来处理．不同的是，在写出前几项时，一般不对 前几项化简(但有时化简后有利于观察其通项公式，关键 是尝试，没有定法)．
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解析：an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋1＋an. ∴a3＝a2＋a1＝2＋5＝7. a4＝a3＋a2＝7＋5＝12. a5＝a4＋a3＝12＋7＝19. 答案：D
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4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； an (2)通过公式 bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数列 an＋1 {bn}的前 4 项．
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an＋1 1 5．已知{an}中，a1＝1， a ＝2，则数列{an}的通项公式是( n A．an＝2n C．an＝ 1 2n－1 1 B．an＝2n 1 D．an＝n2
高中数学 2.1.2 数列的递推公式(选学)活页训练 新人教B版必修5
2.1.2 数列的递推公式(选学)1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.答案 C2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )．A.516B.12C.34D.58 解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12×a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋122＝34，a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.答案 B3．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是 ( )．A ．5－3nB ．3·2n －1－1C ．5－3n 2D ．5·2n －1－3解析 由a 1＝2，得a 2＝2a 1＋3＝7，代入验证得只有D 适合．答案 D4．已知数列{a n }满足a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)则a 4＝ .解析 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.答案 －145．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝a n －1－12(n ≥2)，则a n ＝ .解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝－12－12＋…＋(－12)＋12＝－12(n －1)＋12＝1－n 2.答案 1－n26．根据下面各个数列{a n }的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N ＋)． 解 (1)a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16.由a 1＝02，a 2＝12，a 3＝22，a 4＝32，a 5＝42，可归纳出a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1；a 2＝2a 1a 1＋2＝23；a 3＝2a 2a 2＋2＝12； a 4＝2a 3a 3＋2＝25；a 5＝2a 4a 4＋2＝13.由a 1＝1＝22，a 2＝23，a 3＝12＝24，a 4＝25，a 5＝13＝26.可归纳出a n ＝2n ＋1. 综合提高限时25分钟7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n 等于( )．A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋ln n ＋1n， 即a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，于是a n ＝(a n －a n －)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n<12，2a n－112≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为( )．A.67B.57 C.37D.17解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝57.答案 B9．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a n 2＋(－1)n ＋1(n ∈N *)，则a 4a 2＝ .解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4＝136，a 4a 2＝1312.答案131210．已知数列的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.解析 ∵log 2(1＋S n )＝n ＋1 ∴1＋S n ＝2n ＋1即S n ＝2n ＋1－1当n ＝1，a 1＝S 1＝22－1＝3 当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n－1)＝2n ＋1－2n＝2n∵a n ＝2n，对于n ＝1，a 1＝21＝2≠3∴通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32nn ＝1n ≥2答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 32nn ＝1n ≥211．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ≥3，n ∈N *)，求a 3，a 4的值．解 令n ＝3，则1a 1＋1a 3＝2a 2，将a 1＝1，a 2＝23代入，1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.令n ＝4，则1a 2＋1a 4＝2a 3，将a 2＝23，a 3＝12代入，1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52， ∴a 4＝25.12．(创新拓展)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式．解 ∵(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0. ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n. ∴a n a 1＝1n. 又 a 1＝1，∴a n ＝1n.。
高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式人教A版必修5
第2课时 数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性 的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推 公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一 判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四
高中数学第二课时-数列的递推公式
第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a n ，第n ＋1项a n ＋1，第n ＋2项a n ＋2有何关系？ 提示 a n ＋a n ＋1＝a n ＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列的前n 项和(1)数列{a n }的前n 项和：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)数列的前n 项和公式：如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式. 3.a n 与S n 的关系式 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.拓展深化[微判断]1.数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 2＝2a 1.(√)2.利用a n ＋1＝2a n ，n ∈N *可以确定数列{a n }.(×) 提示 只有给出a 1的值，才可以确定数列{a n }.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1.(×) 提示 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[微训练]1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511. 答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.[微思考]1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？ 提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)； (2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？ 提示相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n 的值，可求出数列中的第n 项a n 递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n 项a n题型一 由数列的递推公式求数列的项【例1】 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，n ∈N *，求a 2 021.解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1， ∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.规律方法 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】 (多选题)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，能使a n ＝3的n可以为( ) A.22 B.24 C.26D.28解析 由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3.所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3. 答案 AD题型二 由递推公式求数列的通项【例2】 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，n ∈N *，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×…×n －1n ＝1n . a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ，n ∈N *.规律方法 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法. 【训练2】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n . 答案 1n题型三 由S n 与a n 的关系求a n【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式. 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N *.【迁移1】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.【迁移2】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝2n －1，求数列{a n }的通项公式.解 ∵S n ＝2n －1，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1符合上式，∴a n ＝2n －1.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋3，求数列{a n }的通项公式. 解 ∵S n ＝2n 2＋n ＋3，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 当n ＝1时，a 1不符合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2.一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用a n 与S n 的关系求通项所应用公式为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，注意其步骤有三：①求n ＝1时的项，即a 1；②求n ≥2时a n 的表达式；③验证a 1是否满足n ≥2时的表达式. 二、素养训练1.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 由题知a 2＝12×1＋12＝1，a 3＝12×1＋14＝34. 答案 C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推；D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 对∀n ∈N *成立，且a 3＝12，则a 1＝________. 解析 ∵a 3＝2a 2＝12，∴a 2＝6，a 2＝2a 1＝6，∴a 1＝3. 答案 34.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，则a 4＝________，猜想其通项公式是________.解析 ∵数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1，2，3，…)，∴a 2＝a 11＋a 1＝12，同理可得a 3＝13，a 4＝14.猜想其通项公式是a n ＝1n . 答案 14 a n ＝1n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，求a n . 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3(n －1)＝3，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3.基础达标一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23解析 由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 答案 D2.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.8解析 由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 答案 A3.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n解析 ∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.答案 A4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.33解析 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 答案 C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.243解析 根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 答案 B 二、填空题6.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 57.已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 解析 a 1a 2…a 8＝82，① a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 答案 81648.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 答案 1 024 三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2.能力提升11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).答案1n ＋112.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)， 又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 答案 BCD14.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21D.32解析 若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)， 若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4； 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的性质和递推公式练习 新人教A
第2课时 数列的性质和递推公式1.已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D.不能确定解析a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }为递增数列. 答案A2.数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 6＝ A.3B.5C.8D.13解析 由条件知a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8. 答案C3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是 A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2解析a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案C4.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________. 解析 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案1945.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析a 1＝2，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为4， ∴a 2 018＝a 4×504＋2＝a 2＝－3. 答案 －3[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是A.1B.12C.34D.58解析 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.答案B2.在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值X 围是 A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 答案C3.数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是 A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n －1432－1963，故当n ＝5时，a n 的最小值为a 5＝－65. 答案B4.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 A.259B.2516C.6116D.3115解析 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，(n ≥2)得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，(n ≥3)，∴a n ＝n 2（n －1）2，(n ≥3)，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.答案C5.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 A.－165B.－33C.－30D.－21解析 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 答案C6.(能力提升)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝A.2＋lg nB.2＋(n －1)lg nC.2＋n lg nD.1＋n ＋lg n解析 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n n －1＝2＋lg n .答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项的值为________.解析由数列{a n }的首项和递推公式可以求出a 2＝14，a 3＝17，…，观察得到通项公式a n ＝13n －2，所以a 7＝119.答案1198.已知函数f (x )的部分对应值如表所示.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意n ∈N *，点(a n ，a n ＋1)都在函数f (x )的图象上，则a 2 017的值为________.解析 由题知，a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1.∴a 2＝f (1)＝3，a 3＝f (a 2)＝f (3)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝1，…，依次类推，可得{a n }是周期为3的周期数列，∴a 2 017＝a 672×3＋1＝a 1＝1.答案 19.(能力提升)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，则a n ＝________.解析 (n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·1＝1n. 答案1n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 解析 (1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1， 且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.11.(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n . (1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象.解析 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n.(3)图象如图所示：12.(12分)已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *). (1)求证：a n ＞－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解析 (1)证明 因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2（x ＋1）x ＋1＝－2＋3x ＋1，所以a n ＝－2＋3n ＋1.因为n ∈N *，所以a n ＞－2. (2)数列{a n }为递减数列.因为a n ＝－2＋3n ＋1， 所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3（n ＋2）（n ＋1）＜0， 即a n ＋1＜a n ，所以数列{a n }为递减数列.。
2017_2018学年高中数学第二章数列课时作业6数列的递推公式(选学)新人教B版必修5
an a1
)Байду номын сангаас
B．an＝2
n－1
1n－1 C．an＝ 2
1，„，
1n D．an＝1＋ 2
1 2 3
解析：方法一：由已知 a1＝1＝2 －1，a2＝2×1＋1＝3＝2 －1，a3＝2×3＋1＝7＝2 －
由此归纳得 an＝2 －1. 方法二：∵an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴
*
(限时：30 分钟) 1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则 a6 等于( )
1
A．7 C．16 D．17
B．11
解析：由题可知 a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2 ＋3＋4＋5＝16. 答案：C 2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－ 1 1 A．－ B. 2 2 C．2 D．－2 解析：∵an＋2＝－ ∴a2 013＝a1＝2. 答案：C 3．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2，都有 a1a2a3·„·an＝n ，则 a3＋a5 等于( A. C. 25 9 25 B. 16
且 ＝ ＝1，∴an＝n. n 1 方法二：累乘法：n≥2 时，
an a1
an n ＝ ， an－1 n－1
an－1 n－1 ＝ an－2 n－2
2
„
a3 3 ＝ a2 2 a2 2 ＝ a1 1
两边分别相乘得 ＝n. 又∵a1＝1，∴an＝n. 答案：D 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为( A．an＝2 －1
an－1 (n≥2)， an－2
a2 a3 a4 1 a5 1 a6 ∴a3＝ ＝2，a4＝ ＝1，a5＝ ＝ ，a6＝ ＝ ，a7＝ ＝1，„. a1 a2 a3 2 a4 2 a5
新人教版高中数学选择性必修第二册数列的递推公式
第2课时数列的递推公式学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和S n求数列的通项公式．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.一、数列通项公式的简单应用例1(教材P5例3改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n}中的项，3是否为数列{a n}中的项．解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{a n}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{a n}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，故3不是数列{a n}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列，∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n，则此数列的第3项是()A ．1 B.12 C.34 D.58答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32，a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74，a 5＝74＋14－15＝2－15＝95，又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n.所以a n ＝2n －1n(n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，则a n 等于()A ．n ＋1B ．nC.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{a n }满足a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n .反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n .解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋1＝n＋1－2＋1.又a1＝1也符合上式，所以a n＝n＋1－2＋1，n∈N*.(2)已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n.解因为ln a n－ln a n－1＝1，所以lna na n－1＝1，即a na n－1＝e(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝e·e·…·e·1(n－1)个＝e n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以a n＝e n－1，n∈N*.四、a n与S n的关系问题2如果已知某数列的前n项和S n＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1．把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n ＝a1＋a2＋…＋a n.2．a n注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．例4设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2n2－30n.求a1及a n.解因为S n＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以a n＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“S n＝2n2－30n”改为“S n＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a n.解因为S n ＝2n 2－30n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1]＝4n －32.当n ＝1时不符合上式．所以a n 27，n ＝1，n －32，n ≥2.反思感悟由S n 求通项公式a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；否则数列{a n }的通项公式要分段表示为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.跟踪训练4已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n －1.解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1＝2适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．1．知识清单：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n 项和S n 与a n 的关系．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由S n 求a n 时忽略验证n ＝1时的情况．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于()A ．36B ．35C ．34D ．33答案C解析a 2＝S 2－S 1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a 2＋a 18＝34.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2021的值为()A ．2B ．1 C.12 D.14答案C解析a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，所以a 2021＝a 336×6＋5＝a 5＝12.4．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．答案17解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B 解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a n D ．a n ＋1＝－12a n 答案D3．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于()A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2；当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；…所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 答案D 解析∵a n ＋1－a n ＝－1.∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多选)已知数列{a n}的前n项和满足S n＝2n＋1－1，则下列说法正确的是()A．a1＝3B．a n＝2n(n≥2)C．a n＝2n D．a n＝2n(n≥2)答案AD解析S n＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故a n ，n＝1，n，n≥2.7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)，则a4＝________.答案7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{a n}中，a1a2…a n＝n2(n∈N*)，则a9＝______.答案81 64解析a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝9282＝8164.9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想a n(不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25.(2)猜想：a n ＝2n ＋1.10．已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0，∴1a n －1a n －1＝1.∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋…＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是()A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A 解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1，所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A 解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项答案B 解析假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.答案1n 解析方法一(累乘法)把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n＝1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n(n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1a n 为偶数，＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5，若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故m 所有可能的取值为4,5,32.。
第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的性质和递推公式1
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18 n 2．在数列{an}中，an＝(n＋1)( ) (n∈N*)． 19 (1)求证：数列{an}先递增，后递减； (2)求数列{an}的最大项．
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18 n n＋119 an 解：(1)∵ ＝ 18 n－1 an－1 n· 19 18 n＋1 ＝19× n (n≥2)． an 当 ＞1 时， an－1 18 n＋1 即19× n ＞1，
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• 1, 解析：计算得a2＝5/7，a3＝3/7，a4＝6/7， • 故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝6/7. • 2．解析：∵an＝2an－1－1， • ∴a2＝2×a1－1＝1， • a3＝2×a2－1＝1，…，a99＝1. • 答案：1
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2. 返回
2an (2)∵a1＝1，an＋1＝ ， 2＋an ∴a2＝ 2a1 2 2a2 1 ＝3，a3＝ ＝2， 2＋a1 2＋a2
2a3 2 2a4 1 a4＝ ＝5，a5＝ ＝3. 2＋a3 2＋a4
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2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1，3，2，5，3. 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 ， ， ， ， ， 1＋1 2＋1 3＋1 4＋1 5＋1 2 故它的一个通项公式为 an＝ . n＋ 1
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预习思考：
1，我们知道有了数列的通项公式可以确定数列中的项， 还有什么方法可以确定数列中的项？ 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，则 a3，a4，a5为何值？
3．数列{an}中，a1＝1，对任意的n∈N*(n≥2)，有an＝3an－1＋2 试写出该数列的前5项，指出数列的增减性
高中数学第2章数列2.1.2数列的递推公式(选学)学案新人教B版必修
2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义.重点2.掌握递推公式的应用.难点3.会求数列中的最大小项.易错点[基础·初探]教材整理数列的递推公式阅读教材P29～P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.解析①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.答案①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.解析 因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.答案 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.解析 依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n＝4时，a 4＝43a 3＝4.答案 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 5＝______________.解析 因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3，a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.答案 3[小组合作型]由递推关系写数列的项n n n ＋1n ＋1＋ 2 016 2 015等于( )A.－13B.13C.－12D.12(2)已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 5＝________. 精彩点拨 结合已知项逐步代入递推公式求解. 自主解答 (1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1，得a n ＋1＝1a n ＋1， 又∵a 2 016＝2， ∴a 2 015＝－12，故选C.(2)由题知a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5， ∴a 5＝a 4＋a 3＝8. 答案 (1)C (2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[再练一题]1.已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项.导学号：18082018解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.精彩点拨自主解答 法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a 9＝a 10＝1010119.法二：设a k 是数列{a n }的最大项.则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1， a k ≥a k ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1，k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可.[再练一题]2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？导学号：18082019(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 解 (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数.(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为－5×2＋4＝－2. 法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤n ＋12－5n ＋1＋4，n 2－5n ＋4≤n －12－5n －1＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2,3.∴a 2＝a 3且最小. ∴a 2＝a 3＝－5×2＋4＝－2.[探究共研型]数列的递推公式与通项公式的关系n足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？提示 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N ＋，n ≤30). 探究2 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n＝2， 照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？提示 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋).探究3 在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？提示 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1，(n ∈N ＋).设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n (n ∈N ＋)，求数列的通项公式.精彩点拨 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝nn ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝n n ＋1a n 变形为a n ＋1a n ＝nn ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形式n ＋1a n ＋1na n＝1，构造数列{na n }为常数列.自主解答 因为a n ＋1＝nn ＋1a n . 法一：(归纳猜想法)a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14…猜想a n ＝1n.法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n. 法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1， 则a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1＝n －1n .n －2n －1.. (12)， 所以a n ＝1n. 法四：(转化法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1， 所以n ＋1a n ＋1na n＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，∴a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式.(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N ＋)，写出这个数列的前5项，猜想a n 并加以证明.解 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5， a 3＝a 2＋3＝8， a 4＝a 3＋3＝11， a 5＝a 4＋3＝14，猜想：a n ＝3n －1.证明如下：由a n ＋1＝a n ＋3得a 2＝a 1＋3， a 3＝a 2＋3， a 4＝a 3＋3，…，a n ＝a n －1＋3.将上面的(n －1)个式子相加，得a n －a 1＝3(n －1)，∴a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2解析 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案 C2.符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A.1,2,3,4，… B.1, 2，2,22，… C.2，2, 2，2，…D.0, 2，2,22，…解析 由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的2倍为后一项，所以只有B 符合.答案 B3.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________________ 解析 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案1944.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n中的最大项是第k 项，则k ＝________. 导学号：18082020解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k≥k －1k －1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k －1，kk ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k≥k ＋1k ＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k ＋1，化简得又因为k ∈N ＋，所以k ＝4. 答案 45.已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 解 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)， ∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2. (2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13. ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1， 故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1.。
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2017春高中数学 第2章 数列 2.1 数列 第2课时 数列的递推公式(选学)课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝3a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为导学号 27542254( D ) A ．13 B ．15 C ．30D ．40[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝3a 1＋1＝4，a 3＝3a 2＋1＝13，a 4＝3a 3＋1＝40. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5＝导学号 27542255( A )A ．5512B ．133C ．4D ．5[解析] ∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 2＋1a 1＝3＋1＝4，∴a 4＝a 3＋1a 2＝4＋13＝133，∴a 5＝a 4＋1a 3＝133＋14＝5512.3．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝导学号 27542256( A ) A ．－3 B ．－4 C ．－5D ．2[解析] 由a n ＋1＝a n ＋2＋a n 得a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝－5，a 6＝－3.4．数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N ＋)，且a 2 014＝2，则a 2 012等于导学号 27542257( A )A ．－3B ．3C ．－2D ．2[解析] 由已知，得a n ＝1－a n ＋1a n ＋1＝1a n ＋1－1，所以a 2 013＝1a 2 014－1＝12－1＝－12，a 2 012＝1a 2 013－1＝1－12－1＝－3.5．数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于导学号 27542258( C )A ．259B ．2516 C ．6116D ．3115[解析] ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1·a 2·a 3＝9，a 1·a 2＝4，∴a 3＝94.同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝导学号 27542259( B ) A ．0 B ．－ 3 C ． 3D ．32[解析] ∵a n ＋1＝a n －33a n ＋1，a 1＝0， ∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…，故此数列周期为3，∴a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－3，故选B ． 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5＝120.导学号 27542260 [解析] 因为a n ＝na n －1，且n ≥2，所以 当n ＝2时，a 2＝2a 1＝2； 当n ＝3时，a 3＝3a 2＝6； 当n ＝4时，a 4＝4a 3＝24； 当n ＝5时，a 5＝5a 4＝120. 故a 5＝120.8．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ·a n －1＝n －1(n ≥2)，则a 6a 8＝67.导学号 27542261[解析] 解法一：∵a 1＝1，a n ·a n －1＝n －1(n ≥2)， ∴a 2＝1a 1＝1，a 3＝2a 2＝2，a 4＝3a 3＝32，a 5＝4a 4＝83，a 6＝5a 5＝158，a 7＝6a 6＝165，a 8＝7a 7＝3516. ∴a 6a 8＝158·1635＝67.解法二：由题意得，a 7·a 6＝6，a 8·a 7＝7，两式相除即得a 6a 8＝67.三、解答题9．已知数列{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求此数列的通项公式.导学号 27542262[解析] 由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0整理， 得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝ 12×23×34×45×…×n －1n ＝1n ，∴a n a 1＝1n . 又a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.能 力 提 升一、选择题1．正项数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 4＝导学号 27542263( B ) A ．165B ．219C ．85D ．87[解析] 由递推关系可得a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219.2．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000＝导学号 27542264( A ) A ．1 B ．1 999 C ．1 000D ．－1[解析] a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．故选A ．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ≥1)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于导学号 27542265( A )A ．－1B ．1C ．0D ．2[解析] ∵a n ＋1＝a 2n －1＝(a n ＋1)(a n －1)， ∴a 2＝(a 1＋1)(a 1－1)＝0，a 3＝(a 2＋1)(a 2－1)＝－1， a 4＝(a 3＋1)(a 3－1)＝0， a 5＝(a 4＋1)(a 4－1)＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是导学号 27542266( B )A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6，即2×12，2×32，3×42，由此猜想a n ＝nn －2，∴a 10＝10×92＝45.二、填空题5．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ， 则a 6＝ －143. 导学号 27542267[解析] a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25， a 5＝107，a 6＝－143.6．某网络公司，2014年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自2015年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：导学号 27542268则该公司2016年的市场占有率为7A4；写出其中的递推关系式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧A ，n ＝a n －1＋A 2n －1n .[解析] 2014年的市场占有率为A,2015年的市场占有率为A ＋A2，2016年的市场占有率为A ＋A 2＋A4，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式．三、解答题7．(1)已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出，写出这个数列的前5项；导学号 27542269(2)用上面的数列{a n }，通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前5项．[解析] (1)∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， ∴a 3＝a 1＋a 2＝3，a 4＝a 2＋a 3＝5，a 5＝a 3＋a 4＝8. (2)∵a 6＝a 4＋a 5＝13，b n ＝a n a n ＋1，∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58，b 5＝a 5a 6＝813. 8．一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途(包括A 、B )共有8站，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性.导学号 27542270[解析] 将A 、B 之间所有站按序1、2、3、4、5、6、7、8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．。