相似三角形预备定理剖析

∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的
延长线），所得的对应线段的比相等
相似三角形预备定理剖析
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
A
D
E
B
C
相似三角形预备定理剖析
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
F
C l3
注意观察：
此图与前面图形有何不同？
\
EF DE
n m
EF DE DE
n
m
m
，
即
DF DE
m
m
n
.
\
DE DF
m
m
n
.
[例二]
A B
C
D E
F
相似三角形预备定理剖析
练习： 如图，l3∥l4 ∥l5 ,请指出成比例的线段.
l1
A D
B
l2
l3
E
l4
C
l5
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
“A”型
“X”型
A
D
E
D
E
O
B （图1）
C
B
（图2） C
符号语言： 在△ABC中， ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
相似三角形预备定理剖析
练习：1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可
能多地找出图中的相似三角形，并
说明理由。
O
E
F
1. EF∥AB
ΔOEF∽ΔOAB
C
D
A
B
2.EF∥CD
ΔOEF∽ΔOCD
27.2相似三角形的判定1
预备定理
相似三角形预备定理剖析
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形预备定理剖析
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
则
ACI CIFI
2 3
A B C D
E F
BI CI DI EI
FI
相似三角形预备定理剖析
探究： 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、
l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5 在
l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条 线段DE,EF的长度.
AB 与 DE BC EF
相似三角形预备定理剖析
A B C
D
l1
E l2
F l3
上上 下 下
形象记忆
下下 全 全
左左
右 右
....
....
相似三角形预备定理剖析
已知： 1 /2 / / 如 l 3 / ， l 图 A 3D B , ， E 2E , l F 4 .
求：BC.
AD
l1
解：Ql1//l2 //l3
\
AB BC
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
相似三角形预备定理剖析
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
D E / /BC ,EF / /AB, \ AD AE , BF AE
.
D
B
CE
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
F
△ ABC∽ △DEF
相似三角形的—对——应—角——相—等, 各对应边—。比相等
相似比:Βιβλιοθήκη AB DEBC EFAC DF
=k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
相似三角形预备定理剖析
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子 分成两部分，使这两部分之比是2:3?
相等吗？
任意平移l5，再度量
AB,BC，DE,EF的长
度.
l1
A B
l2
D
l3
E
l4
AB 与 DE 相等吗？
C
BC EF
F l5
相似三角形预备定理剖析
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言
L1 L2
A
D
L3//L4//L5
B
E
L3
AB BC
=
DE EF
C
L4 F L5
(平行线分线段成比例定理)
3.AB∥CD
ΔOAB∽ΔOCD
三角形相似具有
传递性!
或：ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD
ΔOAB∽ΔOCD
相似三角形预备定理剖析
相似三角形预备定理剖析
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
相似三角形预备定理剖析
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）
平行于三角形一边的直线和其他两边
相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形预备定理剖析
l1
A D
B
l2
l3
E
l4
C
l5
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
相似三角形预备定理剖析
LA5 L4 DE
LE5 LD4
L1
A
L2
L1 L2
B
C
B
C
数学符号语言 L3 数学符号语言 L3
∵ DE∥BC
AB AC BC AC 四 边 形 D EFB是 平 行 四 边 形 ， \ DE=BF \ D E AE
BC AC \ AD AE DE
AB AC BC
相似三角形预备定理剖析
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
相似三角形预备定理剖析
思考: 改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
相似三角形预备定理剖析
？ 思考
如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
相似三角形预备定理剖析
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
DE EF
（平行线分线段成比例定理）
即
3 BC
2 4
3
B
?
C
2
E l2
4
F l3
\ BC 6
[例一]
相似三角形预备定理剖析
已
知
：
如
图 1/ /， 2l/
l/3l， BA CB
m. n
A
D
l1
求
证D D： F E
m. mn
E
B
l2
证明 ：Ql1//l2 //l3 ,
\
AB BC
DE EF
m n
（平行线分线段成比例定理）
∵ A A , B B , C C
AB BC CA.
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
相似三角形预备定理剖析
对应角___相__等__, 对应边 比—相—等————的两个三
角形,
叫做相似三角形 A