五年级奥数第13讲-倍数问题(教)
五年级奥数倍数问题
五年级奥数倍数问题 Last revision date: 13 December 2020.五年级奥数训练——倍数问题（一）姓名：例１两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？练习一两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。
这两个加数各是多少？例2甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本？练习二原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片？例3幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。
大班共有多少个同学？练习三高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。
如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。
两种树苗原来各有多少棵？例4有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子？练习四甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。
原来两仓各存货物多少吨？例5甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。
若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。
甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？练习五果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。
果园里有桃树和梨树各多少棵？课堂练习1、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个？2、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。
交大之星-小学奥数精讲精练(五年级) 第十三章 简易方程 倍数问题
第十三章简易方程•倍数问题典型题训练1（难度等级★）例甲水池有水2800立方米，乙水池有水1200立方米。
甲水池要流出多少水给乙水池，才能使乙水池的水是甲水池的3倍？解设甲水池要流出x立方米的水给乙水池。
3（2800－x）＝1200＋x，x＝1800。
答：甲水池要流出1800立方米水给乙水池。
1．甲书架上有230本书，乙书架上有130本书。
要使甲书架上的书是乙书架上的3倍，应从乙书架上拿走多少本放到甲书架上？2．两袋大米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的大米第一袋刚好是第二袋的2倍。
两袋大米原来分别重多少千克？3．甲、乙两人的存款相等，某日甲取出60元、乙存入20元，此时，乙的存款是甲的3倍。
两人原有存款分别为多少元？4．有两桶油，第一桶油的重量是第二桶油的1.5倍。
如果从第一桶中倒出4千克油加入第二桶中，两桶油重量相等。
第一桶油和第二桶油原来分别有多少千克？典型题训练2（难度等级★★）例甲、乙两人共有10000元，甲用去2000元，乙用去500元，乙剩下的钱比甲剩下的钱的2倍多300元。
甲、乙两人原来分别有多少元？解设甲剩下x元，则乙剩下（2x＋300）元。
x＋2x＋300＝10000－2000－500，x＝2400，2x＋300＝5100。
2400＋2000＝4400（元），10000－4400＝5600（元）。
答：甲、乙两人原来分别有4400元和5600元。
1．有两条绳子，长绳的长度是短绳的2.5倍，如果从这两条绳子上各剪去30米，则长绳剩下的长度是短绳剩下长度的4.5倍。
短绳和长绳原来分别有多长？2．甲、乙两人加工零件，甲比乙每天多加工6个零件，乙中途休息了15天，40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。
甲、乙两人每天分别加工多少个零件？3．某市举行数学竞赛，得二等奖的人数比得一等奖的2倍少40人，得三等奖的人数比得二等奖的3倍多80人。
如果得三等奖人数比得一等奖的多560人，得一、二、三等奖的分别有多少人？4．甲停车点有222辆电动车，乙停车点有48辆电动车。
五年级奥数之----倍数问题
五年级奥数之-----倍数问题
1.甲、乙、丙三数之和是200，已知甲是乙的3倍，丙又是甲的2倍，求甲、乙、丙三数。
（甲：60，乙：20，丙：120）
2.有两筐苹果共80千克，第一框的3倍比第二框的2倍少10千克，求两筐苹果各多少千克？
（第一框30千克，第二框50千克）
3.大小两数之和为20，大数的3倍与小数的5倍和为74，求这两个数。
（大数13，小数7）
4.两个整数相除，商17，余数是8，已知被除数、除数、商、余数的和是501，求被除数和除数。
（被除数450，除数26）
5.有两堆煤，如果从第一堆运9吨给第二堆，两堆煤一样重；如果从第二堆运12吨给第一堆，则第一堆煤等于第二堆煤的2倍，两堆煤原来各有多少吨？
（第一堆72吨，第二堆54吨）
6.小华有连环画的本数是小明的6倍，如果两人各再买2本，那么小华所有的本数是小明的4倍，两人原来各有连环画多少本？（小华18本，小明3本）
7.已知被减数，减数与差之和为592，其中减数比差的2倍还多2，求减数。
（198）
8.有两堆煤，甲堆94吨，乙堆138吨，每天各运走9吨，几天后，乙堆剩下的煤是甲堆剩下煤的3倍？（8天）
9.有两根绳子，长的是短的2倍，如果长的每次剪去4dm,短的每次剪去3dm,结果短的正好剪完，长的还剩下16dm,两根绳子原来各是多长？
10.丁丁做数学题，计算时发现，由于把一个加数的个位的零漏掉，结果比正确答案少702，这个加数是多少？（780）
11.甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元给乙存入，那么乙的存款就是甲的2倍，求甲乙原有存款各多少元？（甲100元，乙20元）。
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目录第1讲平均数 (1)第2讲倍数问题（一） (3)第3讲倍数问题（二） (5)第4讲假设法解题 (7)第5讲作图法解题 (9)第6讲周期问题 (11)第7讲置换问题 (13)第8讲包含与排除 (15)第9讲估值问题 (17)第10讲一般应用题 (19)第11讲盈亏问题 (21)第12讲算式题 (23)第13讲行程问题 (25)第14讲火车行程问题 (27)第15讲灵活运用 (29)终结性测试题一 (31)终结性测试题二 (32)第1讲平均数专题简析把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。
3×3-2×3=34-3=1答：被改的数原来是1。
随堂练习：1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。
这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：38×5=190。
在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×3+48×3-38×5=35答：中间一个数是35。
奥数讲座(5年级-上)(14讲)
五年级奥数讲座（一）目录第一讲数的整除问题第二讲质数、合数和分解质因数第三讲最大公约数和最小公倍数第四讲带余数的除法第五讲奇数与偶数及奇偶性的应用第六讲能被30以下质数整除的数的特征第七讲行程问题第八讲流水行船问题第九讲“牛吃草”问题第十讲列方程解应用题第十一讲简单的抽屉原理第十二讲抽屉原理的一般表述第十三讲染色中的抽屉原理第十四讲面积计算第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
五年级上册奥数专题系列-整数与整除,因数倍数,素数合数,最大公因数与最小公倍数 沪教版(2015秋)
例如：三个连续自然数的乘积是不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的素数，用这些素数去除p，如没有能够除尽的那么p就为素数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是素数.四、最大公约数1、公约数思考：六一儿童节这天，老师带着24名女生和32名男生做游戏，要求把这些学生分成人数相等的若干组，每小组中男生和女生人数都相同，最多可分成几组？上面中间数字1、2、4、8就是这两部分共有的因数，我们就叫做公因数，其中8是最大的因数，就叫做最大公因数。
2、最大公约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
3、求最大公因数的方法（1）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；（2）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；6003151285÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；315285130÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；28530915÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；301520÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；所以1515和600的最大公约数是15．五、最小公倍数1、公倍数思考：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？像上面12、24等就是3和4的公倍数，其中12是最小的，就叫做最小公倍数。
小学奥数和倍问题(教师版)
和倍问题a、通过直观演示的教学，让学生理解和倍问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。
b、解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性.c、通过合作探究，让学生知道用不同的方法解决同一个问题，进而提高解决问题的能力；培养学生全面解决问题的习惯和灵活解决问题的能力，培养学生与他人相互交流，合作的意识。
知识点说明：和倍问题就是已知大小两数的和，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．和倍问题的特点与和倍问题类似。
解答和倍问题的关键是要确定两个数量的和及相对应的倍数和，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数×(倍数－1)=两数差.1、小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍，问小卫家养的小兔和大兔各有多少只？2、被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少？3、某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的2倍少22人。
问四、五年级各有学生多少人？4、两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。
5、姐姐有连环画38本，妹妹有连环画52本，姐姐要给妹妹多少本连环画，才能使妹妹的本数是姐姐的2倍？6、两箱茶叶共176千克，从甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍。
两箱原有茶叶多少千克？1.甲数是乙数的3倍，丙数是乙数的4倍，丁数是丙数的一半，四个数的和是1040，丁数是多少？2. 一个长方形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形面积3、有俩堆木料，第一堆50根，第二堆70根，从第一堆拿多少根木料到第二堆，才能使第二堆木料数是第一堆的3倍？4.哥哥有700元钱，弟弟有300元钱，弟弟给哥哥多少钱后，哥哥的钱是弟弟的钱的4倍5.师傅和徒弟共加工零件100个，师傅加工的零件数是徒弟的2倍少20，师傅和徒弟各加工零件多少个？6.李新有邮票45张，王磊有邮票30张，要是李新的邮票数是王磊的2倍，那么王磊要给李新多少张邮票？1.俩个数相除，商为8，被除数除数和商的和为170，求被除数是多少。
小学奥数基础教程(五年级)
小学奥数根底教程(五年级)第1讲数字迷〔一〕第2讲数灯谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性〔一〕第8讲奇偶性〔二〕第9讲奇偶性〔三〕第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原那么第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题〔一〕第25讲行程问题〔二〕第26讲行程问题〔三〕第27讲逻辑问题〔一〕第28讲逻辑问题〔二〕第29讲抽屉道理(一)第30讲抽屉道理(二)第1讲数灯谜〔一〕数灯谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜测、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数灯谜涉及的常识多，思考性强，所以很能熬炼我们的思维。
这两讲除了复习稳固学过的常识外，还要讲述数灯谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，别离填入下面等式的○内，使等式成立〔每个运算符号只准使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12。
阐发与解：因为运算成果是整数，在四那么运算中只有除法运算可能呈现分数，所以应首先确定“÷〞的位置。
当“÷〞在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
〔5÷13-7〕×〔17+9〕。
当“÷〞在第二或第四个○内时，运算成果不成能是整数。
当“÷〞在第三个○内时，可得下面的填法：〔5+13×7〕÷〔17-9〕=12。
例2 将1～9这九个数字别离填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
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学科教师辅导讲义
一、和差问题
已知两数的和与两数的差，求两个数各是多少的应用题，叫和差问题应用题。
为了找到解答和差应用题的规律，我们来看线段图：
从上图可以看出，在两数和上加上两数差，就是两个大数，再除以2，就可以求出大数；在两数和中减去两数差，就是两个小数，除以2，就可以求出小数。
得到：大数=（和+差）÷2，小数=（和－差）÷2.
二、和倍问题
已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。
我们通常把它叫做和倍问题。
它的结构可用下图来表达：
知识梳理
和差倍问题
和差问题：已知两数的和与两数的差，求这两个数.
差倍问题：已知两数的差和它们之间的倍数关系,求这两个数.
和倍问题：已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数.
数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和—小数=大数（几倍数）
三、差倍问题
已知两数的差和它们之间的倍数关系,要求出这两个数各是多少的应用题叫差倍问题。
“差倍问题”和“和倍问题”相似，解答时先要弄清什么是差、倍数、大数、小数，然后利用线段图找准与“差”所对应的倍数，即（倍数－1），从而先求出1倍数（小数），再求出几倍数（大数）。
差倍应用题的数量关系是：小数=差÷（倍数－1）； 大数=小数×倍数或大数=小数+差。
例1、期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。
两人各考了多少分？
【解析】：根据题意画出线段图。
我们可以用假设法来分析。
假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为
188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。
例2、学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？
【解析】：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
如图所示：
188分
?分
?分
李杨
王平
典例分析
由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级
所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
例3、小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。
小明买苹果和梨各多少个？
【解析】：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。
如下图：
从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18个，所以梨有18÷2=9个，苹果有：9×3=27个。
P(Practice-Oriented)——实战演练
➢ 课堂狙击
1、小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只，请问小红家养母鸡、公鸡各多少只？
【解析】公鸡数为（30-8）÷2=11只,母鸡数为（30+8）÷2=19只
共360本
？本
？本
1倍数三年级
二年级
苹果
梨
？个
多18个
？个
1倍实战演练
S(Summary-Embedded)——归纳总结
重点回顾
（1）和差问题：大数=（和+差）÷2，小数=（和－差）÷2。
（2）和倍问题：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和—小数=大数（几倍数）
（3）差倍问题：小数=差÷（倍数－1）；
大数=小数×倍数或大数=小数+差.
名师点拨
重点和难点突破：
（1）和差问题的关键是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数. （2）和倍问题的关键是找出两个数的和，和两个数之间的倍数关系，先求出小数，再求出大数.
（3）差倍问题的关键是找出两个数的差，和两个数之间的倍数关系，先求出小数，再求出大数.
学霸经验
➢本节课我学到了
➢我需要努力的地方是。