微专题-模型系列 电磁感应中的“杆+导轨”模型
电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)(解析版)
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。
重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。
[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。
[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。
现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。
电磁感应现象中“杆+导轨”模型梳理
电磁感应现象中“杆+导轨”模型梳理作者：董卫刚王梦娜
来源：《中学生数理化·高考理化》2023年第10期
電磁感应现象中的“杆+导轨”模型是近几年高考中的常见考点之一，比如2020年高考全国Ⅰ卷第21题、全国Ⅲ卷第24题，2021年高考全国乙卷第25 题、北京卷第7 题，2022年高考全国甲卷第20题、辽宁卷第15题，2023年高考全国甲卷第25题、湖南卷第14题、辽宁卷第10题等。
涉及“杆+导轨”模型的物理试题几乎涵盖了高中物理所有的核心内容，综合性较强，区分度较高。
下面将涉及“杆+导轨”模型的物理试题进行系统梳理，总结求解此类问题的思路和方法，为同学们的复习备考提供参考。
核心素养微专题6 电磁感应中的“杆+导轨”模型
(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
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二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
13
二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
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二轮 ·物理
⑦ ⑧
二轮 ·物理
2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
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二轮 ·物理
棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→
热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型
热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。
[热点透析]单杆模型初态v0≠0v0＝0示意图质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定续表初态v0≠0v0＝0运动分析导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a ＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量分析动能转化为内能，12m v2＝Q电能转化为动能和内能，E电＝12m v2m＋Q外力做功转化为动能和内能，W F＝12m v2m＋Q外力做功转化为电能和动能，W F＝E电＋12m v2注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。
(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。
现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。
4.8专题：电磁感应现象中“杆+导轨”模型
(2)电阻R上产生热量Q=I2Rt=0.075 J
答案：(1)2 T (2)0.075 J
探究三 倾斜轨道
两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为 α 的绝缘斜面上，导轨间距为 L，导轨间连接一电 阻R ，质量为m，电阻为r的金属棒 ab与导轨垂直 并接触良好，其余部分电阻不计，整套装置处 于磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直 斜面向下。不计它们之间的摩擦，重力加速度 为g 。
光滑水平放置的金属导轨间距为 L，导轨间连接 一电阻 R，质量为 m，电阻为 r的金属棒ab与导轨 接触良好，其余部分电阻不计。平面内有垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
问题3：施加恒定外力 F 后，能量如何变化？能不能 从能量的视角求ab棒的最大速度？
能量角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
问题1：施加恒定外力F后，ab棒的加速度 a，速度v 如何变化？
动力学角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
E I= Rr
F安 BIL
a
F F安 m
a、v同向
当F安=F时，a=0,速度达到最大vm匀速
解：运动特征：加速度减小的 加速运动，最终匀速。 F=F安=BIL=B2L2Vm/（R+r) 可得：vm=F(R+r)/B2L2
示。(g取10 m/s2)求：
(1)磁感应强度B;
(2)杆在磁场中下落0.1 s的
过程中电阻R产生的热量。
【规范解答】(1)由图像知,杆自由下落0.1 s进入磁场以v= 1.0 m/s做匀速运动产生的电动势E=BLv 杆中的电流I=
E Rr
杆所受安培力F安=BIL 由平衡条件得mg=F安 代入数据得B=2 T
电磁感应中的“杆 导轨”类问题(3大模型)解题技巧
辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：类型一：单杆+电阻+导轨模型类【初建模型】【例题1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。
重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。
【思路点拨】：【答案】：(1)g sin θ，方向沿导轨平面向下；2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下；(2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4【解析】：(1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BLv 回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R ＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12mv m 2又Q杆＝12Q总，所以Q杆＝12mgx sin θ－m3g2R2sin2θB4L4。
【内化模型】单杆+电阻+导轨四种题型剖析【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。
电磁感应中的杆轨模型
目标：1、能够掌握电磁感应中的“杆+导轨” 模型的基本类型。
2、通过力与运动、功与能、动量等方面解决 问题。
“杆(单杆)＋导轨”模型是高考的热点，也是 难点，考查知识点多.按导轨的放置方式可分 为水平、竖直和倾斜；按杆的运动状态可分为 匀速直线运动、匀变速直线运动、变加速直线 运动等，杆的最终状态一般为静止或匀速直线 运动；按磁场的状态可分为恒定不变、均匀变 化和非均匀变化等.情景复杂，形式多变.
如图所示，间距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 与水平面夹角为30°，上端N、Q间连接一阻值为R的电阻，金属 棒ab与导轨接触良好且垂直导轨放置，金属棒长度为L、电阻为r， ab、cd间的距离为L，cd以下存在磁感应强度大小为B、方向与 导轨平面垂直向下的匀强磁场.现在对棒施加一个平行导轨向下的 恒力F，F的大小是棒ab重力的1/2，当棒ab刚通过cd时恰好做匀 速运动，此时突然只将力F反向，经过一段时间后金属棒静止， 已知重力加速度为g，求： (1)金属棒的质量； (2)金属棒通过cd后向下运动的最大距离； (3)整个过程中电阻R上产生的焦耳热.
1.能够掌握电磁感应中的“杆+导 轨”模型的基本类型。
物理：电磁感应中杆——导轨模型专题教案
-7-
（ 2）将右面的半圆环 OL2O’以 OO’为轴向上翻转 90o后，圆环的有效面积为半
圆．其中 B 随时间是均匀变化的，注意此时灯 L1、 L2 是串联的．
区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。现对
a
棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运
图 13
动，此时放在导轨下端的 b 棒恰好静止。当 a 棒运动到磁场的上边界 PQ 处时，撤
去拉力， a 棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动， 此时 b 棒已滑离导
轨。当 a 棒再次滑回到磁场上边界 PQ 处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。已知 a
F=IaLB+magsin θ （2 分） 又： IbLB=mgsin θ （1 分） 解得： F=3.5mgsin θ。 （1 分）
2 电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感
应定律的表达式 E n
n (BS) ,常见的题型有：
t
t
1．B 变化， S 不变
（ 1） B 均匀变化
R总
BLv =
3 sin（ 5
t）（A）
R总 4
3
L=2sin（ x）（m）且 x=vt， 3
电磁感应与力学综合题的解题策略 解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为：
(1) 找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向； (2) 画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向； (3) 分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运 动情况； (4) 列出牛顿第二定律或平衡方程求解．
a g sin 解得
B 2 L2v m(R r )
（1 分）
电磁感应中的“杆+导轨”模型
电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。
根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。
需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。
举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。
根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。
加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。
在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。
需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。
1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。
重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。
高二物理：电磁感应中的“杆+导轨”模型
转到解析
3.规律方法
解决此类问题的分析要抓住三点 (1)杆的稳定状态一般是匀速运动(达到最大速度或最小速度，此时合力 为零)； (2)整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功； (3)电磁感应现象遵从能量守恒定律。
(1)电阻R消耗的功率； (2)水平外力的大小。
答案
B2l2v2 (1)
B2 (2)
l2v＋μmg
R
R
转到解析
【思维训练2】(2016·泰州一模)如图13甲，MN、PQ两条平行的光滑 金属轨道与水平面成θ＝37°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在 空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝ 0.5 T。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为 r。现从静止释放杆ab，测得最大速度为vm。改变电阻箱的阻值R，得 到vm与R的关系如图乙所示。已知轨距为L＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，轨道足够长且电阻不计。求：(1)杆ab下滑过程中感应电流的方 向及R＝0时最大感应电动势E的大小；
2.典例剖析
【思维训练1】(2015·海南单科，13)如图12，两平行金属导轨位于同 一水平面上，相距l，左端与一电阻R相连；整个系统置于匀强磁场中， 磁感应强度大小为B，方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上 ，在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保 持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重 力加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略。求
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物理建模：电磁感应 中的“杆＋导轨”模型
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模型系列
电磁感应中的“杆＋导轨”模型 试题
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典例
解析
(1)因为杆b静止，所以有 F2－B2IL＝mgtan 37°， 而F2＝0.75＋0.2t(N)， 解得I＝0.4t(A)． 整个电路中的电动势由杆a运动产生，故 E＝I(Ra＋Rb)，E＝B1Lv， 解得v＝4t(m/s) 所以杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动． 1 (2)杆 a 在 1 s 内运动的距离 d＝ at2＝2 m. 2
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典例
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【典例2】 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef 水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨 ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上， 各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金 属杆a、b质量均为m＝0.1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其 余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和 竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T．已知从t＝0 时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b 在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75 ＋0.2t(N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
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典例
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(1)求ab棒的加速度大小； (2)求磁感应强度B的大小； (1)1 m/s2 (2)2 T (3)18 J (4)5 s (3)若已知在前2 s内F做功W＝30 J，求前2 s内电路产生的焦 耳热； (4)求cd棒达到最大速度所需的时间． 答案
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典例
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(1)对 ab 棒：Ff＝μmg v＝at F－BIL－Ff＝ma B2L2at F＝m(μg＋a)＋ 2R 由图象信息，代入数据解得：a＝1 m/s2. (2)当 t1＝2 s 时，F＝10 N，由(1)知 B2L2at ＝F－m(μg＋a)，得 B＝2 T. 2R 1 (3)0～2 s 过程中，对 ab 棒，x＝ at2 ＝2 m 2 1
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针对训练
本课内容结束
E q＝ I Δt， I ＝ ， Ra＋Rb
－ －
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典例
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E＝
ΔΦ B1Ld ＝ ， Δt Δt
ΔΦ B1Ld q＝ ＝ ＝0.2 C， Ra＋Rb Ra＋Rb
即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C.
(3)设整个电路中产生的热量为 Q， 由能量守恒定 1 2 律得 W1－Q＝ mv1 ， 2 v1＝at＝8 m/s，解得 Q＝10 J， Rb 从而 Qb＝ Q＝6 J. Ra＋Rb
物理模型
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动 态 分 析
设运动过程中某时刻棒的速度为 v，加速度为 a＝
2 2 F BLv － ，a、v 同向，随 v 的增加，a 减小，当 m mR
BLv a＝0 时，v 最大，I＝ 恒定 R
收 运动形式 尾 状 力学特征 态 电学特征
匀速直线运动 a＝0 v恒定不变 I恒定
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典例
解析
(1)以4 m/s2的加速度做匀加 (1)通过计算判断杆a的运动情况； 速运动 (2)0.2 C (3)6 J (2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量； (3)若从t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
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微专题 方法· 技能· 建模
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1．模型构建 “杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热 点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习 中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)； 导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变 速、非匀变速运动等． 2．模型分类及特点 (1)单杆水平式
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(2)单杆倾斜式
物 理 模 型 动 态 分 析 收 尾 状 态
E 棒释放后下滑， 此时 a＝gsin α ， 速度 v↑―→E＝BLv↑―→I＝R↑― →F＝BIL↑―→a↓，当安培力 F＝mgsin α 时，a＝0，v 最大
运动形式 匀速直线运动 mgRsin α a＝0 v最大 vm＝ B2L2 I恒定
力学特征
电学特征
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典例
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【典例1】 如图甲，电阻不计的轨道MON与PRQ平行放 置，ON及RQ与水平面的倾角θ＝53°，MO及PR部分的匀 强磁场竖直向下，ON及RQ部分的磁场平行轨道向下，磁场 的磁感应强度大小相同，两根相同的导体棒ab和cd分别放置 在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好．棒的质量m＝1.0 kg，R＝1.0 Ω，长度L＝1.0 m与导轨间距相同，棒与导轨间 动摩擦因数μ＝0.5，现对ab棒施加一个方向水平向右，按图 乙规律变化的力F，同时由静止释放cd棒，则ab棒做初速度 为零的匀加速直线运动，g取10 m/s2.
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典例
解析
v2＝at1＝2 m/s 1 2 由动能定理知：W－μmgx－Q＝ mv2 2 代入数据解得 Q＝18 J.
(4)设当时间为t′时，cd棒达到最大速度， FN′＝BIL＋mgcos 53° Ff′＝μFN′ mgsin 53°＝Ff′ B2L2at′ mgsin 53°＝μ ＋mgcos 53° 2R 解得：t′＝5 s.