数学选修2-3第二章测试题及答案
北师大版数学【选修2-3】练习：2.3 条件概率与独立事件(含答案)
第二章 §3一、选择题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85[答案] B[解析] 事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生，依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] 依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－12)×(1－16)＝1－512＝712.3．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )A.12 B.13 C.14 D.23[答案] A[解析] 解法1：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到一等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.二、填空题4．3人独立地破译一个密码，每人破译出密码的概率分别为15，14，13，则此密码被破译出的概率为________．[答案] 35[解析] 可从对立事件考虑，此密码不被译出的概率是⎝⎛⎭⎫1－15×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－13＝45×34×23＝25，所以此密码被破译出的概率是1－25＝35. 5．若P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，P (AB )＝0.2，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. [答案] 23 25[解析] P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.20.3＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.20.5＝25. 三、解答题6．(2014·陕西理，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．[解析] (1)设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P (X ＝4000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C －1C 2C 3)＋P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C.215 D.115[答案] C[解析] 本题主要考查由条件概率分式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C. 2．假日期间，甲去黄山的概率是14，乙去黄山的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( )A.320 B.15 C.25 D.920 [答案] C[解析] 设甲、乙去黄山分别为事件A 、B ，则P (A )＝14，P (B )＝15，∴P ＝1－P (A B )＝1－34×45＝25.3．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] 设“碰到甲班同学”为事件A ，“碰到甲班女同学”为事件B ，则P (A )＝37，P (AB )＝37×12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12，故选A.4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12[答案] B[解析] ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 5．已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.3，现用n 门这样的大炮同时对某一目标射击一次，若要使目标被击中的概率超过95%，则n 的最小整数值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11[答案] B[解析] 把每门大炮射击一次看成做了一次试验，击中目标看成试验成功，则试验成功的概率为0.3，用X 表示这n 门大炮击中目标的次数．事件“目标被击中”即{X >0}，则“目标被击中”的概率为P (X >0)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－0.3)n .为使目标被击中的概率超过95%，则有1－(1－0.3)n >95%，解得n >8.4.根据实际意义，至少要用9门这样的大炮才能使目标被击中的概率超过95%，即n 的最小整数值为9.二、填空题6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．[答案] 0.128[解析] 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由概率乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误； ④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件． 三、解答题8．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？[分析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙为雨天”，则根据题意有P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (A ∩B )＝0.12.问题(1)为求P (A |B )，(2)为求P (B |A )．[解析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝0.120.20＝0.60. [点评] 要弄清所求事件的概率是在什么条件下的发生的概率，以便正确地运用条件概率公式．9．(2014·北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(1)的概率； (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝35×35＋25×25 ＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.10．(2012·全国大纲文，20)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙在一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解析] 记A 1表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B 1表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36， P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.。
数学选修2-3第二章测试题及答案 (1)
数学选修2-3第二章单元测试姓名________________班级_____________总分___________若2(,)XN μσ,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )A ．23397C C B ．2332397397C C +C C C ．514100397C -C C D ．5510097C -C2．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（ ）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．83．正态总体的概率密度函数为2()81()8πx x f x e-∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ） Ａ．0，8B ．0，4Ｃ．0，2Ｄ．0，24．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．595．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 6．设随机变量ξ~B （6，12），则P （ξ=3）的值是（ ） A ．516 B ．316C ． 58D ．387．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）A ．1－k pB ．()k n kp p --1 C.1－()kp -1 D ．()k n kkn p p C --18．若随机变量η的分布列如下：--0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是（ ）Ａ．x ≤2 Ｂ．1≤x ≤2 Ｃ．1＜x ≤2Ｄ．1＜x ＜29．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.32 B. 31C. 1D. 0 10．已知ξ的分布列如下：123414131614并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．2277211．设随机变量X ～N （2，4），则D （21X ）的值等于 ( ) A.1 B.2 C.21 D.412．箱子里有5个黄球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黄球,则放回箱中重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A .35×14B .359⎛⎫ ⎪⎝⎭×49 C .31459C ⎛⎫ ⎪⎝⎭×49D .31449C ⎛⎫ ⎪⎝⎭×59 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(完整版)高二数学理科选修2-3第二章综合测试题
高二数学理科选修2-3第二章综合测试卷班级_______姓名___________分数_____________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．42、已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X 的取值为 （ ） A. 0，1 B. 0，2 C. 1，2 D. 0，1，23、甲、乙两人独立解答某道题，解错的概率分别为a 和b ，那么两人都解对此题的概率是（ ） A ．1-ab B ．(1-a )(1-b ) C ．1-(1-a )(1-b ) D ．a (1-b )+b (1-a )4、在15个村庄中，有7个村庄不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于46781015C C C 的是 （ ）A. (2)P X =B. (2)P X ≤C. (4)P X =D. (4)P X ≤5、盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 （ ） A.15 B.25 C. 13 D. 23 6、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ） A.5216 B.25215 C. 31216 D. 912167、一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A. 0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728 8、已知随机变量X 的分布为则()E X 等于 （ ）A. 0B. －0.2C. －1D. －0.39、随机变量Y ～),(p n B ，且() 3.6E Y =,16.2)(=Y D ，则此二项分布是 （ ）A. (4,0.9)BB. (9,0.4)BC. (18,0.2)BD. (36,0.1)B10、某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是___________。
高中数学选修2-3第二章概率单元测试试题2
选修2-3第二章概率质量检测(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．若X的分布列为则D(X)等于(A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125 C.81125 D.271254．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为()A．0 B．1 C．μ D.μ25．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．－1B ．－12C ．－13D ．－148．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.19．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210×⎝⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568D ．以上都不对 11．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5.76 D ．6.76 12．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理．据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A.706D ．720元第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．14.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．15．如果一个随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，则使得P (ξ＝k )取得最大值的k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ)．19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．答案1．B ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.2．B 由题意知0.5＋a ＝1，E (X )＝0×0.5＋a ＝a ＝0.5，所以D (X )＝0.25.3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫352×25＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.4．C 因为P (X <c )＝P (X >c )，由正态曲线的对称性知μ＝c . 5．A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，所以P (A |B )＝6091，P (B |A )＝60120＝12.故正确答案为A.6．B 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 7．C E (X )＝1×16＋2×23＋3×16＝2， 由Y ＝aX ＋3，得E (Y )＝aE (X )＋3. 所以73＝2a ＋3，解得a ＝－13.8．A 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2)，所以此正态曲线关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.9．C 因为P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.10．DP (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010×⎝⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11．C 由已知D (X )＝6×0.4×0.6＝1.44，则D (η)＝4D (X )＝4×1.44＝5.76.12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝E (3.4ξ－450)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．13.370解析：加工出来的零件的合格品率为 ⎝⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 14．1解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．7,8解析：P (ξ＝k )＝C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，则只需C k 15最大即可，此时k ＝7,8. 16.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 17．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3， p (ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p (ξ＝1)＝C 13(1－0.8)20.8＝0.096， p (ξ＝2)＝C 23(1－0.8)10.82＝0.384，p (ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为ξ18．解：记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3. 由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.所以E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.20．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B ，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.22．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C .P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。
2014-2015学年北师大版数学【选修2-3】：第2章《概率》综合测试(含答案)
第二章综合测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243[答案] D[解析] P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－134＝80243.2．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45[答案] A[解析] ∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.3．从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25[答案] D[解析] 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，选D.4．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38 C.58 D.78[答案] D[解析] 四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2C 14C 33＋A 22C 24C 222＝14，由古典概型的概率得P ＝1416＝78.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确．5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为( )A.112 B ．1 C.8384 D.184[答案] B[解析] 设事件A 表示“抽取第一只为好的”，事件B 为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P (A )＝A 17A 19A 210＝710，P (AB )＝A 17A 13＋A 17A 16A 210＝710，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1. 6．(2011·湖北)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[答案] B[解析] 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P k ·P ＝0.9×0.96＝0.864.7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2) [答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决： P ′＝P 1(1－P 2) ②甲没解决乙解决： P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)． 8．设随机变量X 服从正态分布N (2,2)，则D ⎝⎛⎭⎫12X 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．4[答案] C[解析] 由X ～N (2,2)，即D (X )＝2， ∴D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝12. 9．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )A.5216B.25216 C.31216 D.91216[答案] D[解析] 质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为5×5×56×6×6＝125216，由对立事件的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－125216＝91216.故选D. 10．(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)[答案] C[解析] p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ×12＝2m ＋n2(m ＋n )，p 2＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n 3(m ＋n )(m ＋n －1)，p 1－p 2＝2m ＋n 2(m ＋n )－3m 2－3m ＋2mn ＋n 23(m ＋n )(m ＋n －1)＝5mn ＋n (n －1)6(m ＋n )(m ＋n －1)>0，故p 1>p 2，E (ξ1)＝0×⎝⎛⎭⎫n m ＋n ×12＋1×2m ＋n 2(m ＋n )＝2m ＋n2(m ＋n )，E (ξ2)＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n3(m ＋n )(m ＋n －1)，由上面比较可知E (ξ1)>E (ξ2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．[答案]370[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法． 设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． P (A )＝1－P (A )＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.12．某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分钟)服从正态分布N (50,102)．则他在30～70分钟内赶上火车的概率为________．[答案] 0.954[解析] 因为X ～N (50,102)．即μ＝50，σ＝10，所以P (30<X <70)＝P (50－2×10<X <50＋2×10)＝0.954.13.(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．[答案] 34[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P＝1－P 1＝34.14．某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为________．[答案] 13[解析] 设事件A “能活到10岁”，事件B 为“能活到15岁”， 则P (A )＝0.9，P (B )＝0.3，而所求的概率为P (B |A )由于B ⊆A ，故A ∩B ＝B ，于是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.30.9＝13. 15．(2012·新课标理，15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[答案] 38[解析] 本题考查了正态分布有关知识．三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p ＝12.超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－p )2＝34，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p 2＝p 1×p ＝38.正确理解正态分布的意义是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率．[解析] (1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1238＋135＝1335. [点评] 建立超几何分布的关键是求得P (X ＝k )的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求得取其他值的概率，建立分布列．17．(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种．X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.18．(2013·湖南理，18)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解析] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.19．某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定使总费用最少的预防方案．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)[分析] 本题是一道期望应用题．根据题意，应分别求出①不采取任何措施，②单独采取甲措施，③单独采取乙措施，④联合采取甲、乙措施，这四种情况的总费用，比较总费用，少者为应选方案．[解析] ①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，故总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为400×0.15＝60(万元)，故总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，损失期望值为400×0.015＝6(万元)，故总费用为75＋6＝81(万元)．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．[点评] 理解题意，将实际问题数学化，进而通过比较四种情况下的总费用多少来解决实际问题．20．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n 为正整数)． (1)求S 8＝2的概率； (2)求S 2≠0且S 8＝2的概率．[分析] (1)要使S 8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，则S 8＝2的概率可看作是求8次独立重复试验中成功5次的概率；(2)S 2≠0，即前两次同时出现正面或同时出现反面，此时S 2＝2或S 2＝－2，由此分析S 8＝2的概率可看作是求6次独立重复试验中成功3次或5次的概率．[解析] (1)S 8＝2的概率为C 58×⎝⎛⎭⎫125×⎝⎛⎭⎫123＝732. (2)①当前两次同时出现正面时，则后6次出现3次正面，相应的概率为12×12×C 36×(12)3×(12)3＝564. ②当前两次同时出现反面时，则后6次出现5次正面，相应的概率为12×12×C 56×(12)5×(12)1＝3128. 所以S 2≠0且S 8＝2的概率为564＋3128＝13128.[点评] 此题以数列的和为载体，解题时需理解a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时的含义．实际上，此题是一个典型的n 次独立重复试验成功k 次的问题，不过用相关知识前，需要进行有效的转化．21．(2014·山东理，18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。
数学：第二章《随机变量及其分布》测试(1)(新人教A版选修2-3)
高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定 答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元答案：Ａ 二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于 ． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果． 则该公司一年后估计可获收益的均值是 元． 答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人． 解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． 解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤． 设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值． 解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=． （1） 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···． （2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。
高中数学 人教A版 选修2-3离散型随机变量
第二章 2.1 2.1.1离散型随机变量【基础练习】1．下面给出三个变量：①2018年10月北京市下雨的天数ξ；②从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数η；③一同学放学后到食堂就餐，到达某个窗口时已经在此排队的学生数X.其中是随机变量的是()A．②B．①③C．②③D．①②③【答案】C2．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率【答案】B3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2颗都是4点B．1颗是1点，另1颗是3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另一颗是3点，或者2颗都是2点【答案】D4.(2019年西安月考)抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A.0≤ξ≤5,ξ∈NB.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈ND.-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D5．一盒乒乓球共15个，其中有4个是已用过的，在比赛时，某运动员从中随机取2个使用，比赛结束后又放回盒中，则此盒中已用过的乒乓球个数的所有可能取值是________．【答案】4,5,66．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X ＝4表示的试验结果是________．【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标7．某校为学生定做校服，规定凡身高(精确到1 cm )不超过160 cm 的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm 的学生，身高每超出1 cm 多交5元钱．若学生应交校服费为η，学生身高用ξ表示，则η和ξ是否为离散型随机变量？【解析】由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且ξ取整数值，因此ξ是一个离散型随机变量．而η＝⎩⎪⎨⎪⎧80，ξ≤160，(ξ－160)×5＋80，ξ＞160，所以η也是一个离散型随机变量． 8．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的次数为ξ.【解析】(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．【能力提升】9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前4次击中目标 【答案】C【解析】ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．故选C.10．袋中装有号码分别为1,2,3,4,5的5张卡片，从中有放回地抽2张卡片，记顺次抽出的2张卡片号码之和为X ，则“X ＝4”所表示的试验结果是( )A ．抽到4号卡片B ．抽到4张号码为1的卡片C ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号D ．第一次抽到1号，第二次抽到3号；或第一次抽到3号，第二次抽到1号；或两次都抽到2号【答案】D【解析】“x ＝4”表示抽出的2张卡号码之和为4，有1＋3,3＋1,2＋2共3种情况．11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【答案】100，－100,300，－300【解析】由题意得，结果有4种情况，①答对3题，得300分；②答对2题，得100分；③答对1题，得－100分；④全部答错，得－300分．12．某同学的钱夹只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各1张，他决定随机抽出2张．用ξ表示这两张金额之和．写出ξ的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．【解析】ξ的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.ξ＝3表示抽到的是1元和2元；ξ＝6表示抽到的是1元和5元；ξ＝7表示抽到的是2元和5元；ξ＝11表示抽到的是1元和10元；ξ＝12表示抽到的是2元和10元；ξ＝15表示抽到的是5元和10元；ξ＝21表示抽到的是1元和20元；ξ＝22表示抽到的是2元和20元；ξ＝25表示抽到的是5元和20元；ξ＝30表示抽到的是10元和20元．。
数学选修2-3真题及解析Ⅱ
数学选修2-3真题及解析Ⅱ单选题（共5道）1、在等差数列{an}中，a5=30，a8=15，则（x-1）5+（x-1）6的展开式中含x4项的系数是该数列的（）A第13项B第9项C第7项D第6项2、已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212B211C210D293、卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元。
该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望值是（1年按365天计算）（）A90元B45元C55元D60.82元4、袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码。
在有放回的抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是[]A25B10C9D55、在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有A6种B36种C72种D120种简答题（共5道）6、一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X 的分布列．7、某生物兴趣小组对A、B两种植物种子的发芽率进行验证性实验，每实验一次均种下一粒A种子和一粒B种子．已知A、B两种种子在一定条件下每粒发芽的概率分别为．假设两种种子是否发芽互相不受影响，任何两粒种子是否发芽互相也没有影响．（1）求3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；（2）求A、B各3粒种子，A至少2粒发芽且B全发芽的概率；（3）假设对B种子的实验有2次发芽，则终止实验，否则继续进行，但实验的次数最多不超过5次，求对B种子的发芽实验终止时，实验次数ξ的概率分布和数学期望．8、一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3场后退出了比赛，且这两名棋手之间未进行比赛，最后比赛共进行了72场，问一开始共有多少人参加比赛？9、36.求：（12分）(1)甲独立解出该题的概率;(2)解出该题的人数的数学期望.10、2010年广州亚运会乒乓球团体赛中，每场比赛女选手采用三局两胜制，男选手采用五局三胜制，按选手实力估计，每位中国男、女选手战胜国外对应选手的概率大致为．（1）求中国某男选手甲以3：2战胜国外男选手乙的概率；（2）用概率知识解释每场比赛中，赛制对中国男选手有利还是对中国女选手更有利．（3）中国女选手丙与国外女选手丁比赛中，求丁获胜局数ξ的分布列和数学期望．填空题（共5道）11、1＋3＋32＋…＋399被4除，所得的余数为________．12、(x-)8的展开式中x2的系数为______．13、的展开式中的第四项是（）。
2018年秋人教B版数学选修2-3练习：第二章检测
第二章检测(时间:90分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )A B C D解析:事件A,B中至少有一件发生的概率是1-P()=1-答案:C2.一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率依次为,若三人独立解答,则仅有1人解出的概率为( )A BC D.1解析:P===答案:B3.已知随机变量ξ的概率分布如下:ξ12345678910P m则P(ξ=10)等于( )A B C D解析:利用概率和为1求解.因为+…+=2=1-,所以P(ξ=10)=1-答案:C4.设随机变量X的等可能的取值为1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么( )A.n=3B.n=4C.n=10D.n不能确定解析:∵X是等可能地取值,∴P(X=k)=(k=1,2,…,n).∴P(X<4)==0.3.∴n=10.答案:C5.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8,若有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有两台机床需要工人照看的概率是( )A.0.153 6B.0.180 8C.0.563 2D.0.972 8解析:至多有两台机床要照看包括:没有需要照看的机床,有一台需要照看,有两台需要照看.故一小时内至多有两台机床要照看的概率为P=0.84·0.20+0.83·0.21+0.82·0.22=0.972 8.答案:D6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析:E(X)=1 000×0.1×2=200.答案:B7.已知市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A.0.665B.0.56C.0.24D.0.028 5解析:记A为“甲厂产品”,B为“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.答案:A8.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为( )A BC D解析:任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,共有=648(个),其中能被3整除的三位数有12+30=228(个),故不能被3整除的数有420个,其概率为答案:B9.某停车场能把12辆车排成一列停放,设每辆车的停放位置是随机的,若有8个车位放了车,而4个空位连在一起,这种情况发生的概率等于( )A BC D解析:12个车位停放8辆车共有种停法,将其中4个空位“捆绑”,插空,共有9种插法,所以所求概率为答案:C10.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为( )A BC D解析:由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.已知口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球的概率为0.4,摸出黄球的概率为0.35,则摸出白球的概率是 .解析:记事件A,B,C分别为“摸出一球是红球”“摸出一球是黄球”“摸出一球是白球”,则A,B,C互斥,且A∪B∪C为必然事件,故P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.4-0.35=0.25.答案:0.2512.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 .解析:加工出来的零件的合格品率为P=,所以次品率为1-P=答案:13.某射手平均5发子弹命中3发,为使他至少有1发命中的概率大于0.999,应该让他射击的次数至少是 .解析:设至少射击n次,则1-(1-0.6)n>0.999,即1-0.4n>0.999,0.4n<0.001.所以n lg 0.4<lg 0.001=-3.所以n>7.5.所以n的最小值为8.答案:814.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=0,1,2,…,300),则E(ξ)= . 解析:由题意,得ξ~B,所以E(ξ)=300=100.答案:10015.运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为,则他的得分期望为 .解析:设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P(ξ=4)==0.129 6,P(ξ=3)==0.345 6,P(ξ=2)==0.345 6,P(ξ=1)==0.153 6,P(ξ=0)==0.025 6.由题意可知P(η)=P(ξ),所以E(η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.答案:51.552三、解答题(本大题共3小题,共25分)16.(8分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01):(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率.(2)平均有多少家煤矿必须整改?(3)至少关闭一家煤矿的概率.分析根据独立重复试验与相互独立事件的概率求解.解:(1)每家煤矿必须整改的概率是(1-0.5),且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P1=(1-0.5)2×0.53=0.31.(2)由题设,必须整改的煤矿数X服从二项分布B(5,0.5),从而X的数学期望是E(X)=5×0.5=2.5,即平均有2.50家煤矿必须整改.(3)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1.从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,故至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95≈0.41.17.(8分)如图所示,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望E(V).解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此V=0的概率为P(V=0)=(2)V的所有可能取值为0,,因此V的分布列为V0P由V的分布列可得E(V)=018.(9分)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.解:(1)ξ的分布列为ξ01234P所以E(ξ)=0+1+2+3+4D(ξ)=(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4,故即为所求.。
2012年人教B数学选修2-3：第2章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A ．两次掷得的点数B ．两次掷得的点数之和C ．两次掷得的最大点数D ．第一次掷得的点数与第二次掷得的点数差解析：选A.两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．2．若随机变量ξ)A.0B.215C.115D ．1 解析：选B.由15＋23＋p 1＝1.得p 1＝215. 3．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2600元解析：选 B.出海效益的期望E (ξ)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．4．一射手对靶射击，直到命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：选C.ξ＝k 表示第(4－k )次命中目标，其分布列为P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6，P (ξ＝1)＝0.42×0.6，P (ξ＝0)＝0.43×0.6，∴Eξ＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.故选C.5．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227解析：选A.连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫1－132＝49. 6．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe －(x －80)2200，则下列命题中不正确的是( ) A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10解析：选B.利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A 、D 正确，利用正态曲线关于直线x ＝μ＝80对称，知P (ξ＞110)＝P (ξ＜50)，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相等，故C 正确，故选B.7．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析：选B.E (ξ)＝np ＝2.4，D (ξ)＝np (1－p )＝1.44，解得n ＝6，p ＝0.4.8．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2解析：选C.∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2.9．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，以ξ表示取到的白球个数，η表示取到的黑球个数，则( )A ．Eξ＝Eη且Dξ＝DηB ．Eξ＝3－Eη且Dξ＝3－DηC ．Eξ＝Eη且Dξ＝3－DηD ．Eξ＝3－Eη且Dξ＝Dη解析：选D.∵ξ＋η＝3，∴η＝3－ξ，∴Eη＝3－Eξ，且Dη＝(－1)2Dξ，故选D.10．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ＝“甲骰子的点数小于3”，事件B ＝“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值为( )A.13B.118C.16D.19 解析：选C.P (A ∩B )＝26×6＝118，P (A )＝C 12C 166×6＝13， ∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝26×6C 12C 166×6＝16. 11．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( ) A ．3 B ．5C ．10D ．15解析：选D.由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n，k ＝1,2，3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15. 12．一台仪器每启动一次都随机出现一个10位的二进制数A ＝a 1a 2a 3…a 10，其中A 的各位数字中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4，…，10)出现0的概率为13，出现1的概率为23.例如A ＝1001110001，其中a 2＝a 3＝a 7＝a 8＝a 9＝0，a 1＝a 4＝a 5＝a 6＝a 10＝1，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10.当启动仪器一次时，ξ＝3的概率为( )A.32019683B.2246561C.162187D.326561解析：选C.P (ξ＝3)＝C 29·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫137＝162187.二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)13．已知随机变量ξ～B (5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝________. 解析：E (ξ)＝53，E (η)＝2E (ξ)－1＝73. 答案：7314．设离散型随机变量X ～N (0,1)，则P (X ≤0)＝________；P (－2＜X ＜2)＝________. 解析：正态曲线的对称轴为x ＝0，∴P (X ≤0)＝P (X ＞0)＝12； P (－2＜X ＜2)＝P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954.答案：120.954 15解析：1234Eξ1＝0.25×50＋0.3×65＋0.45×26＝43.7；Eξ2＝0.25×70＋0.3×26＋0.45×16＝32.5；Eξ3＝0.25×(－20)＋0.3×52＋0.45×78＝45.7；Eξ4＝0.25×98＋0.3×82＋0.45×(－10)＝44.6.比较后选A 3.答案：A 316．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：当l 的斜率k 为±22时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下： ∴EX ＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47. 答案：47三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不完的鲜花以每束1.6元处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量(单位：束)ξ的分布列是若节前进这种鲜花)η的期望．解：由题意得E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．而利润η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故所求利润的期望为706元．18．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3)＝P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A－1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 2)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．解：(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p ，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为(1－p )2，由题意知1－(1－p )2＝0.36，解得p ＝0.2.(2)解出该题的人数ξ∴E (ξ)＝0×0.64＋1×20．(2010年高考江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解：(1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X(2)设生产的4(4－n )件．由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145， 又n ∈N ，得n ＝3或n ＝4.所以P ＝C 34·0.83·0.2＋C 44·0.84＝0.8192. 故所求概率为0.8192.21．(2011年高考江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)． 即(2)令Y 则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝835， P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝5370. E (Y )＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280. 所以此员工月工资的期望为2280元．22．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881.(3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i ＝(i ＝1,2,3)．由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827.所以ξ的分布列是：。
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数学选修2-3第二章单元测试
姓名________________班级_____________总分___________
若2(,)X
N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）
1．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )
A ．23
397C C B ．2332397397C C +C C C ．514100397C -C C D ．5510097C -C
2．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概
率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（ ）
Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8
3．正态总体的概率密度函数为2
()8
()
x x f x -
∈R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ） Ａ．0，8
B ．0，4
Ｃ．0，2
Ｄ．0，2
4．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出
红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59
5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产
品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 6．设随机变量ξ~B （6，
12
），则P （ξ=3）的值是（ ） A ．516 B ．316
C ． 58
D ．38
7．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）
A ．1－k p
B ．()k n k
p p --1 C.1－()k
p -1 D ．()k n k k
n p p C --1
8．若随机变量η
则当()0.8P x η<=
Ａ．x ≤2 Ｂ．1≤x ≤2 Ｃ．1＜x ≤2
Ｄ．1＜x ＜2
9．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.
32 B. 3
1
C. 1
D. 0 10．已知ξ的分布列如下：
4
并且23ηξ=+，则方差D η=（ Ａ．
17936
Ｂ．
143
36
Ｃ．
299
72
Ｄ．
227
72
11．设随机变量X ～N （2，4），则D （2
1
X ）的值等于 ( )
A.1
B.2
C.2
1 D.4
12．箱子里有5个黄球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黄球,则放回箱中重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在4次取球之后停止取球的概率为( )
A .35×14
B .3
59⎛⎫ ⎪⎝⎭×49 C .3
1459C ⎛⎫ ⎪⎝⎭×49 D .3
1449C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
×59
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把最佳的答案填在该题的横线上）
13. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互
之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．
14. 设(1,1)X N ，则(34)P X <≤= .
15．已知二项分布满足2
(6,)3
X
B ，则P(X=2)=_________， EX= _________．
16．有4台设备，每台正常工作的概率均为0.9，则4台中至少有3台能正常工作的概率为 ．（用小数作答） 17.若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为
则E ξ的最大值为 ，D ξ的最大值为 ．
18．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．
三、解答题：（本大题共4小题，共60分。
写出详细的解答或证明过程） 19 ．(本小题满分14分)
如图,一个正方形被平均分成9个部分,向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ,求P (A|B )、P (AB ).
20． (本小题满分14分)
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（1,2,3,4n =）．现从袋中任意取一球，ξ表示所取球的标号． （1）求ξ的分布列、期望和方差；
（2）若a b ηξ=+，E η=1，D η=11，试求a 、b 的值．
ξ
1 2
P
12－p
p 1
2
21．(本小题满分16分)
某射击运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为ξ．（1）求该运动员两次都命中7环的概率．
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．
22．(本小题满分16分)
已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为1
5
．
（1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置几门这类高射炮？（参考数据lg20.301
=，lg30.4771
=）
参考答案
一、选择题
二、填空题
13、①③ 14、0.0215 15、20
243
，4 16、0．9477 17、
3
2
；1 18、乙 19解:用μ(B )表示事件B 区域的面积,μ(Ω)表示大正方形区域的面积,由题意可知:
P (AB )=()()AB μμΩ=19,P (B )=()()B μμΩ=49,
P (A |B )=()()P AB P B =14
. 20. 解：（1）由题意，得ξ的可能值为0，1，2，3，4．
101(0)202P ξ==
=
，1
(1)20P ξ==，
21(2)2010
P ξ==
=，
3(3)20
P ξ==
，
41
(4)
P ξ===，则ξ的分布列为：
∴ 01234 1.522010205
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
()()()()()22222
111310 1.51 1.52 1.53 1.54 1.522010205
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=2.75．
（2）由2
D a D ηξ=，
E aE b ηξ=+，得
22.75111.51a a b ⎧=⎨+=⎩得1122a b =⎧⎨=-⎩或222
4
a b =-⎧⎨
=⎩为所求．
21．解： (1) 设“该运动员两次都命中7环”为事件A ，因为该运动员在两次射击中，第一次射中7环，第二次也射中7环，故所求的概率P （A ）=0.2×0.2=0.04
(2) ξ可取7、8、9、10 (7)0.04P ξ== 2(8)20.20.30.30.21P ξ==⨯⨯+=
2(9)20.20.320.30.30.30.39P ξ==⨯⨯+⨯⨯+=
(10)1(7)(8)(9)0.36P P P P ξξξξ==-=-=-== 故ξ的分布列为
E ξ 9.07=
22.解（1）设敌机被各炮击中的事件分别记为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，那么5门炮都未
击中敌机的事件为54321A A A A A C ⋅⋅⋅⋅=，因各炮射击的结果是相互独立的，所
以512345()()()()()()[()]P C P A P A P A P A P A P A =⋅⋅⋅⋅=55
514[1()]155P A ⎛⎫⎛⎫
=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因此敌机被击中的概率为5
42101
()1()153125
P C P C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．
（2）设至少需要置n 门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机，由①可知
491510
n
⎛⎫
-> ⎪⎝⎭ ，即 41510n
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
， 两边取常用对数，得3.103010
.0311
2lg 311≈⨯-≈->n ，
∴n ≥11．
即至少需要布置11门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机．。