2013年全国高考试题分类汇编：空间几何体的表面积和体积
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)7：立体几何 )
2013年高考解析分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。
由三视图可知该几何体是个四棱柱。
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。
上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3C．3D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH ⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然2223a CH a ⨯===，所以223sin 3a CDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )
图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。
高考数学一轮复习 试题选编19 空间几何体的表面积与体积
江苏省2014届一轮复习数学试题选编19：空间几何体的表面积与体积（教师版）填空题1 ．（2013江苏高考数学）如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】解析:本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识.设三棱柱高为h ,底面ABC ∆面积为S ,∴三棱柱ABC C B A -111的体积为Sh V =2∵F 是1AA 的中点 ∴2:1:1=h h ∵F E ，分别是AC AB ，的中点∴4:1:1=s s ∴2412141313131111121121=∙∙====--h h S S Sh h S V V V V C B A ABC ADEF 棱柱三棱锥 2 ．（2012年江苏理）如图,在长方体1111ABCD ABC D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为____cm 3.【答案】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD中BD BDcm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯. 3 ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上,且底面ABCD 是边长为1的正方形,ABCD PA ⊥,2=PA ,则该球的体积为______.A BC AD E FB C【答案】34π4 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知一个正六棱锥的高为10cm,底面边长为6cm,则这个正六棱锥的体积为________cm 3.【答案】5 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水,且侧棱长18AA =,若侧面11AA B B 水平放置时,液面恰好过1111,,,AC BC ACB C 的中点,当底面ABC 水平放置时,液面高度为__________.【答案】66 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在三棱锥P-ABC 中,PA=PB =PC=侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为_______. 【答案】43π7 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）有一个正四面体的棱长为3,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小半径为________.【答案】8 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为3,则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】3π9 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是________.【答案】10．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为2,E ,F 分别为BC ,DC 的中点,沿AE ,EF ,AF 折成一个四面体,使B ,C ,D 三点重合,则这个四面体的体积为_________.【答案】13; 11．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3AB AD cm ==,12AA cm =,则三棱锥11A B D D -的体积为_______3cm .A 1B 1DC B AD 1C 1【答案】312．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等,现沿PA ,PB ,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为____.【答案】9;解答题13．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）直三棱柱111C B A ABC -中,a BC BB AB ===211,︒=∠90ABC ,N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点. (Ⅰ)求证:⊥CF 平面NFB ;(Ⅱ)求四面体BCN F -的体积.【答案】(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ,∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又N 、F 分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点∴AB ∥A 1B 1∥NF .∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C .所以NF ⊥FC .取BC 中点G ,有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ,又 NF FB =F ,∴FC ⊥平面NFB(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 11NF BCC B ⊥平面,111122NF A B a ==, NF BB BC NF S V V BCF BCF N BCN F ⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--1213131 36121261a a a a =⋅⋅⋅= 14．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）如图,在矩形ABCD 中,AD =2,AB =4,E ,F 分别为边AB ,AD的中点.现将△ADE 沿DE 折起,得四棱锥A -BCDE .(1)求证:EF ∥平面ABC ;(2)若平面ADE ⊥平面BCDE ,求四面体FDCE 的体积.【答案】证明:(1)取线段AC 的中点M ,连结MF 、MB .因为F 为AD 的中点,所以MF ∥CD ,且MF =12CD 在折叠前,四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点,所以BE ∥CD ,且BE =12CD . 所以MF ∥BE ,且MF =BE所以四边形BEFM 为平行四边形,故EF ∥BM .又EF ⊄平面ABC ,BM ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC(2)在折叠前,四边形ABCD 为矩形,AD =2,AB =4,E 为AB 的中点,所以△ADE 、△CBE 都是等腰直角三角形,且AD =AE =EB =BC =2.所以∠DEA =∠CEB =45°,且DE =EC =2 2.又∠DEA +∠DEC +∠CEB =180°,所以∠DEC =90°.（第16题图）又平面ADE ⊥平面BCDE ,平面ADE ∩平面BCDE =DE ,CE ⊂平面BCDE ,所以CE ⊥平面ADE ,即CE 为三棱锥C -EFD 的高因为F 为AD 的中点,所以S △EFD =12×12×AD ·AE =14×2×2=1. 所以四面体FDCE 的体积V =13×S △EFD ·CE =13×1×2 2=2 2315．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AD⊥平面A 1BC,其垂足D 落在直线A 1B 上.(1)求证:平面A 1BC⊥平面ABB 1A 1;(2)若3=AD ,AB=BC=2,P 为AC 中点,求三棱锥1P A BC -的体积.【答案】证:直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,A A 1⊥平面ABC,∴A A 1⊥BC,∵AD⊥平面A 1BC,∴AD⊥BC,∵A A 1 ,AD 为平面ABB 1A 1内两相交直线,∴BC⊥平面ABB 1A 1,又∵BC ⊂平面A 1BC,∴平面A 1BC⊥平面ABB 1A 1(2) 由等积变换得11P A BC A PBC V V --=,在直角三角形1A AB 中,由射影定理(12BA BD AB ⋅=)知321=AA ,∵1AA PBC ⊥平面,∴三棱锥的高为1AA =又∵底面积1PBC S ∆=∴11P A BC A PBC V V --==113PBC S AA ∆⨯=法二:连接CD ,取CD 中点Q ,连接PQ ,∵P 为AC 中点,1//,2PQ AD PQ AD ∴=3AD =PQ ∴由(1)AD⊥平面A 1BC,∴PQ ⊥平面A 1BC,∴PQ 为三棱锥P- A 1BC 的高, 由(1)BC⊥平面ABB 1A 1 1BC BA ∴⊥,PBC 4S ∆∴=1P-A BC V ∴=16．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAB 是等边三角形,侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形,E 为CD 的中点,M 为SB 的中点.(1)求证://CM 平面SAE ;(2)求证:SE ⊥平面SAB ;(3)求三棱锥S AED -的体积.B【答案】17．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,PB⊥平面ABCD,CD⊥BD,PB=AB=AD=1,点E在线段PA上,且满足PE=2EA.(1)求三棱锥E-BAD的体积; (2)求证:PC//平面BDE.【答案】。
2013届高考理科数学一轮复习课件8.2空间几何体的表面积、体积
解析
已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母 线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全 面积公式可求．如图，设圆锥轴截面三角形的边长为 a， 则 43a2＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2，
∴圆锥的全面积：S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.
2．正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形， 则此三棱锥的体积为________．
∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2.
∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2.
∴所求多面体的体积为
2 2.
【答案】 A
探究 3 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割， 化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体 体积．
(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后 进行计算．
2 A. 2
2 C. 4
3 B. 3 D. 2
【解析】 以正方形 ABCD 为底面，DD1 为棱将上 图补成一个正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1，如下图所示，
∵截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的二面角． ∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一 半． ∵AA1＝CC1，易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成 的二面角的平面角． ∴∠D1BD＝45°.
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第八章 立体几何
第2课时 空间几何体的表面积、体积
2012·考纲下载
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能 正确描述现实生活中简单物体的结构．
2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式．(不要求记忆公式)
请注意！
柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几 何的基础，而它们的面积与体积(尤其是体积)是高考热点.
2013年高考数学试题（8）立体几何
1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。
都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。
则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。
所以的中点。
所以BC 是EFG D 的中位线。
故BC EF ∥。
（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。
2013年高考数学分类试题汇编：立体几何(理科(高考必看典藏版))
12012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．BCD2 ．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18 3 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直4 ．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a 的棱与长,则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5 ．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ,则A 、P 两点间的球面距离为 （ ） A ．arccos4R B ．4R πC ．arccos3R D ．3R π6 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 7 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则2（ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8 ．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）A．BCD ．359 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为10．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是11．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A．d ≈ B．d C．d ≈D(一)必考题(11—14题) 12．（2012年高考（湖北理）何体的体积为 A 图1 B C D侧视图正视图 俯视图3A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π13．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π14．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ） A ．球 B ．三棱柱 C ．正方形 D ．圆柱 15．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ）A ．2 BC．D ．116．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A．28+ B．30+C．56+D．60+17．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件 二、填空题 18．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为______3m .419．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3.20．（2012年高考（四川理））如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.21．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。
2013高考数学各省题目分类整理：立体几何基础
2013高考：立体几何基础【2013高考题组】（一）三视图问题1、（2013北京，文10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 。
第1题图 第2题图2、（2013全国课标I ，文11理8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、168π+ B 、88π+ C 、1616π+ D 、816π+3、（2013全国课标II ，文9理7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画出该四面体三视图中的正视图，以zOx 平面为投影面，得到的正视图可以为（ ）(A) (B) (C)(D)俯视图正（主）视图侧视图俯视图4、（2013山东，文4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是（ ）A 、8B 、83C 、1)，83D 、8，8第4题图 第5题图 第6题图 第7题图5、（2013浙江，文5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 、108cm 3 B 、100cm 3 C 、92cm 3 D 、84cm 36、（2013浙江，理12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 cm 3。
7、（2013福建，理12）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 。
8、（2013辽宁，文理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 。
第8题图 第9题图 第10题图9、（2013陕西，文12）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 。
10、（2013陕西，理12）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 。
11、（2013湖南，文7）已知正方体棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，的矩形，则该正方体的正视图的面积为（ ）A B 、1 C D12、（2013湖南，理7）已知棱长为1的的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A 、1BC D13、（2013江西，文8）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 、2009π+ B 、20018π+ C 、1409π+ D 、14018π+第13题图 第14题图 14、（2013湖北，理8）一个简单几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则由（ ）A 、1243V V V V <<<B 、1324V V V V <<<C 、2134V V V V <<<D 、2314V V V V <<< 15、（2013湖北，文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。
2013年全国高考数学第二轮复习 专题五 立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 理
专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积真题试做1．(2012·某某高考，理4)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )．A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱2．(2012·高考，理7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．A．28＋6 5 B．30＋65C．56＋12 5 D．60＋12 53．(2012·某某高考，理6)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )．A．12π B．45π C．57π D．81π4．(2012·某某高考，理12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是__________．5．(2012·某某高考，理18)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD 的体积．考向分析通过对近几年高考试题的分析可看出，空间几何体的命题形式比较稳定，多为选择题或填空题，有时也出现在解答题的某一问中，题目常为中低档题．考查的重点是直观图、三视图、面积与体积等知识，此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题交汇，是每年的必考内容．预计在2013年高考中：对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过此类题考查考生的空间想象能力；对表面积和体积的考查，常见形式为蕴涵在两个几何体的“切”或“接”形态中，或以三视图为载体进行交汇考查，此块内容还要注意强化几何体的核心——截面以及补形、切割等数学思想方法的训练．热点例析热点一空间几何体的三视图与直观图【例１】(1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )．(2)若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．规律方法(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正(主)视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正(主)视图对正，画在正(主)视图的正下方；侧(左)视图要画在正(主)视图的正右方，高度要与正(主)视图平齐；(2)要注意到在画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线；A．32 B ．16＋16 2 C ．48 D ．16＋32 2(2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )．A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2 热点二 空间几何体的表面积与体积【例２】(2011·某某高考，文20)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积．规律方法 (1)求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地考虑．对于规则的几何体的体积，如求三棱锥的体积，采用等体积转化是常用的方法，转化的原则是其高与底面积易求；对于不规则几何体的体积常用割补法求解，即将不规则几何体转化为规则几何体，以易于求解．(2)求解几何体的表面积时要注意S 表＝S 侧＋S 底．(3)对于给出几何体的三视图，求其体积或表面积的题目关键在于要还原出空间几何体，并能根据三视图的有关数据和形状推断出空间几何体的线面关系及相关数据，体积或表面积的求解套用对应公式即可．变式训练2 已知某几何体的三视图如下图所示，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )．A ．24－32π B．24－13πC．24－π D．24－12π热点三 多面体与球【例３】已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a . (1)求它的外接球的体积； (2)求它的内切球的表面积．规律方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般先过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)若球面四点P ，A ，B ，C 构成的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．变式训练3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a .若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是__________．思想渗透立体几何中的转化与化归思想求空间几何体的体积时，常常需要对图形进行适当的构造和处理，使复杂图形简单化，非标准图形标准化，此时转化与化归思想就起到了至关重要的作用．利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积法，具体运用如下：(1)补法是指把不规则的(不熟悉或复杂的)几何体延伸或补成规则(熟悉的或简单的)的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；(2)割法是指把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体；(3)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件转化为易求的面积(体积)问题．【典型例题】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积．(1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG =12BB 1. 由直棱柱知，AA 1BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG AD ， 所以四边形EGAD 是平行四边形， 所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ， 所以V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC .由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12.1．(2012·某某某某三月模拟，4)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，其正(主)视图如图所示，则此三棱柱侧(左)视图的面积为( )．A ．2 2B ．4C ． 3D ．2 32．(2012·某某某某二模，7)一空间几何体的三视图如图所示(正(主)、侧(左)视图是两全等图形，俯视图是圆及圆的内接正方形)，则该几何体的表面积是( )．A ．7π cm 2B ．(5π＋43)cm 2C ．(5π＋23)cm 2D ．(6π＋27－2)cm 23．(2012·丰台区三月月考，4)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A ．20－2π B．20－23πC．40－23π D．40－43π4．(2012·某某株洲下学期质检，14)一个三棱锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如下，则这个三棱锥的体积为__________，其外接球的表面积为__________．5．已知正四面体的外接球半径为1，则此正四面体的体积为__________．6．在正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为__________．7．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合，求形成三棱锥的外接球的体积．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．D 2．B 3．C 4．925．解法一：(1)如图所示，连接AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE . (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin∠PBA ＝PA PB ，sin∠BPF ＝BF PB， 所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形， 故GD ＝BC ＝3，于是AG ＝2.在Rt△BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA＝13×16×855＝128515. 解法二：如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设PA ＝h ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD ＝(－4,2,0)，AE ＝(2,4,0)，AP ＝(0,0，h )．因为·CD AE ＝－8＋8＋0＝0，·CD AP ＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)由题设和(1)知，CD ，PA 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量． 而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈CD ，PB 〉|＝|cos 〈PA ，PB 〉|， 即||||CD PB CD PB ⋅＝||||PA PBPA PB ⋅.由(1)知，CD ＝(－4,2,0)，PA ＝(0,0，－h )． 又PB ＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025·16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ·16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】(1)D (2)B 解析：(1)被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D 符合．(2)由正视图可排除A ，C ；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.【变式训练1】(1)B (2)D【例2】(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CE . 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD . 又PA ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD . (2)解：由(1)可知CE ⊥AD .在Rt△ECD 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1. 又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ， 所以四边形ABCE 为矩形．所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52.又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，所以V 四棱锥P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PA ＝13×52×1＝56.【变式训练2】A【例3】解：如图所示，△SAC 的外接圆是外接球的一个大圆，∴只要求出这个外接圆的半径即可，而内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，∴可由正四棱锥的体积求出其半径．(1)设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA ＝OC ＝OS ，∴O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆半径就是球的半径． ∵AB ＝BC ＝a ，∴AC ＝2a . ∵SA ＝SC ＝AC ＝2a ， ∴△SAC 为正三角形．由正弦定理，得2R ＝AC sin∠ASC ＝2a sin 60°＝263a ，∴R ＝63a ，V 球＝43πR 3＝8627πa 3.(2)如图，设内切球的半径为r ，作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连接EF ，∴＝＝72a ，S △SBC ＝12BC ·SF ＝12a ×72a ＝74a 2，S a 2.又＝， ∴V 棱锥＝13S 底h ＝13a 2×62a ＝66a 3，∴r ＝3V 棱锥S 全＝3×66a 3(7＋1)a2＝42－612a ，S 球＝4πr 2＝4－73πa 2. 【变式训练3】12(2－2)a创新模拟·预测演练1．D 2．D 3．B 4．4 29π5．8273 6．2∶1 7．解：由已知条件知，平面图形中AE ＝EB ＝BC ＝CD ＝DA ＝DE ＝EC ＝1， 故折叠后得到一个棱长为1的正三棱锥(如图)．方法一：作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ， F 即为△DEC 的中心．取EC 中点G ，连接DG ，AG ， 过球心O 作OH ⊥平面AEC ， ∴垂足H 为△AEC 的中心，∴外接球半径可利用△OHA ∽△AFG 求得．∵AG ＝32，AF＝63，AH ＝33，∴OA ＝AG ·AHAF＝32×3363＝64， ∴外接球体积为43π×OA 3＝43·π·6643＝68π.方法二：如图，把棱长为1的正三棱锥放在正方体中，显然，棱长为1的正三棱锥的外接球就是正方体的外接球．∵正方体棱长为22， ∴外接球直径2R ＝3·22， ∴R＝64，∴体积为43π·34⎛ ⎝⎭＝68π.。
2013届高考数学考点回归总复习《第四十四讲 空间几何体的表面积与体积 》课件44
所得几何体的体积 : V V柱 V锥 S底 1 2 6 S底 6 S底 6 3 3
2 3 6 2 6 cm3 . 3
类型三
球的表面积、体积
解题准备:球的表面积不体积都只不半径R有关,是以R为自变
量的函数,一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定,
[答案] 7：5.
类型二
圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积
解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开
图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线
段不原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问 题的关键.
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的 底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面
类型四 由几何体的三视图求几何体的表面积不体积 解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积､体积是高考考
查的热点,对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下
两个方面的应用:一是数据的给出,通过三视图的长､宽､高 对应出空间几何体的相关长､宽､高,从而求表面积和体积, 但是要注意三视图中的数据不原几何体中的数据丌一定一 一对应,识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征. 包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运 算的依据.
(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连接OP､OA､OB､OC, 而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC
1 1 1 侧 r SABC r S全 r (3 2 2 3)r. S 3 3 3 又VP -ABC 1 1 3 (2 6) 2 1 2 3, 3 2 2
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8.2空间几何体的表面积和体积
考点一空间几何体的表面积
1.(2013重庆,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.180
B.200
C.220
D.240
答案 D
2.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.
答案3π
3.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,A B⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.
答案
4.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.
答案24π
考点二空间几何体的体积
5.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
答案 A
6.(2013浙江,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
A.108 cm3
B.100 cm3
C.92 cm3
D.84 cm3
答案 B
7.(2013天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长
为.
答案
8.(2013湖北,16,5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
答案 3
9.(2013课标全国Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
解析(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2得
∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以=××××=1.
10.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
解析(1)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.
(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BC D=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·s in=.
由PA⊥底面ABCD,得
V P-BCD=·S△BCD·PA=··2=2.
由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故V F-BCD=·S△BCD·PA=···2=,
所以V P-BDF=V P-BCD-V F-BCD=2-=.。