高二下学期数学周练(七)
福建省宁德市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题(原卷版)
宁德市2022—2023学年度第二学期期末高二质量检测数学试题本试卷共6页，22题．考试时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名；考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．1. 已知随机变量X 服从二项分布23,3B，则()D X =（ ）A.29B.13C.49D.232. 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.16P X =≥，则()24P X <<=（ ） A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.163. 棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −中，点1D 到平面11A C D 距离为（ ）A.B. 1C. 2D.4. 函数()()2e x f x x =−的单调递增区间为（ ）A. (),1−∞B. ()1,+∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞5. 已知随机变量X 满足()kP X k a==，1,2,3k =，其中a 为常数，则()13P X <≤=（ ） A.56B.23C. 12 D. 136. 已知ln1.2a =，0.2b =，0.2e 1c =−，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A. a c b >>B. c a b >>C. b c a >>D. c b a >>7. 抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件A ：“甲骰子的点数大于4”，事件B ：“甲、乙两骰子的点数的之和等于8”，则()P B A 的值等于（ ） A.118B.19C.16D.138. 已知函数()222,0e ,0x x x f x x ≤= > ，若()()()1212f x f x x x =≠，则12x x +的最大值为（ ） A.ln 212− B. 2ln 22−C. 12−D. 1−二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9. 以下运算正确是（ ） A. ()22ln 2x x ′=B. ()1ln 22′=x xC. ()sin 22cos 2x x ′=D. ()e e x x −′=−10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A. 已知()0,1,1a =，()0,0,1b=− ，则a 在b上的投影向量为110,,22−−B. 已知两个向量()1,,3a m = ，()5,1,bn =−，且//a b，则3=−mnC. 设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c +也是空间的一组基底D 若对空间中任意一点O ，有111234OP OA OB OC ++，则,,,P A B C 四点共面11. 已知定义在[]1,1−上的函数()f x ，其导函数为()f x ′且满足()πsin 23f x x xf′=+，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x ′是奇函数B. 函数()f x 在区间[]1,1−上单调递减C. 在区间(]0,1上，函数()f x 的图象恒在x 轴的下方D. 不等式()()211f x f x ′′−>−的解集为20,312. 如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λµ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1µ∈，则下列说法正确的是（ ）的.A. 当1λ=且12µ=时，有1AB BP ⊥B. 当1µ=时，三棱锥1P A BC −C. 当1λµ+=时，直线1BB 和AP 所成的角的取值为ππ,62D. 当1λ=时，直线BP 与平面11ACC A 所成角的正弦值范围是 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13. 已知空间直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1,0A ，()0,1,3B ，()2,5,1C 则BC 边上中线的长度为___________．14. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的40%，45%，15%，而第1，2，3台车床的次品率分别为1%，2%，3%．现从加工出来的零件中随机抽出一个零．15. 如图，60°的二面角AB αβ−−的棱上有A 、B 两点，射线AC 、BD 分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB ．若1AB =，1AC = ，2BD = ．则CD 的长度为___________．16. 设函数()1e ln a xf x x a x +=+，若1x ≥，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围是___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数()3213f x x ax b =++在2x =−处有极值73． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]3,3−上的最大值和最小值．18. 已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球．（1）求第二次摸出的球是红球的概率； （2）求取得红球数X 的分布列和期望．19. 银耳作为我国传统的食用菌，有“菌中之冠”的美称，历来深受广大人民所喜爱汉代《神农本草经》记载：银耳有“清肺热、济肾燥、强心神、益气血”之功效．宁德市山川秀美，气候宜人，非常适合银耳的种植栽培，其银耳产量占全球产量的90%以上．（1）经查资料，得到近4年宁德市银耳产量（单位：万吨）如下表： 年度 2019 2020 2021 2022 年度代码x 1 2 3 4 银耳产量y34.9036.2037.2038.5请利用所给数据求银耳产量y 与年度代码x 之间的回归直线方程 y bxa =+ ，并估计2023年银耳产量． （2）宁德市某银耳开发研究公司积极响应国家倡导科技创新，研发了一款提高银产量的辅料——“多保灵”．该公司科研小组为了研究这款产品是否有利于提高银耳产量，从同一其他条件下种植的2000筒银耳中随机抽取了100袋，对是否使用“多保灵”和银耳每筒的产量进行统计，得到如下数据：①完善填写上面的列联表．②问：是否有99%的把握认为银耳每筒产量与是否有按规定比例量使用“多保灵”有关？参考公式：（ⅰ）1221ni ii ni i x y nx ybx nx==−⋅=−∑∑ ，（ⅱ）a y bx =− ，（ⅲ）()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，参考数据：41146.8i i y ==∑，41372.9i i i x y ==∑，的0k2.7063.841 5.02466357.87910.828()20P k χ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00120. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，AB AC AD ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）已知PA =，在线段PB 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC B −−的平面角为3π？若存在，求出PQQB的值，若不存在，请说明理由． 21. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为()01r r <<，它们之间相互不影响．（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；（2）当0.7r =时，求能使系统正常工作的设备数X 的分布列；（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 22. 已知函数()ln 2xf x ax a x=−+−，a ∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； .f x的零点个数．（2）讨论函数()。
新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（ ） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（ ） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（ ）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（ ） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为， 即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）． 【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第7课时——二项式定理
【学习目标】掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，会利用二项展开式及通项公式解决问题【学习重点】二项式定理及二项展开式的通项公式的应用。
【活动过程】活动一、情境引入。
1、在n=1,2,3, 4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1= ,(a+b)2= ,(a+b)3= ,(a+b)4= .2、 列出上述各展开式的系数：3、这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5= .4、计算：04C = ，14C = ，24C = ，34C = ，44C = .用这些组合数表示(a+b)4的展开式是：(a+b)4= . 活动二、构建数学模型。
1、定理：(a+b) n= ( n ∈N +)2、二项展开式的结构特点：活动三、数学应用。
1、展开下列各式（1）6()a b -； （2）41(1)x+2、化简：（x-1）4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+13、求7(12)x +的展开式中第4项的二项式系数和系数 4、求61()2x x-的二项展开式中的常数项变1：数项的展开式中第六项是常已知在)333(xx n - （1）求n （2）求x 2项的系数 （3）求展开式中所有有理项。
变2：(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数变3：求5)21(-+xx 展开式中的常数项变4：求42)32(-+x x 的展开式中x 的系数活动四、巩固练习。
1、如果n 展开式中前三项的系数成等差数列n求：（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项2、若（1-2x ）5展开式中的第2项小于第1项，且不小于第3项，求实数x 的取值范围.【课后作业】1、 （3a-2b ）5的前4项是_________________________________；2、项的二项式系数是的展开式中第4)2(7y x -_____________________; 3、(x-y2)n的展开式中第r 项的系数是 __________________________ ;4、 5322⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第3项的二项式系数是__________________,第3项的系数是__________________, 倒数第二项是__________________, 含x 5的项是____________________. 5、在183)xbb x (+的展开式中，第 项是中间项，中间项是 .6、2475)53(+的展开式中的整数是 。
高二下学期理科数学周测试题及答案(精)
高二理科数学周测卷(10班级________________姓名_______________分数______________一、填空题(每题5分,共40分1. 已知集合}1,1{-=M ,}0|{2=+=x x x N ,则M N =(A .}1,0,1{-B .}1,1{-C .{1}-D .{0}2.3a =是直线230ax y a ++=和直线3(17x a y a +-=-平行的( A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件3.计算:=+⎰-222(sin dx x (A .-1B .1C .8D .-84.把函数6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变,再将图象向右平移3π个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 ( A .2π-=x B .4π-=x C .8π=x D .4π=x5.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈,若1a b -≤,就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(A .19B .29C .718D .496.平面向量a 与b 的夹角为60︒,(2,0,||1==a b ,则|2|+a b 等于( AB .C .4D .127.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m 的值是(A . 4B .14C .14- D.-4 8.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1,正视图是正方形,俯视图是正三角形,该三棱柱的侧视图面积为(二、填空题(每题5分,共30分9.已知i 为虚数单位,复数2i 1iz +=-,则 |z | = .10.在等比数列}{n a 中,已知,21=a 164=a ,n a =__________.11.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,11(0,cos (x x f x x x f π,则4(3f 的值为_______.12. 某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师人. 13. (6展开式中的常数项是 (用数字作答。
安徽省A10联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
安徽省A10联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知321()3f x x x ax =++，则若(1)6f '=，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知数列{}n a 等比数列，且12341,64a a a a ==,则25log a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，可导函数()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线为:()l y g x =，设()()()h x f x g x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．R ()>0x h x ∃∈，B ．R ()<0x h x '∀∈，C ．()000,h x x x ='=是()h x 的极大值点D ．()000,h x x x ='=是()h x 的极小值点4．某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据(),i i x y （1,2,3,,10i =L ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A ．决定系数2R 变小 B ．残差平方和变小C ．相关系数r 的值变小D ．解释变量x 与预报变量y 相关性变弱5．已知()()()111,,.324P A P B A P B A ===∣∣则()P B =（ ）A ．712B ．724C ．512D ．5246．有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有（ ） A ．144种B ．240种C ．288种D ．336种7．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n n S a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++<L 恒成立，则实数M 的最小值为（ ） A ．13B ．49C ．43D ．38．已知正实数x ，y 满足n ln e l x y x y y =+，则ln 1ln x y x+-的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．e二、多选题9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A 真否有关，调查了400人，得到如图所示的22⨯列联表，其中12b a =，则（ ）参考公式与临界值表：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ A ．任意一人不患疾病A 的概率为0.9 B ．任意一人不过量饮酒的概率为38C ．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A 的概率为2425D ．依据小概率值0.001α=的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A 有关10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（ ）A ．12311111n n a a a a n ++++=+L B ．1225既是三角形数，又是正方形数 C ．12311113320n b b b b ++++<L D ．*N ,m m ∀∈≥2，总存在*,N p q ∈，使得m p q b a a =+成立11．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为()1,2,,7i a i =L ，则下列说法正确的是（ ）A ．若41235677,a a a a a a a =++<++，则这样的数列共有360个B ．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C ．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D ．若123345567,a a a a a a a a a <<,>><<，则这样的数列共有71个三、填空题12．已知随机变量()22,X N σ～，且()()1P X a P X ≤=≥，则6x ⎛⎝的展开式中常数项为．13．小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有种.（结果用数字作答）14．已知关于x 的不等式()()2ln 340x kx x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞均成立，则实数k 的取值范围为.四、解答题15．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x （单位：百万元）对年收入的附加额y （单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额i x 和年收入的附加额i y 进行研究，得到相关数据如下：(1)求证：()()11i i i i i i x x y y x y nx y ==--=-∑∑，()22211i i i i x xx nx ==-=-∑∑；(2)求年收入的附加额y 与投入额x 的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额．参考数据：81334.1i i i x y ==∑，8148.6i i y ==∑，821356i i x ==∑．参考公式：在经验回归方程$$y bxa =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，$ay bx =-． 16．已知数列{}n a 满足1220n n a a +--=，且13a =． (1)求证：{}2n a -是等比数列；(2)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组，两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为23，乙组能使生物成活的概率为12．假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败．(1)甲组做了4次试验，求至少1次试验成功的概率；(2)若甲、乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为X ，求X 的分布列及数学期望．18．已知函数()()e xf x ax a =-∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当0a >时，讨论函数()f x 零点的个数． 19．已知函数()()ln R 22a af x x a x =-+∈ (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的值； (2)求证：()*111sin sin sin ln 2N 122n n n n+++<∈++L ．。
高二下学期数学练习题整理
导数及其应用1． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k =________．2． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________．3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．①当x ＝32时，函数f (x )取得极小值； ②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数f (x )取得极小值； ④当x ＝1时，函数f (x )取得极大值． 4． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为_______． 5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝_______. 6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是______． 7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．8．已知函数f (x )＝x 2e，g (x )＝2a ln x ．(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间，若F (x )有最值，请求出最值；(2)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 0<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？计数原理1、若n N且n<20,则（27—n）（28—n） （34—n）= ( )A 、827n A -B 、n n A --2734C 、734n A -D 、834n A -2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______3、化简=+++-2132n n n n C C C _________4、三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？5、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。
专题07 随机变量及其分布【专项训练】高二数学下学期期末专项复习(新人教A版2019)
专题07 随机变量及其分布【专项训练】一、单选题1．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A 【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=， 所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．718B ．730C ．915D ．13【答案】A 【详解】设事件A 为“30人中抽出一名女同学”，事件B 为“30人中抽出一名高三同学”， 则56718()3030P A ++==，7()30P AB =， 所以()()7()18P AB P B A P A ==，故选：A.3．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2.5D ．1.7【详解】()10.420.530.1 1.7E X=⨯+⨯+⨯=.故选：D.4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A．三科总体的标准差相同B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【答案】D【详解】解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.故选：D．5．已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于（）A．56B．910C．215D．115【答案】C 【详解】由题意，知()()(122315 )5P AB P B A P A==⨯=故选：C6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为（）A．0 B．14C．16D．18【详解】由各个变量概率和为1可得：P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1， 所以111(0)14212P X +=++=，解得1(0)6P X == 故选：C7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5 【答案】B 【详解】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球. 所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 故选：B8．若离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 和()D X 分别为（ ） A ．83，169 B ．83，89C ．89，83D ．169，83【答案】B 【详解】因为离散型随机变量2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()28433E X =⨯=， ()22841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.9．设随机变量()24,N ζδ，若()10.4P a ζ>+=，则()7P a ζ>-=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】C随机变量2~(4,8)N ζ，对称轴为：4μ= 因为(1)0.40.5P a ζ>+=<，所以14a +>， 根据对称性可得(1)(7)0.4P a P a ζζ>+=<-=， 则(7)0.6P a ζ>-=. 故选：C.10．设()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P X σσ≤≤≤C ．函数()()F t P X t =>在R 上单调递增D ．()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+ 【答案】D 【详解】由正态分布密度曲线的性质得：X ，Y 的正态分布密度曲线分别关于直线12,x x μμ==对称， 对于A ：由图象得12μμ<，所以()()21P Y P Y μμ≥<≥，故A 不正确；对于B ：由图象得X 的正态分布密度曲线较Y 的正态分布密度曲线“廋高”，所以12σσ<，所以()()21>P X P X σσ≤≤，故B 不正确；对于C ：由图象得：当1>t μ时，函数()()F t P X t =>在()t +∞，上单调递减，故C 不正确； 对于D ：根据3σ原则：()111168.3%P X μσμσ-<<+=，()11112295.4%P X μσμσ-<<+=，()11113399.7%P X μσμσ-<<+=，无论σ 取何值时，有()()111122222222P X P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+，故D 正确，故选：D.二、多选题11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布()2,30N μ和()2280,40N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.3413 【答案】ABD 【详解】对于A ，因为红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826， 故30280μ+≈即250μ≈，故A 正确.对于B ，因为3040<，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 对，C 错. 白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率约为0.68260.34132=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知三个正态分布密度函数()()()222,1,2,3i i x i f x x R i μσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．123σσσ==B ．123σσσ=<C ．123μμμ=>D ．123μμμ<=【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，σ越小图象越瘦长. 因此，123μμμ<=，123σσσ=<.13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A ．目标恰好被命中一次的概率为1123+ B ．目标恰好被命中两次的概率为1123⨯C ．目标被命中的概率为12112323⨯+⨯D ．目标被命中的概率为12123-⨯【答案】BD 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次， 在A 中，目标恰好被命中一次的概率为1112123232⨯+⨯=，故A 错误； 在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为111236⨯=，故B 正确； 在CD 中，目标被命中的概率为112111233⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误，D 正确． 故选：BD ．14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ） A ．2~4,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X =D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响， 并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分， 取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确； 因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ACD ． 15．已知()2~,X N μσ，22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，则（ ）A ．曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积小于1B ．函数()f x 图象关于直线=x μ对称C ．()2()()P X P X P X μσμμσμσ>-=<<++≥+D ．函数()()F x P X x =>在R 上单调递增 【答案】BC 【详解】选项A. 曲线()y f x =与x 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A 不正确.选项B. 222()x f x σμ-+=,222()x f x σμ--=所以()()f x f x μμ+=-，所以函数()f x 图象关于直线x μ=对称，所以选项B 正确.选项C. 因为()()P X P X μμσμμσ>>-=<>+所以()()()P X P X P X μσμσμσμσ>-=-<<++≥+2()()P X P X μμσμσ=<<++≥+ 所以选项C 正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当x 越大时，其概率越小.即函数()()F x P X x =>随x 的增大而减小，是减函数，所以选项D 不正确. 故选：BC三、解答题16．设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）21X +的分布列； （2）求(14)P X <≤的值. 【详解】由分布列的性质知：0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m = （1）由题意可知(211)(0)0.2P X P X +====，(213)(1)0.1P X P X +====，(215)(2)0.1P X P X +==== (217)(3)0.3P X P X +====，(219)(4)0.3P X P X +====所以21X +的分布列为：（2）(14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件A 表示“每台新型防雾霾产品不能销售” 事件A 表示“每台新型防雾霾产品能销售” 所以()113116104P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()114P A P A =-= （2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为34 “每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为14X 所有的可能取值为：240-，120-，0，120则()30311240464P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ ()2131391204464P X C ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223132704464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()333327120464P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为所以()()1927240120120646464EX =-⨯+-⨯+⨯ 则30EX =18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35. （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望. 【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为44153234865553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好打了6局，乙获胜的概率为14125322965553125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为1248696582312531253125P P P =+=+=. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()12233363555125P X C ==⨯⨯⨯=，()2413323212445555625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()331344323232965555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列如下：故()936124961966234525125625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。
广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(原卷版)
惠州市2025届高三第一次调研考试试题数学2024.07全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知集合{}{}230,ln 0A x x x B x x =-<=>，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x > C.{}03x x << D.{}13x x <<2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2- B.1- C.1D.23.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2+a 3＝13，则a 4+a 5+a 6等于（）A.40B.42C.43D.454.732x⎛⎝的展开式中常数项是（）A.14B.14- C.42D.42-5.在正三棱柱111ABC A B C -中，若12,1AB AA ==，则点A 到平面1A BC 的距离为（）A.32B.334C.D.6.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=-- ．若//p q，则角C 的大小为（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.设点A,B 在曲线2log y x =上．若AB 的中点坐标为(5,2)，则||AB =（）A.6B. C. D.8.已知函数π5π()sin(3)sin(2)46f x x x ωω=-+在区间(0,π)恰有6个零点，若0ω>，则ω的取值范围为（）A.313(,)412B.1317(,)1212C.1719(,]1212D.197(,124二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M 表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的中位数为92.5D.事件,M N 互为对立事件10.设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若1916a a =，则（）A .54a = B.当11a =时，q =C.29log 18T = D.223732a a +≥11.在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 的轨迹为曲线C ，且动点(,)P x y 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积等于3．则下列结论正确的是（）A.曲线C 关于y 轴对称B.曲线C 的方程为221x y ++=C.12F PF △面积的最大值32D.||OP 的取值范围为2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线221-=x ky 的一个焦点是(2,0)，则k =_______．13.若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．14.已知函数()f x 的定义域为[0,1]，对于1201x x ≤<≤，恒有12()()f x f x ≤，且满足1()(1)1,(()52x f x f x f f x +-==，则1(2024f =_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y -+=相互垂直．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．（1）若所有考生的初试成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中65,10μσ==，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545,(33)0.9973P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=．17.在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥平面π,3,2ABC PC ACB =∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且22CD DE CE EB ====．（1）证明：DE ⊥平面PCD ；（2）求平面PAD 与平面PCD 夹角的余弦值．18.如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S．（1）求p 的值；（2）求OM ON ⋅的值；（3）求OMN OABS S 的取值范围.19.如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.（1）判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；（3）已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n bn c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +.。
福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)
高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。
2021年高二下学期数学第7次周测试题 含答案
2021年高二下学期数学第7次周测试题含答案1．命题：“a 、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．a 、b都不是偶数，则a+b不是偶数 B.a 、b不都是偶数，则a+b不是偶数C．a+b不是偶数，则a 、b都不是偶数 D.a+b不是偶数，则a 、b不都是偶数2．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞） D．（0，1）3．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）A．28 B．22 C．14 D．124．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )A. B.C. D.5．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（）A． B．C．D．6．抛物线截直线所得弦长等于（）A． B． C． D．157．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．8．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C． D．9．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B，交其准线于点C，若且,则此抛物线的方程为（）A． B． C． D．10．过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k 1（），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．D ．－11．若椭圆(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．过抛物线的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是，则=（ ）A ．B ．C ．D ．13．与椭圆4 x 2 + 9 y 2= 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为______________．14．直线与双曲线相交于两点，则=_ _________________．15．过点且被点平分的双曲线的弦所在直线方程为 _.16．（本小题满分10分）已知圆与直线交于、两点，若线段的中点（1）求直线的方程；（2）求弦的长．17．（本小题满分12分）已知有两个不等的负根， 无实根，若p 、q 一真一假，求m 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二下学期数学周练（七）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是 ( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 2．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题． 其中正确的是 ( )A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③3．已知向量a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是 ( ) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,24．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是 ( )A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)B ．(3210，4210，－22)C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22)5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量能作为平面AEF 的一个法向量的是 ( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)6．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点， 若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线8．下列命题中，真命题是 ( )A ．存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2≥x －14 D ．∃x 0∈[0，π2]使得sin x 0>x 09．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )10．方程xy 2＋x 2y ＝1所表示的曲线 ( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称11．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△PF 1F 2的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 的变化而变化 12．在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是 ( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点的坐标为________.15．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是____.16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，求实数a 的取值范围.18．如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程.19.已知抛物线C ：y 2＝4x ，点M (m,0)在x 轴的正半轴上，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若m ＝1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M ，使得不论直线l 绕点M 如何转动，1|AM |2＋1|BM |2恒为定值？20．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形.(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1－OB 1－D 的余弦值．21．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O －EF －C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．22．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)若P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝λPB →，λ∈[13，2]，求△AOB 面积的取值范围．参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBAABADCBDBD二．填空题13.m ≥6 14. (－1,0,2) 15.(－∞，－134) 16.1510三．解答题17.解：因为命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，所以p 的否定为真命题，即“任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立”为真命题．由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0.故原命题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立． 由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图象，知其对称轴为x ＝a ＋12，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f 20或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f a ＋120，解得a ≤3或3<a ≤7.综上，实数a 的取值范围为(－∞，7]．18.解：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.19.解：(1)当m ＝1时，M (1,0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点， 直线l 的方程为y ＝x －1，设A ，B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得，x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)．又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.∴圆的半径为4， ∴圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)若存在这样的点M ，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky ＋m ， 则直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立，消去x 得，y 2－4ky －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，y 1＋y 2＝4k ， ∴1|AM |2＋1|BM |2＝1x 1－m2＋y 21＋1x 2－m2＋y 22＝1k 2＋1y 21＋1k 2＋1y 22＝y 21＋y 22k 2＋1y 21y 22＝y 1＋y 22－2y 1y 2k 2＋1y 21y 22＝16k 2＋8m k 2＋116m 2＝2k 2＋m2m 2k 2＋1， 因此要与k 无关，只需令m 2＝1，即m ＝2， 此时1|AM |2＋1|BM |2＝14.∴存在定点M (2,0)，不论直线l 绕点M 如何转动，1|AM |2＋1|BM |2恒为定值．20.(1)证明：∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， ∴四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1均为菱形．∵AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，∴O 、O 1分别为BD 、B 1D 1中点． ∵四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1为矩形，∴OO 1∥CC 1∥BB 1且CC 1⊥AC ，BB 1⊥BD ，∴OO 1⊥BD ，OO 1⊥AC ， 又∵AC ∩BD ＝O 且AC ，BD ⊂底面ABCD ，∴OO 1⊥底面ABCD .（2）解：∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，从而OB 、OC 、OO 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝2，∵∠ABC ＝60°，∴OB ＝3，OC ＝1，于是各相关点的坐标O (0,0,0)、B 1(3，0,2)、C 1(0,1,2)， 易知n 1＝(0,1,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量，设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB 1→＝0n 2·OC 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，∴n 2＝(2,23，－3)．设二面角C 1－OB 1－D 的大小为θ，易知θ为锐角，∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝25719，∴二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.21.解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(1)依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，又EG →＝(0,1，－2)，可得EG ·n 1＝0，又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF . (2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0n 2·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0－x ′＋y ′＋2z ′＝0.不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33，所以，二面角O －EF －C 的正弦值为33. (3)解：由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝(25，－25，45)，进而有H (－35，35，45)，从而BH →＝(25，85，45)，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.22.解：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255c a ＝52c 2＝a 2＋b2，得⎩⎨⎧a ＝2b ＝1c ＝5. ∴双曲线C 的方程是y 24－x 2＝1.(2)由(1)，知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0，由AP →＝λPB →，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2m ＋λn 1＋λ， 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，化简，得mn ＝1＋λ24λ.∵∠AOB ＝2θ，tan(π2－θ)＝2，∴tan θ＝12，sin2θ＝45.又∵|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin2θ＝2mn ＝12(λ＋1λ)＋1，记S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1，λ∈[13，2]．12(λ＋1λ)＋1≥12(2λ×1λ)＋1＝2.当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，等号成立，∴S (λ)的最小值是2.又S ′(λ)＝12(1－1λ2)，当λ∈[13，1)时，S ′(λ)<0，λ∈(1,2]时，S ′(λ)>0，即S (λ)在[13，1)上递减，在(1,2]上递增，S (λ)可能在13或2处取得最大值． 又∵S (13)＝83，S (2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB 面积取到最小值2，当λ＝13时，△AOB 面积取到最大值83，所以△AOB 面积的取值范围是[2，83]．。