CH11
Ch11 潮汐翻译稿
潮汐重要观点：潮汐是海面高度的短周期变化，是由引力和惯性产生的强迫波。
平衡潮理论是通过分析使地球围绕太阳旋转、月球围绕地球旋转的各种力的作用和平衡来解释潮汐。
潮汐动力学理论考虑了海底摩擦、水的黏性和潮波惯性。
平衡潮理论和潮汐动力学理论使提前几年预报潮汐成为可能。
潮汐能可以用来发电。
11.1 潮波是所有海洋波中波长最长的某一地点的潮汐是由月球和太阳万有引力、地球运动和海水惯性共同作用产生的海面短周期性变化（例如图11.1）。
由于其波长等于地球周长的一半，潮汐是所有海洋波中波长最长的。
不像我们见到的其它波，这些巨大的浅水波从来没有脱离产生它们的作用力，因而被称为强迫波。
风浪、假潮和海啸波形成后就成为自由波，即它们受到产生它们的力作用，不需要外力维持它们运行。
大约公元前300年希腊航海家和探险家皮西亚斯首次记述了潮高和月球位置的关系，但到牛顿的万有引力分析后人们才完全理解了潮汐。
艾萨克•牛顿1687年杰出的著作《自然哲学的数学原理》描述了行星、卫星和其它物体在万有引力场中的运动。
一个重要发现是：两个物体间的万有引力与它们的质量成正比，但与它们间距离的平方成反比。
这意味着重的物体间的相互吸引强于轻的物体间的相互吸引，万有引力随着距离的增大迅速减弱。
这种关系可以用下式表示： )(221rm m G F =， 这里F 是万有引力，G 是万有引力常数，1m 和2m 是两个物体的质量，r 是它们中心间的距离。
我们可以用这个方程计算太阳和地球或月球和地球间的万有引力。
尽管潮汐主要是由月球和太阳对地球万有引力的合力产生的，但实际产生潮汐的力是与地球中心和天体（月球或太阳）之间的距离的三次方成反比。
因而距离在这个关系中更重要，引潮力可表示为：)(321rm m G T =， 这里T 表示引潮力。
太阳质量是月球的2千7百万倍，但太阳离地球的距离是月球离地球距离的387倍，因此太阳对潮汐的影响只有月球的46%。
我们将看到，牛顿的潮汐万有引力模型即平衡潮理论，主要涉及到地点和地球、月球和太阳的引力，并没有考虑水深和陆地的位置对潮汐的作用。
医用化学课件-ch11 链烃
（1）. 按烷烃中的碳原子数叫“某烷”，C10及C10以下用 “天干”数（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸） 表示，C10以上就用中文“十一、十二”表示。 例：
烷烃（alkane）的结构特点是分子中的碳原子之间都以单 键相结合，其余价键都和氢原子相连接.又称饱和烃.
烷烃的分子组成通式是CnH2n+2。
名称
甲烷
乙烷 丙烷 丁烷 戊烷
分子式 构造式的简写式
CH4
CH4
C2H6 C3H8 C4H10 C5H12
CH3CH3 CH3CH2CH3 CH3(CH2)2CH3 CH3(CH2)3CH3
交叉式： H与H原子交叉相隔60°，距离较远 ，斥力小，内能低，是较稳定的构象。
重叠式
交叉式 + 12.5 KJ/mol
丁烷：
H
CH3 H
H
H
H
CHH3
CCHH33
H
H
CH3
H
CH3
HH
CH3
CHH3
HH
HH
全交叉式 斜（部分）交叉式 半（部分）重叠式 全重叠式
全重叠式 ＞ 部分重叠式 ＞ 邻位交叉式 ＞ 反交叉式
烃的主要来源：
天然气 甲烷（主要）、乙烷、丙烷、丁烷、 戊烷
石 油 各种烃的混合物：汽油 C5-11，煤油C11-15，
柴油 C15-18， 润滑油C16-20，石蜡C18-30，沥青C30-40
煤
芳香烃等
第一节 链烃的结构、异构现象和命名
一、链烃的结构 1. 烷烃的结构、通式和原子轨道杂化特征
secondary carbon
H3C
CH3
3 H（叔氢）
数据库系统概论CH11(部分)习题解答
第十一章并发控制事务处理技术主要包括数据库恢复技术和并发控制技术。
本章讨论数据库并发控制的基本概念和实现技术。
本章内容有一定的深度和难度。
读者学习本章一定要做到概念清楚。
一、基本知识点数据库是一个共享资源，当多个用户并发存取数据库时就会产生多个事务同时存取同一个数据的情况。
若对并发操作不加控制就可能会存取和存储不正确的数据,破坏数据库的一致性。
所以DBＭＳ必须提供并发控制机制。
并发控制机制的正确性和高效性是衡量一个ＤBMS性能的重要标志之一。
①需要了解的: 数据库并发控制技术的必要性，活锁死锁的概念。
②需要牢固掌握的：并发操作可能产生数据不一致性的情况(丢失修改、不可重复读、读“脏数据”）及其确切含义;封锁的类型;不同封锁类型的(例如X 锁,Ｓ锁）的性质和定义，相关的相容控制矩阵;封锁协议的概念;封锁粒度的概念；多粒度封锁方法；多粒度封锁协议的相容控制矩阵。
③需要举一反三的:封锁协议与数据一致性的关系；并发调度的可串行性概念；两段锁协议与可串行性的关系；两段锁协议与死锁的关系。
④难点：两段锁协议与串行性的关系;与死锁的关系；具有意向锁的多粒度封锁方法的封锁过程。
二、习题解答和解析1. 在数据库中为什么要并发控制? 并发控制技术能保证事务的哪些特性？答数据库是共享资源，通常有许多个事务同时在运行。
当多个事务并发地存取数据库时就会产生同时读取和/或修改同一数据的情况。
若对并发操作不加控制就可能会存取和存储不正确的数据，破坏事务的一致性和数据库的一致性。
所以数据库管理系统必须提供并发控制机制。
并发控制技术能保证事务的隔离性和一致性。
2．并发操作可能会产生哪几类数据不一致? 用什么方法能避免各种不一致的情况?答并发操作带来的数据不一致性包括三类:丢失修改、不可重复读和读“脏”数据。
(1）丢失修改(Lost Update）两个事务T1和T2读入同一数据并修改，Ｔ２提交的结果破坏了（覆盖了）T1提交的结果，导致T1的修改被丢失。
CH11醛酮和醌
δ δ +
δ + δ
R M g X + CO
RCO M g X H 2ORCO H
与甲醛加成形成伯醇; 与其他醛加成形成仲醇; 与酮加 成形成叔醇。
RMgX
H H CO
H R CH OMgX H2O RCH2OH
R1MgX
H R2 C O
R2
R2
R1 CH OMgX H2O R1 CH OH
R1MgX
R3 R2 C O
R3
R3
R1 C OMgX H2O R1 C OH
R2
R2
b. 与铜锂试剂反应：制备空间位阻大的叔醇。
O
( CH3 )3C C C(CH 3 )3 + (CH 3)3CLi
ROR -70oC
((CH 3) 3C) 3COH
c. 与炔钠反应：
O
① H CC N -a + ② H 2 O ; H+
出版社, 1993.
3. F A Carey. Organic Chemistry, 4th ed. New York:
McGraw – Hill Companies Inc, 2000.
4. T W G Solomons, C B Fryhle. Organic Chemistry, 7th ed.
C H C 3 H C 2 H C 2 H C 2 H O 正戊醛
C H3(C H2)10 C H O 正十二醛（月桂醛）
C H C 3 H C H C 2 H O C H 3 异戊醛
单酮：二“某基”酮 脂肪混酮：小基团在前，大基团在后，“某基某基酮”
C H C H 3 C O 2 C H C H 2 3C H C O 3 C H C H 2 3C H C O 3 C H C H 2 C H 2 3
ch11-白面洁肤
美白小秘方 美丽大收集
2、准备三指宽二指长的面带斑点的芦荟叶去刺 、 洗干净，然后用一块三厘米长的黄瓜、 鸡蛋 洗干净，然后用一块三厘米长的黄瓜、¼鸡蛋 克珍珠粉、 清、2—3克珍珠粉、适量的面粉（用做调稀稠 克珍珠粉 适量的面粉（ 适度）。将芦荟、黄瓜放入榨汁机榨汁后倒入 适度）。将芦荟、 ）。将芦荟 小碗，然后放入蛋清、珍珠粉、 小碗，然后放入蛋清、珍珠粉、适量面粉调成 以不往下流淌为准。把脸洗干净， 糊，以不往下流淌为准。把脸洗干净，将调好 的糊抹在脸上，干后洗净，拍上柔肤水、 的糊抹在脸上，干后洗净，拍上柔肤水、护肤 品即可，每周1—2次。 品即可，每周 次
美白护理方法
(2)使用增白护肤品：祛斑增白的护肤品种类繁多，传统的产 使用增白护肤品：祛斑增白的护肤品种类繁多， 使用增白护肤品 增白的护肤品种类繁多 品主要添加物为白降汞、硫黄、倍他米松、氢醌、壬二酸等， 品主要添加物为白降汞、硫黄、倍他米松、氢醌、壬二酸等， 这些产品使用不当，会引发皮肤刺激反应。 这些产品使用不当，会引发皮肤刺激反应。中药添加物有黄芪 当归等。新近出现的添加物多是一些生物制品， 、当归等。新近出现的添加物多是一些生物制品，如曲酸及其 衍生物、果酸、熊果甘、胎盘和海藻提取物等。另外， 衍生物、果酸、熊果甘、胎盘和海藻提取物等。另外，含有维 生素E和 及超氧化物歧化酶 及超氧化物歧化酶(SOD)等的护肤品也都具有增白的 生素 和C及超氧化物歧化酶 等的护肤品也都具有增白的 功效。 功效。 我们在使用增白护肤品时，也要根据自己皮肤的性质来选择， 我们在使用增白护肤品时，也要根据自己皮肤的性质来选择， 必要时应先做斑贴试验。在使用过程中如有不良反应(如刺痛 如刺痛、 必要时应先做斑贴试验。在使用过程中如有不良反应 如刺痛、 红斑、水肿等)，应立即停用并及时治疗。 红斑、水肿等 ，应立即停用并及时治疗。
ch11光交换技术
§11.3 光交换控制协议 二、GMPLS协议结构 协议结构 GMPLS在传统 在传统MPLS支持的 支持的LSR接口基础上，还 接口基础上， 在传统 支持的 接口基础上 将支持光交换接口。 将支持光交换接口。GMPLS在LSR上支持的接口分 在 上支持的接口分 分组交换接口(PSC)、时分多路复用接口 为4种：分组交换接口 、时分多路复用接口(TD M)、波长交换接口 、波长交换接口(LSC)、光纤交换接口 、光纤交换接口(FSC)。 。 ①GMPLS-RSVP和GMPLS-LDP是GMPLS的信 和 是 的信 令协议。 令协议。 提出的一个新的链路管理协议。 ②LMP是IETF提出的一个新的链路管理协议。 是 提出的一个新的链路管理协议 增强的内部网关协议(IGP)。负责在网络路由寻 ③增强的内部网关协议 。 径域内可靠地光网络的拓扑和资源信息。 径域内可靠地光网络的拓扑和资源信息。 描述相关的技术规范。 ④GMPLS-SONET描述相关的技术规范。 描述相关的技术规范 GMPLS协议有 部分：路由协议 协议有3部分 协议有 部分：路由协议(OSPF、IS-IS)、 、 、 令协议(GMPLS-RSVP、GMPLS-LDP)和资源管理 信令协议 、 和资源管理 协议(LMP)。 协议 。
放大器 控制
λi
入射光
激光器 探测器 (a) 直接转换
λj
出射光
λi
入射光
λj
外调节器 出射光
(b) 调制转换
ch11 光交换技术
§11.2 光交换基本方式
一、空分光交换 空分光交换是指利用光开关及相应的光开关阵 列(矩阵)实现空间任意两点之间光通道连接的交换 矩阵) 方式。 方式。
用 光 用 户 耦 合 器
教学时数： 学时 教学时数： 2学时
ch11 多重项目管理
在实际工作中,只有两个项目的任务目的相同,并且两者之间存在相 互制约的关系才会进行合并.因此,合并项目后,既可以链接合并项目中各 项目之间的任务,也可以链接几个独立的相关项目之间的任务.链接任务时, Project 显示任务相关性的同时会在每个项目中显示外部任务.要注意的是, 不能对外部任务进行编辑.
中文版 Project 2007 实用教程
11.3.3 查看共享资源库
在项目管理的过程中,常常需要管理多个项目,同时这些项目的资源又 存在着一定的相关性.这时,就可以查看创建了资源共享的项目以及发生冲 突的资源.
中文版 Project 2007 实用教程
11.3.4 更新资源库
资源发生冲突时,就需要对资源进行调整.调整资源之前,先要权衡发 生冲突的任务的重要性,再选择对应的项目文件进行调整. 要更新共享资源库,首先打开需要更新的共享资源文件,在打开的"打 开资源库信息"对话框中选择"打开资源库以查看所有共享资源文件的工作 分配"单选按钮,然后单击"确定"按钮,在项目文档中对资源进行调整后, 选择"工具"|"资源共享"| 选择"工具"|"资源共享"|"更新资源库"命令即可.
中文版 Project 2007 实用教程
11.1.2 插入项目文档
在插入项目文档之前首先需要确定主项目,然后将其他的项目文档作为 子项目插入到主文档中.
中文版 Project 2007 实用教程
11.1.3 编辑项目文档
将子项目插入到主项目后,为了满足主项目文档的需要,还需对插入的 项目做进一步的编辑.例如,可以对子项目进行类似于摘要任务的处理,在大 纲中通过升级或降级的方法来更改任务层次中子项目的次序.
Ch11 结晶法
本章小结： 作业：
1、什么叫结晶、重结晶？ 2、简述结晶过程的实质？
l 0
l
dl
N—单位体积中含有尺 寸从0~l的各种大小 晶体的数目；
五、提高晶体质量的方法
• 晶体质量包括三个方面的内容： 晶体大小、形状和纯度 • 影响晶体大小的因素： 温度、晶核质量、搅拌等 • 影响晶体形状的因素： 改变过饱和度、改变溶剂体系、杂质 • 影响晶体纯度的因素： 母液中的杂质、结晶速度、晶体粒度及粒度分布
Ws Wp ( Ls / Lp )
3
3
晶体纯度计算
β—分离因素
Ep / Ei
Ep—结晶因素，晶体中P的量与其在滤液中的量的比值
Ei—结晶因素，晶体中杂质的量与其在滤液中的量的比 值
晶体大小分布
• 晶体群体密度 • 结晶过程中产生的晶体大小不是均一的。 因此，需要引入群体密度的概念来加以 N dN 描述： n lim
凯尔文（Kelvin）公式 c2 2M 1 1 ln ( ) c1 RT r2 r1
C2---小晶体的溶解度； C1---普通晶体的溶解度 σ---晶体与溶液间的表面张力；ρ---晶体密度
γ2---小晶体的半径；
R---气体常数；
γ1---普通晶体半径
T---绝对温度
当r2减小时，溶解度c2增大
饱和曲线和过饱和曲线
不稳定区：
• SS线和T’T’线:亚稳区，没有新的晶核形成 • 结晶不能自动进行 • T’T’ 线和TT线:过渡区，伴随晶体长大的同 • 时有新的晶核形成 • TT线的左上方：不稳区，自发形成晶核， • 结晶马上开始
三、过饱和溶液的形成
• 1、热饱和溶液冷却（等溶剂结晶）
适用于溶解度随温度升高而增加的体系； 同时，溶解度随温度变化的幅度要适中； 自然冷却、间壁冷却（冷却剂与溶液隔 开）、直接接触冷却（在溶液中通入冷 却剂）
高等数学教案ch 11 无穷级数
第十一章 无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。
教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为∑∞=1n n u ,即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u , 其中第n 项u n 叫做级数的一般项.级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 解 如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散.仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的. 证 此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解 由于 111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks . (如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks . )这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的,级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(1-1)+(1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .（性质5的等价命题：若0lim 0n n u →≠，则级数∑∞=1n n u 发散 ）证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n 是发散的.证 假若级数∑∞=11n n 收敛且其和为s , s n是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立,则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n的收敛性, 其中常数p >0.解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数pn n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n p p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s .所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的.并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.定理6 (极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性.解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足(1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性.解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数.幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=.因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n nn x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径.解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nn x 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a , 减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===010001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s . 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=, 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s . 在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ).泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于 )(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ ,f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0). 需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )?定理 设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明 先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞). 而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞). 再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ), 即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ).麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2n n x n f x f x f f , 此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ ,f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ ,f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅. 应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ .第二步 求函数及其各阶导数在x =0 处的值:f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ .第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+n n x n f x f x f f , 并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=n n x n f x f x f f x f (-R <x <R ). 例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解 所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f (n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1!2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim 1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式)( !1!2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数.解 因为)2 sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n ,它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(]2)1(sin[| |)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞).因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n .)( !1!2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数.解: f (x )的各阶导数为f '(x )=m (1+x )m -1,f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅于是得幂级数!)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数.解 已知)!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞). 对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数. 解 因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1.例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数: )1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n . 解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln( ∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n n x n n n n x dx x (-1<x ≤1). 上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数. 解 因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x , 并且有)( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ. 例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解 因为)411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n n n n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x . ∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n n n n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n n n n x x x , 收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .展开式小结: )11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , )( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n , )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n , !2)1(1)1(2⋅⋅⋅+-++=+x m m mx x m )11( !)1( )1(<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+x x n n m m m n .§11. 5 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算例1 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.解 因为5/1455)311(33243240-=-=, 所以在二项展开式中取51=m , 431-=x , 即得 ) 31!3594131!254131511(32401238245⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅-=. 这个级数收敛很快. 取前两项的和作为5240的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为) 31!451494131!3594131!2541(3||164123822⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=r ] )811(8111[31!25413282⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅< 200001402725181111312568<⋅⋅=-⋅⋅=. 于是取近似式为)31511(324045⋅-≈, 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4, 计算时应取五位小数, 然后四舍五入. 因此最后得9926.22405≈.例2 计算ln 2的近似值, 要求误差不超过0.0001.解 在上节例5中, 令 x =1可得1)1( 312112ln 1⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=-n n .如果取这级数前n 项和作为ln2的近似值, 其误差为11||+≤n r n . 为了保证误差不超过410-, 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了, 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n 中的x 换成-x , 得)11( 432)1ln(432<≤⋅⋅⋅-----=-x x x x x x , 两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式:)1ln()1ln(11lnx x x x --+=-+)11( ) 5131(253<<-⋅⋅⋅+++=x x x x . 令211=-+xx , 解出31=x . 以31=x 代入最后一个展开式, 得 ) 31713151313131(22ln 753⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=. 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为) 31131311113191(2||131194⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=r ] )91(911[32211⋅⋅⋅+++< 7000001341911132911<⋅=-⋅=. 于是取 )31713151313131(22ln 753⋅+⋅+⋅+≈. 同样地, 考虑到舍入误差, 计算时应取五位小数:33333.031≈, 01235.031313≈⋅, 00082.031515≈⋅, 00007.031717≈⋅. 因此得 ln 2≈0.6931. 例3 利用3!31sin x x x -≈ 求sin9︒的近似值, 并估计误差. 解 首先把角度化成弧度,91809⨯=π (弧度)20π=(弧度), 从而 ()320!312020sin πππ-≈ .其次, 估计这个近似值的精确度. 在sin x 的幂级数展开式中令20π=x , 得20!7120!5120!312020sin 753⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ. 等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为20sin π的近似值, 起误差为 3000001)2.0(120120!51||552<⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤πr . 因此取 157080.020≈π, 003876.0203≈⎪⎭⎫ ⎝⎛π 于是得 sin9︒≈0.15643.这时误差不超过10-5.例4 计算定积分 dx e x ⎰-21022π 的近似值, 要求误差不超过0.0001（取56419.01≈π）. 解 将e x 的幂级数展开式中的x 换成-x 2, 得到被积函数的幂级数展开式 !3)(!2)(!1)(1322222⋅⋅⋅+-+-+-+=-x x x e x )( !)1(20+∞<<-∞-=∑∞=x n x n n n . 于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得dx x n dx n x dx e n n n n n nx ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=--=-=2102021020210!)1(2]!)1([222πππ ) !3721!25213211(1642⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=π. 前四项的和作为近似值, 其误差为900001!49211||84<⋅⋅≤πr , 所以212246111)0.520523252!273!x e dx -≈-+-≈⋅⋅⋅⋅⋅. 例5 计算积分dx xx⎰10sin的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 由于1sin lim0=→xx x , 因此所给积分不是反常积分. 如果定义被积函数在x =0处的值为1, 则它在积分区间[0, 1]上连续. 展开被积函数, 有)( !7!5!31sin 642+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x . 在区间[0, 1]上逐项积分, 得!771!551!3311sin 10⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=⎰dx x x. 因为第四项300001!771<⋅, 所以取前三项的和作为积分的近似值:9461.0!551!3311sin 10=⋅+⋅-≈⎰dx x x. 二、欧拉公式复数项级数: 设有复数项级数 (u 1+iv 1)+(u 2+iv 2)+ ⋅ ⋅ ⋅+(u n +iv n )+ ⋅ ⋅ ⋅其中u n , v n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅)为实常数或实函数. 如果实部所成的级数 u 1+u 2 + ⋅ ⋅ ⋅ +u n + ⋅ ⋅ ⋅ 收敛于和u , 并且虚部所成的级数. v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n + ⋅ ⋅ ⋅收敛于和v , 就说复数项级数收敛且和为u +iv .绝对收敛: 如果级∑∞=+1)(n n n iv u 的各项的模所构成的级数∑∞=+122n n n v u 收敛,则称级数∑∞=+1)(n n n iv u 绝对收敛. 复变量指数函数: 考察复数项级数 !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n z n z z .可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x 轴上它表示指数函数e x , 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为e z . 即 !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n z z n z z e .欧拉公式: 当x =0时, z =iy , 于是 )(!1 )(!2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n iy iy n iy iy e ⋅⋅⋅-++--+= !51!41!31!2115432y i y y i y iy ) !51!31() !41!211(5342⋅⋅⋅-+-+⋅⋅⋅-+-=y y y i y y =cos y +i sin y . 把y 定成x 得e ix =cos x +i sin x , 这就是欧拉公式.复数的指数形式: 复数z 可以表示为 z =r (cos θ +i sin θ)=re i θ , 其中r =|z |是z 的模, θ =arg z 是z 的辐角. 三角函数与复变量指数函数之间的联系: 因为e ix =cos x +i sin x , e -ix =cos x -i sin x , 所以e ix +e -ix =2cos x , e x -e -ix =2i sin x . )(21cos ix ix e e x -+=, )(21sin ix ix e e ix --=. 这两个式子也叫做欧拉公式. 复变量指数函数的性质: 2121z z z z e e e ⋅=+.特殊地, 有e x +iy =e x e i y =e x (cos y + i sin y ).§11.7 傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性 三角级数: 级数)sin cos (2110nx b nx a a n n n ++∑∞= 称为三角级数, 其中a 0, a n , b n (n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)都是常数. 三角函数系:1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , ⋅ ⋅ ⋅, cos nx , sin nx , ⋅ ⋅ ⋅三角函数系的正交性: 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零, 即 ⎰-=ππ0cos nxdx (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=ππ0sin nxdx (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=ππ0sin sin nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, k ≠n ),⎰-=ππ0cos cos nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, k ≠n ). 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[-π,π]上的积分不等于零, 即 ⎰-=πππ212dx ,⎰-=πππnxdx 2cos (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=πππnxdx 2sin (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).二、函数展开成傅里叶级数问题: 设f (x )是周期为2π的周期函数, 且能展开成三角级数:∑∞=++=10)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f .那么系数a 0, a 1, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ 与函数f (x )之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分, 则]cos sin cos cos [cos 2cos )(1⎰⎰∑⎰⎰--∞=--++=ππππππππnxdx kx b nxdx kx a nxdx a nxdx x f k k k .类似地⎰-=πππn b nxdx x f sin )(.傅里叶系数: ⎰-=πππdx x f a )(10, ⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1, (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1, (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).系数a 0, a 1, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ 叫做函数f (x )的傅里叶系数. 傅里叶级数: 三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a。
ch11 第十一章 模拟 数字(AorD...实习
圖 14-8 5V 顯示情形
14
11.1 数字电压表实习
電路圖
+5V +5V
40 MCS-51 VCC EA/VP RESET P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 1 2 3 4 5 6 7 8 P23 P22 P21 P20 24 23 22 21
10KX4
Q1 Q2 Q3 Q4
10uF 10K
30P
31 9
2907X4
D0 D1 D2 D3
19
220X7 a
b c d e f g dp
X1
12MHZ
18 30P 20 16 17 12 X2 VSS RD (P36) WR (P37) INT0 (P32)
+5V
20 P00 P01 P02 P03 P04 P05 P06 P07 39 38 37 36 35 34 33 32
6
11.1 数字电压表实习
A/D转换器
表 14-1 腳位
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ADC0804 接腳說明 功能說明
符號
DB7 DB6 DB5 DB4 DB3 DB2 DB1 DB0 CLKR VCC
輸入/輸出(I/O )
O O O O O O O O O I
數位資料輸出（最大有效位元 MSB） 。三態閂鎖型，無資 料輸出時，匯流排為高阻抗浮接狀態。 數位資料輸出。 數位資料輸出。 數位資料輸出。 數位資料輸出。 數位資料輸出。 數位資料輸出。 數位資料輸出（最小有效位元 LSB） 。 時脈輸出，如圖 14-3 所示。 電源輸入。
0x92,0x82,0xf8,0x80,0x90}; /* 5,6,7,8,9 */ /* 顯示緩衝區 */ /* 轉換函數 */
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
六、外界条件的影响
（1）大气的竖直折射 ——视线穿过大气时会产生折射，从直线变为曲线，造成误 差。由于视线靠近地面，折光大，所以规定视线应高出地面 1m以上。 （2）空气对流使视距尺的成像不稳定 ——空气的湍流使视距成像不稳定，造成视距误差。当视线 接近地面或水面时这种现象更为严重。所以视线要高出地面 1m以上。 （3）风力使尺子抖动 除此以外，风和大气能见度对视距测量也会产生影响。风力 过大，尺子会抖动，空气中灰尘和消气会使视距尺成像不清 晰，造成读数误差，所以应选择良好的天气进行测量。
通常规定水准尺的分米分划线偶然中误差为±0.5mm，所以若按 此值计算由上、下丝读数求得间隔l的中误差则为：
ml 0.5 2 0.71mm
它在视距值上的影响为0.071m。
三、常数K不准确的误差
影响常数K的误差来自两方面：其一是望远镜视距丝间隔的误差； 其二是是视距尺分划有系统误差。这两种因素表现在常数K上的 系统误差均为偶然性的。
视距测量的观测与计算
2．视距测量的记录与计算
视距测量的观测与计算
计算示例:
D A1 Kl cos 2 100 1.574 m cos 21848 2 157.14 m
hA1
1 Kl sin 2 i v 2
1 100 1.574 m sin2 21848 1.45 m 1.45 m 6.35 m 2
四、竖角观测的误差
因水平距离
S Kl cos
2
所以测定竖角α的中误差m α。也必然影响到距离，即
ms Kl sin 2
m
m α的影响随高差主值的增大而增大， m α对距离的影响并不大。
五、视距尺竖立不直的误差
除平坦地区外在大多数作业情况下，尺子倾斜对视距的影响基本 上是系统性的，且使距离减小，所以在视距测量中不可忽视此误 差。为了减小它的影响，应在视距尺上安装圆水准器。
视距尺 物镜
焦距
调焦透镜
焦距
（二）内调焦望远镜的视距公式
1.视线水平时 待测距离D为： D=D′+f1+δ 从凸透镜L1成像原理可得： D'
f1
l p'
,D
'
f1 p'
l
令f1/p′=K ,f1+δ＝C 则
D=Kl+c
式中：K—视距乘常数；c—视距加常数；l—尺间隔（N-M）。 在仪器设计时，选择适当参数，可使K=100，c值很小，可忽略 不计，所以视线水平时视距测量公式为：D=Kl=100l
视线水平时的水平距离和高差公式
M
n
h i l，l中丝读数
n′
11
n
p
m′
n m
12
n
13
l
N
m
i
14
h
B
D
A
HB H A i l
D Kn c
D Kn 100n
式中 K——视距乘常数，通常K=100； c ——视距加常数，常数c值接近零 。
2．视线倾斜时的水平距离和高差公式
1 h Kl sin 2（此时的中丝高称为便利高） 2
视距测量的观测与计算
1．视距测量的施测
（1）如教材图11-6所示，在A点安置经纬仪，量取仪器高i， 在B点竖立视距尺。 （2）盘左（或盘右）位置，转动照准部瞄准B点视距尺， 分别读取上、下、中三丝读数，并算出尺间隔l。 （3）转动竖盘指标水准管微动螺旋，使竖盘指标水准管气 泡居中，读取竖盘读数，并计算垂直角α。 （4）根据尺间隔l、垂直角α、仪器高i及中丝读数v，计算 水平距离D和高差h。
变形测量
使用变形测量软件，测量人员可通过屏幕监控变形值
变形测量
地形测量/放样测量
测量人员手持棱镜像将在屏幕中显示出来，供确认
地形测量/放样测量
如左图，表示有固定 角值，AD值由BC的长度确定，这种方法称为定 角视距测量。右图表示装置有固定长度尺子BC，AD值由 的大小确 定，这种方法称为定基线视距测量。与定角视距配套的尺子称为视距尺， 与定基线视距配套的尺子称为基线尺。
§11.2 普通视距测量的原理和公式
一、视准轴水平时的视距公式
H 1 H A hA1 45.37 m 6.35 m 51.72 m
§11.3 视距常数的测定
视距加常数的确定
在进行视距测量前必须把视距公式中的两个常 数加以精确的测定。具有外调焦望远镜的仪器，其 视距加常数c是由物镜的焦距f和物镜光心至仪器中 心的δ所组成。测定时先使望远镜照准一很远的目 标；当调焦后能清楚地看到这个目标在十字丝分划 板的距离得f，量取望远镜横轴中心至物镜的距离 得δ，则c=f+ δ。内调焦望远镜的仪器无须进行这 项常数的确定。
聚焦视准和广角CCD切换
广角 CCD 用于搜寻棱镜 (17º 35M像素) , 聚焦视准 CCD 用于棱镜测量 (47”, 35M像素)
聚焦CCD照准
图像 #1
广角 @70m 视准
广角
@131m
视准
图像 #1
广角 @517m 视准
广角
@1073m
视准
自动对焦棱镜
使用屏幕右边的控制块切换到视准CCD照准手动对焦。 广焦 CCD 观测完毕后自动切换到视准CCD，并自动对焦。
§11.4 视距测量的计算工具
一、普通视距测量测定高差的公式
hAB
1 Kl sin 2 iA vB f 2
应用视距测量的一个特点就是速度快。如果两点间的水平距 离S和高差h都要用公式直接计算，将会花去很多时间，特别是碎 部测量中会严重影响工作进度，为解决繁琐的计算工作，通常采 用一些计算工具，例如用视距计算表和电子计算器进行计算。
（一）外调焦望远镜的视距公式
（二）内调焦望远镜的视距公式
（一）外调焦望远镜的视距公式
R G
物镜
L
仪器中心 十字丝分划板
m’ Q l F O g’ M N
m q g
p
f
S
δ
GM FQ g ' m ' FO
FO f FQ GM l g 'm' p
f S FQ ( f ) l ( f ) p
f S FQ ( f ) l ( f ) p
f 式中 和 f 分别称为视距乘常数和视距加常数 p
令
f K p
( f ) c
则
S Kl c
在设计时使K=100；c是一个变数，大约在250mm至 700mm之间。
（二）内调焦望远镜的视距公式
视距乘常数的确定
l1
l2
l3
l4
l5
A
N
B1
B2
B3
B4
B5
视距乘常数K测定时应特别小心，因为它的误差对测量成果影 响比较大。关于内调焦望远镜的仪器测定K值的方法如下：在平 坦地区选择一段直线，如上图的NB5。在N点打一木桩，从这木桩 起沿直线依次在25m、50m、100m和200m的距离分别打下木桩B1、 B2、B3、B4、B5。各桩距N点的长度即为各Si之长。将仪器安置于 N点，在各Bi点上顺序竖立视距尺，按盘左和盘右两个位置观测， 每次测定视距间隔2次。外调焦仪器不至于N点，安置于A点。
二、视距计算表
S Kl cos
2
hAB
1 Kl sin 2 iA vB f 2
一般视距计算表是根据上述两个公式编制而成的。以视距值 Kl和竖角α为引数，可直接查出水平距离S的高差主值h′。
S Kl cos
2
1 h ' Kl sin 2 2
§11.5 普通视距测量的误差来源及精度
1 Kl sin 2 i v 2 H B H A hAB
视距测量原理
2.视线倾斜时
பைடு நூலகம்
A、B两点水平距离为：
D=D′cosα =Klcos2α
A、B两点高差为：
1 h h i s Kl sin 2 i v 或 h=Dtgα+i-v 2
'
在实际工作中，可以使中丝读数等于仪器高i,则上式可简化为:
B3
B2 D3 D2
B1 D1
B
A
A
1
D1
D2
2
3
D3
C3
C2
C1
C
在经纬仪等仪器的望远镜上增加视距装置（最简单的是在十字丝分划板 上加视距丝）来进行视距测量。它根据相似三角形原理，在等腰三角形 或直角三角形中，有一个边和一个角已知，从而推算出另一条边的长度。
BC AD ctg 2 2
用第一种方法读取l时，由于上、下两丝都在视距尺上读数，因此 存在两个读数误差，设每次读数中误差为m读，那么对间隔l的中 误差为：
ml m读 2
用第二种方法读取l时，由于一根丝与尺子分划重合不存在读数误 差，另一根丝有读数误差，那么对间隔l的中误差为：
2 2 ml m重合 m读
二、视距尺分划的误差
控制点测量
无须触摸仪器，所有的测量都可以通过屏幕遥控实现
控制点测量
发射白色亮光照亮现场反射目标
观测影像和数据通过有线电缆、 无线通讯(如传呼机、手机等) 或经由互联网同步传输到任何具备条件的计算机 或手持电脑上。 用电缆将仪器的RS232C接口和摄像信号接口 分别与计算机通讯口连接， 现场目标的影像实时显示在PC机屏幕上， 用鼠标操作软件即可对现场目标进行观测。 可与索佳变形监测应用程序控制系统“MOS” 组成超站仪定点观测系统， 通过程序控制仪器在指定的时间段里， 不间断地对一系列指定目标自动锁定观测。 超站仪定点观测系统能满足对 地震、火山、滑坡、大坝、隧道、大型工程现场 进行各类高精度自动监测的需要。