状态空间分析法的应用与特点

状态空间分析法的主要特点及其应用课程：现代控制工程教师：学生：班级：机电研班学号：状态空间分析法的主要特点及其应用机电研班摘要：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。

在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时域分析方法。

现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。

现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。

本文通过分析比较经典控制理论在多输入多输出方面存在的不足，阐述了现代控制理论中的一种方法——状态空间分析法。

本文以线性系统的状态空间表达式为基础对状态空间分析法的特点和应用方面作了一些阐述和论证，并结合现实生活中的一些实际工程问题的分析，论证了此种方法的实用性和先进性。

关键词：现代控制；状态空间分析法；汽轮机；调节系统；动态分析1引言经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入——单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。

但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。

复域分析法对于控制过程来说是间接的。

现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入——多输出系统的问题。

现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。

它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统；另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。

随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识，自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。

在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。

已能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

2 状态空间的基本概念2.1 线性系统理论线性系统是一种最为常见的系统，也是控制理论讨论得最深人的系统。

线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的定量关系。

通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法的问题则称为综合问题。

线性系统理论的主要内容有系统的结构性问题，如系统的可控性、可观性、系统实现和结构性分解、以及线性状念反馈及极点配置、镇定、解耦和状态观测等问题。

近30年来，线性系统理论一直是控制领域研究的重点，其主要研究方法有：以状态空间分析为基础的代数方法，以多项式理论为基础的多项式描述法和以空间分解为基础的几何方法。

2.2 线性系统状态空间状态和状态空间等概念很早以前就在力学和电工学中得到了应用。

状态变量法是系统的时域描述法，它反应了系统内部的全部信息，又称内部描述法。

20世纪50年代后期贝尔曼等人将状态变量法引入控制工程领域之后，这种方法就得到了日益广泛的应用，成为现代控制理论最基本的方法。

为了准确理解和应用状态变量法，下面给出状态、状态变量、状态向量及状态空间等术语的定义。

状态：系统的状态是指系统过去、现在和将来的状况。

比如对一个作直线运动的质点构成的系统，其状态就是质点的位置和速度。

状态变量：系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。

这里所说的“完全表征”，是指系统所有可能的运动状况都能表达出来，也就是说，)(,),(),(21t x t x t x n 如果是某个n 阶系统的一组状态变量，就必须满足下列两个条件：1）在任何时刻0t t =，这组状态变量的值)(,),(),(00201t x t x t x n 表示系统在该时刻的状态；2）当0t t ≥时的输入()u t 给定，且上述初始状态确定时，状态变量能完全表征系统在0t t ≥的行为。

而所谓“最小一组变量”，是指)(,),(),(21t x t x t x n 为完全表征系统行为所必须的最少个数的一组状态变量，在这组变量中各个状态变量是相互独立、线性无关的，减少任一个都将破坏表征的完整性，而增加变量个数度对完整表征系统行为又是多余的。

这里，最小一组变量的个数就是系统的阶数。

因此，对一个用n 阶微分方程描述的系统来说，它有且仅有n 个独立的状态变量。

状态矢量：若一个系统有n 个彼此独立的状态变量)(,),(),(21t x t x t x n ，用这n 个状态变量作为分量所构成的向量()x t ，称为状态向量。

记作[])(,),(),()(21t x t x t x t x n T =。

状态空间：以状态向量()X t 的各个分量)(,),(),(21t x t x t x n 为坐标轴所构成的n 维空间称为状态空间。

系统在任一时刻的状态都可以用状态空间中的一点来表示。

如果已知初始时刻0t 的状态0()X t ，就得到状态空间中的一个初始点：随着时间的推移，()X t 将在状态空间中描绘出一条轨迹，即所谓的状态轨迹。

状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。

由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。

对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。

尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。

输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式：将反映系统动态过程的n 微分方程或传递函数，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。

状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。

由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。

下面就是状态空间表达式的标准描述：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=•u t D x t C y u t B x t A x )()()()(式中： A ∈Rn ╳n ——由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵；B ∈Rn ╳r ——称为输入矩阵或控制矩阵；C ∈Rm ╳n ——称为输出矩阵；D ∈Rm ╳r ——称为直接转移矩阵。

3状态空间分析法的数学模型3.1状态空间法的基本概念用状态空间法进行控制系统的分析和综合，比以传递函数为基础的分析设计方法更为直接和方便。

为说明如何用状态空间描述和分析控制系统，这里先介绍状态变量、状态空间、状态方程等几个基本概念。

3.1.1状态变量描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。

每一变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为状态变量。

状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测量的变量。

3.1.2状态向量与状态空间（1）状态向量。

状态向量是以状态变量为元组成的向量。

如x 1(t )，x 2(t )、x 3(t )，…，x n (t )是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，即：12()()()()n x t x t X t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）状态空间。

以x 1(t )，x 2(t )，x 3(t )，…，x n (t )为坐标轴所组成的正交n 维空间，称为状态空间，状态空间中的每一点，都代表状态变量的唯一和特定的一组值。

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。

3.1.3 状态方程与输出方程（1）状态方程。

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。

状态方程反映了输入与状态变量间的关系。

（2）输出方程。

在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

对于线性系统，其状态方程和输出方程一般可以表示为：)()()()()()(t Du t CX t Y t Bu t AX dtt dX +=+= 式中： A ∈R n ╳n ——由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵；B ∈R n ╳r ——称为输入矩阵或控制矩阵；C ∈R m ╳n ——称为输出矩阵；D ∈R m ╳r ——称为直接转移矩阵。

3.2状态空间表达式系统的状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统动态过程的完整描述，称为系统的状态空间表达式。

4 状态空间分析法的主要特点4.1 状态空间描述系统带来的新概念——可控性和可观性可控性和可观测性是系统的一种特性。

这两个概念是卡尔曼在60年代提出的，是现代控制理论中的两个重要概念。

它是最优控制和最优估计的设计基础。

可控性是检查每一状态分量能否被u(t)控制，是指控制作用对系统的影响能力；可观性表示由观测量y 能否判断状态x ，它反映由系统输出量确定系统状态的可能性。

因此，可控性和可观测性从状态的控制能力和状态的识别能力两个方面反映系统本身的内在特性。

实际上，现代控制理论中研究的许多问题，如最优控制、最佳估计等，都以可控性和可观测性作为其解存在的条件。

可控性定义：线性系统u t B x t A x )()(+=•，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在有限时间区间[]f t t ,0内，使系统由某一初始状态)(0t x ，转移到任一终端状态)(f t x ，则称此状态是能控的。

可观性的定义：线性系统⎪⎩⎪⎨⎧=+=•x t C y u t B x t A x )()()(如果对任意给定的输入)(t u ，在有限观测时间0t t f >，使得根据在[]f t t ,0期间的输出()y t 能唯一地确定系统在初始时刻的状态)(0t x ，则称状态)(0t x 上是能观测的。

4.2 状态空间分析法在描述分析系统时的特点在经典控制论中，对线性定常系统可以用微分方程或传递函数加以描述，但这样的数学模型只能涉及到输入与输出两个变量，只能描述输入及输出变量的变化过程。

因此，这样的数学模型只能用来描述单输入——单输出系统。

但事实上，一个系统除了输入、输出两个变量之外，还包含有其他相互独立的中间变量信息，微分方程或传递函数不能描述出这些变量，因此不能包含系统的全部信息。

此外，许多实际系统也并不仅仅是只有一个输入或输出变量。

因此，从是否完全揭示系统的全部运动信息来说，微分方程或传递函数是有不足的，而且对于多变量系统，一个微分方程不能完全描述整个系统。