第6章状态变量分析法

间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
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状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
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Байду номын сангаас
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连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
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由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
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由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
M
•
xn (t) gn x1(t)，x2 (t)，L xn (t)，f1(t)，f2 (t)，L fm (t)
其中：x1(t) ，x2 (t) ，L ，xn (t) 为系统的 n 个状态变量；
•
xi (t)
dxi (t) (i 1, 2,L
n) 是状态变量的一阶导数；
dt
f1(t) ，f2 (t) ，L ，fm (t) 为系统的 m 个输入信号；
信号与系统 (Signals & systems)
第6章
第6章 状态变量分析法 输入—输出描述法（端口分析法/外部法）
强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描 述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后， 就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时 间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分 析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为 简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是 n 阶微分或差分方程。
x2 (k 1) a21x1(k) a22 x2 (k) L a2n xn (k) b21 f1(k) b22 f2 (k) L b2m fm (k)
L
L
L
L
L
L
L
L
xn (k 1) an1x1(k) an2 x2 (k) L ann xn (k) bn1 f1(k) bn2 f2 (k) L bnm fm (k)
P322：式6 1 8
y1 (t) c11x1 (t) c12 x2 (t) L c1n xn (t) d11 f1 (t) d12 f2 (t) L d1m fm (t)
y2 (t) c21x1 (t) c22 x2 (t) L c2n xn (t) d21 f1 (t) d22 f2 (t) L d2m fm (t)
二是利用系统的初始条件求取状态方程和输出方程的 解。
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状态与状态空间(4) 动态独立变量（系统复杂度的阶数n）
最习惯选取的状态是电 感的电流和电容的电压，因 为它们直接与系统的储能状 态相联系。
n bLC nC nL
bLC ：电路中储能元件的个数 nC ：仅有电容（或电压源）组成的独立回路（/全电容回路）的总数 nL ：仅有电感（或电流源）组成的独立割集（/全电感割集）的总数
x1(k 1)
x2 xn
(k M (k
1)
1)
a11 a21
M an1
a12 a22 M an2
L L M L
a1n
a2n
M
ann
x1(k)
x2 xn
(k) M(k )
+
b11 b21
M bn1
b12 b22 M bn 2
L L M L
b1m
b2
m
M
bnm
y1(k)
A
a21
M
an1
c11 C c21
M
cr1
f1
y1
，
f
Mff2m
，
y
Myy2r
a12 L a22 L
a1n
a2
n
M M M
b11 ， B b21
M
an2 L
ann
bn1
c12 L c22 L
c1n
c2n
M M M
d11
，
D
d
21
M
cr 2 L crn
dn1
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连续系统状态方程的一般形式(3)
线性时不变系统：状态方程和输出方程均为状 态变量和输入信号的线性组合。
P322：式6 1 7
•
x1 (t) a11x1 (t) a12 x2 (t) L a1n xn (t) b11 f1 (t) b12 f2 (t) L b1m fm (t)
•
x
Ax
Bf
y Cx Df
Dt
et
Bt
λ t Ct
rt
At
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离散系统状态方程的一般形式(1)
线性时不变离散系统的状态方程是状态变量和输入序列的一 阶线性常系数差分方程组
x1(k 1) a11x1(k) a12 x2 (k) L a1n xn (k) b11 f1(k) b12 f2 (k) L b1m fm (k)
上述所谓“完全”表示反映了系统的全部状况，“最少”表 示确定系统的状态没有多余的信息。
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状态与状态空间(2)
状态矢量—能够完全描述一个系统行为的n个状态变量，可以看成 一个矢量x(t)的各个分量的坐标，此时矢量x(t)称为状 态矢量，并可写成矩阵的形式
x1(t)
x(t
)
x2
状态变量—用来描述系统状态的数目最少的一组变量。显然，状 态变量实质上反映了系统内部储能状态的变化。状态变量 通常用x1(t) 、x2 (t) 、L 、xn (t)来表示。起始时刻t t0时的 一组取值x1(t0 ) 、x2 (t0 ) 、L 、xn (t0 )表示了系统在t t0时的 状态，称为初始状态，它反映了t t0以前系统的工作情况 ，并以储能的方式表现出来的结果。而t t0时输入和初始 状态一旦确定，这组状态变量便可以完全惟一的确定系统 t t0任意时刻的运动状态，从而确定t t0时系统的响应。
y2 (k) c21x1(k) c22 x2 (k) L c2n xn (k) d21 f1(k) d22 f2 (k) L d2m fm (k)
L
L
L
L
L
L
L
L
yr (k) cr1x1(k) cr2 x2 (k) L vrn xn (k) dr1 f1(k) dr 2 f2 (k) L drm fm (k)
y2 (k M
yr (k
) )
x(k 1) Ax(k) Bf (k) A ：系统矩阵
C ：输出矩阵
B ：控制矩阵 D ：系数矩阵
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离散系统状态方程的一般形式(1)
线性时不变离散系统的输出方程是状态变量和输入序列的代 数方程组
y1(k) c11x1(k) c12 x2 (k) L c1n xn (k) d11 f1(k) d12 f2 (k) L d1m fm (k)
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连续系统状态方程的一般形式(2) 连续系统的输出方程是状态变量的代数方程
组
P322：式6 1 8
y1(t) w1 x1(t)，x2 (t)，L xn (t)，f1(t)，f2 (t)，L fm (t) y2 (t) w2 x1(t)，x2 (t)，L xn (t)，f1(t)，f2 (t)，L fm (t)
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第6章 状态变量分析法 状态变量描述法的主要优点
（1）可以有效地提供系统内部的信息，使人们 较为容易地处理那些与系统内部情况有关的分析、 设计问题；
（2）不仅适用于线性时不变系统的单输入—单 输出系统特性的描述，也适用于非线性、时变、 多输入、多输出系统特性的描述；
（3）便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计 算。
f f
2mM((kk))
y(k) Cx(k) Df (k)
A ：系统矩阵 C ：输出矩阵
B ：控制矩阵 D ：系数矩阵
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6.2.1 连续系统动态方程的建立 1 由电路图建立状态方程 2 从输入—输出方程导出状态方程 3 从模拟图建立状态方程
直接法：依据给定系统结构直接编写出电路的 状态方程。该方法直观，有很强的规律性，特 别适用于电网络的分析计算。 间接法：常利用系统的输入—输出方程、系统 模拟图或信号流图编写状态方程。该方法适用 于系统模拟和系统控制的分析设计。
(t)
L L
或 x(t) x1(t) ，x2 (t) ，L
，xn (t)
xn (t)
状态空间—状态矢量所在的空间称为状态空间。状态矢量所包含