第八章 系统状态变量分析
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
第八章 系统的状态变量分析法
x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1
xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2
x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0
x2
0
.. ...... e(t)
1
xn1
b1
第八章 系统的状态变量分析
画出并联形式的信号流图
设状态变量x1(t)、 x2(t)
1
x1 s x2s
1
6
x1 x1 f x2 2 x2 f
x1
-1
f(t)
1
1
-4
y(t)
x1 1 0 x1 1 x 0 2 x 1[ f ] 2 2
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：
一、授课内容 1 、授课科目：信号与系统 2、 授课内容：§8.1-5 系统的状态方程的建立和求解 3、 授课类型：讲 授 4、 授课时间：4学时 5、 主讲教师：邵建设 二、教学目的要求 1、掌握状态方程的建立方法； 2、掌握状态方程的求解方法。 三、教材分析 1、概述：状态变量法用一组状态变量的一阶微分或差分方程来描述系统，它 能完成揭示系统的内部特性，便于处理多输入输出系统，便于进行计算机求解，还 容易推广到时变系统和非线性系统。 2、教学重点：1）.状态方程的建立；2）.状态方程的求解。 3、教学难点：状态方程的求解方法。 四、教学设想 1、教学方法设想：讲授与MATLAB仿真和实验演示法相结合，使之更具有说 服力。 2、教具运用设想：计算机、投影仪。 五、教学过程 [步骤一] 导入新课：输入-输出法，仅仅限于研究系统的外部特性。 [步骤二] 讲授新课：
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
设状态变量x1(t)、 x2(t)
1
x1 s x2s
1
6
x1 x1 f x2 2 x2 f
x1
-1
f(t)
1
1
-4
y(t)
x1 1 0 x1 1 x 0 2 x 1[ f ] 2 2
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：
一、授课内容 1 、授课科目：信号与系统 2、 授课内容：§8.1-5 系统的状态方程的建立和求解 3、 授课类型：讲 授 4、 授课时间：4学时 5、 主讲教师：邵建设 二、教学目的要求 1、掌握状态方程的建立方法； 2、掌握状态方程的求解方法。 三、教材分析 1、概述：状态变量法用一组状态变量的一阶微分或差分方程来描述系统，它 能完成揭示系统的内部特性，便于处理多输入输出系统，便于进行计算机求解，还 容易推广到时变系统和非线性系统。 2、教学重点：1）.状态方程的建立；2）.状态方程的求解。 3、教学难点：状态方程的求解方法。 四、教学设想 1、教学方法设想：讲授与MATLAB仿真和实验演示法相结合，使之更具有说 服力。 2、教具运用设想：计算机、投影仪。 五、教学过程 [步骤一] 导入新课：输入-输出法，仅仅限于研究系统的外部特性。 [步骤二] 讲授新课：
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
第八章系统的状态变量分析
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
第八章 系统的状态变量分析
二、由模拟框图建立状态方程
(1) 选取积分器的输出作为状态变量； 选取积分器的输出作为状态变量 积分器的输出作为状态变量； (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程。 围绕加法器列写状态方程 输出方程。 加法器列写状态方程和
三、由微分方程或系统函数建立状态方程
(1) 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图。 由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图 模拟框图。 (2) 再由模拟框图建立系统的状态方程。 再由模拟框图建立系统的状态方程 模拟框图建立系统的状态方程。
b12 b 22 ⋅⋅⋅ bn2
d 12 d 22 ⋅⋅⋅ d p2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
b1 m b2m ⋅⋅⋅ b nm
d 1m d 2m ⋅⋅⋅ d pm
连续时间系统状态方程的建立
由电路建立状态方程 由模拟框图建立状态方程 由微分方程或系统函数建立状态方程 状态方程的规范型实现
b11 b 21 ⋅⋅⋅ bn1
b12 b22 ⋅⋅⋅ bn 2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
(n*m阶)
b1m x1 b2 m x 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ bnm xm
(m维)
一、连续时间系统状态方程的一般形式
& & q3 (t ) = 2.5q2 + q2 − 4q3 = 2q1 (t ) − 0.5q2 (t ) − 4q3 (t ) y (t ) = q3 (t )
例2 已知一个LTI系统的系统函数为 LTI系统
2s + 5 H (s) = 3 s + 9 s 2 + 26 s + 24
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习题八
8-1对图8-1所示电路，列写出以)(t u C 、)(t i L 为状态变量x 1、x 2，以)(1t y 、)(2t y 为输出的状态方程和输出方程。
8-2 描述某连续系统的微分方程为
)(2)()(2)()(5)()1()1()2()3(t f t f t y t y t y t y +=+++
写出该系统的状态方程和输出方程。
8-3 描述连续系统的微分方程组如下，写出系统的状态方程和输出方程。
（1）)()()(2)(3)(211)
1(1)2(1t f t f t y t y t y +=++
)(3)()()(4)(212)
1(2)2(2t f t f t y t y t y -=++ （2）)()()(12)
1(1t f t y t y =+
)()()()()(21)
1(2)
1(1)
2(2t f t y t y t y t y =+++
8-4 以x 1、x 2、x 3为状态变量，写出图8-3所示系统的状态方程和输出方程。
8-5 如图8-7所示连续系统的框图。
（1）写出以x 1、x 2为状态变量的状态方程和输出方程。
（2）为使该系统稳定，常数a ，b 应满足什么条件？
8-6 描述某连续系统的系统函数为
12
492)(22+++=s s s
s s H
画出其直接形式的信号流图，写出相应的状态方程和输出方程。
8-7 某离散系统的信号流图如图8-13所示。
写出以x 1（k ）、x 2（k ）为状态变量的状态方程和输出方程。
8-8 如图8-14所示离散系统，状态变量x 1、x 2、x 3如图8-14所示。
列出系统的状态方程和输出方程。
习题八答案8-1
8-2
8-3
8-4
解： 将系统函数)(s H 改写成
2
11
124192)(---+++=s
s s s H 由此可画出直接形式的信号流图，如图8-10所示。
选取图8-10中积分器的输出作为状态变量。
由图8-10可写出如下方程 21x x =•
① f x x x +--=•
212412 ②
f x x x x y 224922122++-=+=•
③
将式①和式②写成矩阵形式，得状态方程
将式③写成矩阵形式，得输出方程
8-7。