状态变量分析法优秀课件
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第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
第七章 系统的状态变量分析法
1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
电网络分析与综合--网络分析的状态变量法--ppt课件
第七步：由P157式4-4-40可写出：
d d t C L ~u ~ iL C H H C L C C H H C L L L u iL C H H C L V V
~
H H C L II u iL V d d t C L ~ iu IV
化简后得该系统网络的状态方程为：
7. 求8个混合参数 ； H C 、 H C L 、 C H C 、 H L L 、 L H C 、 H V L 、 V H C 、 H ILI
（1）在树支电容电压 U C 单独作用下，其他独立电源置零（电 压源、电流源短路）求 iC 和 U L 。
iCHCC•uc ULHLC•uc
（2）在连支电感电流 iL 单独作用下，其他独立电源置零（电 压源、电流源短路）求 iC 和 U L 。
电网络分析与综合--网络分析的 状态变量法--ppt课件
第四章 网络分析的状态变量法
一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程 【4-4】、【4-5】
二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程 【4-6】、【4-7】
三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程 【4-8】、【4-9】
一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程步骤：
网络中受控源：
u 5 iL 5 ( iL 9 iS)
消去中间变量u，整理得标准状态方程：
uC• 2
• uC 3
• iL8 • iL9
0 0 0 0
0
0 0 -1 3
0
0 0 0
-
1 6
uC 2
0
7 12 5 -5
3
uC 3 iL8 iL9
0 0 0
1
由P153式4-4-3
S R LI
第6章系统的状态变量分析法
∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
第十一章信号与系统状态变量分析法
x Ax Be
y1 c11 c12 c1n x1 d11 c2 n x2 d 21 y2 c21 c22 ym cm1 cm 2 cmn xn d m1
整理得
x x
' 1 ' 2
u1 t
uC t
+ -
iC
C
u2 t
L 1 C
1 1 L x1 L 1 x2 0 R2C
0 u1 1 u2 R2信号与线性系统电子讲义 C
d12 d 22 dm2
d1 p e1 d 2 p e2 d mp e p
信号与线性系统电子讲义
y Cx De
状态方程和输出方程的矩阵形式
连续时间系统 状态方程 x Ax Be 输出方程 y Cx De
信号与线性系统电子讲义
LTI系统状态方程的一般形式
状态方程 x1' a11 x1 a12 x2 a1n xn b11e1 b12e2 b1 p e p ' x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21e1 b22e2 b2 p e p ' xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1e1 bn 2 e2 bnp e p
12
输出方程 y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11e1 d12 e2 d1 p e p y c x c x c x d e d e d e 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2p p ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1e1 d m 2信号与线性系统电子讲义 p e2 d mp e
第6章 状态变量分析法
b11 b 21 bn1
b12 b22 bn 2
b1m b2 m bnm
y1 (k ) y2 ( k ) yr ( k )
x(k 1) Ax(k ) Bf (k )
14
A ：系统矩阵 C ：输出矩阵
9
•
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(2) 连续系统的输出方程是状态变量的代数方程 组
P322：式6 1 8 y1 (t ) w1 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) y2 (t ) w2 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) yr (t ) wr x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
通信与信息基础教学部
x Ax Bf b1m y Cx Df b2 m bnm A ：系统矩阵 d1m B ：控制矩阵 d2m C ：输出矩阵 D ：系数矩阵 d rm
信号与系统 (Signals & systems)
第6章
第6章 状态变量分析法 输入—输出描述法（端口分析法/外部法）
强调用系统的输入、输出变量之间的关系来 描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后， 就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时 间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分 析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为 简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是 n 阶微分或差分方程。
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
信号分析第九章 线性连续系统的状态变量分析.ppt
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状
态变量，可以表示为矩阵。
状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组
输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组
系统方程: 状态方程和输出方程的总称.
说明:
1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和 输入信号的线性组合;
2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间 变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是 时间的函数,表明系统是线性时变的.
R L
iL
t
vC
t
1 C
iL
t
1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：
d
dt
d
dt
iL
t
vC t
1RL C
1 L 0
iL t
vC
t
1
L
0
et
只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
x
t
L1 sI A1 x 0
L1 sI A1 BF s
y
t
C1444s4I4444A2441 4x4404443
零输入解
14C444s4I444A44421 B44444D444F4(4s43)
几种注意情况：
1.几个电感串联，独立状态变量只有一个iL (t)
2.几个电容并联，独立状态变量只有一个uC (t) 3.一个闭合回路中有n个电容和m个电源， 独立电容电压变量(：n 1)个 4.一个节点有n个电感和m个电流源汇合，而无其它元件， 独立电流变量： (n 1)个
态变量，可以表示为矩阵。
状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组
输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组
系统方程: 状态方程和输出方程的总称.
说明:
1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和 输入信号的线性组合;
2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间 变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是 时间的函数,表明系统是线性时变的.
R L
iL
t
vC
t
1 C
iL
t
1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：
d
dt
d
dt
iL
t
vC t
1RL C
1 L 0
iL t
vC
t
1
L
0
et
只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
x
t
L1 sI A1 x 0
L1 sI A1 BF s
y
t
C1444s4I4444A2441 4x4404443
零输入解
14C444s4I444A44421 B44444D444F4(4s43)
几种注意情况：
1.几个电感串联，独立状态变量只有一个iL (t)
2.几个电容并联，独立状态变量只有一个uC (t) 3.一个闭合回路中有n个电容和m个电源， 独立电容电压变量(：n 1)个 4.一个节点有n个电感和m个电流源汇合，而无其它元件， 独立电流变量： (n 1)个
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根据换路定律有x(0+)=x(0-)=பைடு நூலகம்(0)=x0
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
i dqCduc dt dt
把电容电压 u c 表示为电流i的函数，则上式积分得
uc(t)C1 i(t)dt
说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于 这一时刻的电流值，而是取决于从 －∞到t所有时刻的电流 值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。
总有一个初始时刻 t 0 ，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻 t 0 以后的
维矢量：
λ(t)
1 (t )
2
(
t
)
状态空间：
1 t
t
2
t
n
t
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述， 则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。
状态轨迹：
在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。
uC
(I0 ,U0 )
O
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)
状态变量分析法
contents
1
状态和状态变量
2
连续时间系统状态方程的建立
3
连续时间系统状态方程的求解
4
离散时间系统状态方程的建立求解
5
系统状态方程的稳定性、能控性介绍
一 状态和状态变量
状态和状态变量是描述物理系统特性的一 个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们 专门的含义，是一个专用的术语。
【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程 和输出方程。
R
iL
vs
L
C
vc
图1
R
Cdvdct(t) iL(t )
vs
LdiL(t) dt
vc(t)
RiL(t)
vs(t)
iL L C vc
整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变 量的输入变量而不含有它们的导数。
将状态方程组写成如下形式
状态变量分析法定义：
（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。
（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。
状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。 由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计 算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析， 而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电 路的分析。
状态的定义：一个电路的状态是指在任意 时刻 t 0 必须具备最少量的信息，这些信息与t 0 时刻以后的激励，就能够完全确定 t 0 以后任何 时刻电路或系统响应。
用来定义电路状态的最少数目的变量，则 称为状态变量。
下面来针对电路元件来说明取作状态变
量的是那些物理量。
线性电容元件的电压 u c 和电流i的关系式为：
另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即 W 1 Li2(t)
根据机电类比关系，由于转动部分的动能为1
2
J
2 m
2
，所以在机电系统中，电
容电压，电感电流和角速度都是状态变量。
在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方
程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。
yCxDf
一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的， 且是最少个数的。
状态方程的标准形式：
•
x Ax Bf
其中x=[u c iL ]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
f—为输入向量 x(0+)=[U 0 I 0 ]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
dvdct(t)0
diL(t) dt
－L1
C 1R LviLc((tt))L10vs(t)
xAxBf
在 vC(t), iL(t) 已知后，假设输出u o 是电阻与电感上的电压之和。 vvRL((tt))RvisL((tt))vc(t)RiL(t)
输出电压：
uo vs vc
输出方程：
uo 01ivLctt10vs
时的电容电压uc (t) 。因此电容电压uc (t) 就是电容元件的状态变量。
同理，由于在任选时刻 t 0 以后的电感元件的电流表达式可以表示为
i(t) 1t u (t)d t1t0u (t)d t 1tu (t)d t
L－
L－
Lt0
i(t0)L1
t t0
u(t)d
t
所以，电感的电流值 i (t ) 也是一个状态变量。
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。
（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。 响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
状态轨迹是向外发散的。
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必 需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电 流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立 的电感电流iL作为状态变量。
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
i dqCduc dt dt
把电容电压 u c 表示为电流i的函数，则上式积分得
uc(t)C1 i(t)dt
说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于 这一时刻的电流值，而是取决于从 －∞到t所有时刻的电流 值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。
总有一个初始时刻 t 0 ，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻 t 0 以后的
维矢量：
λ(t)
1 (t )
2
(
t
)
状态空间：
1 t
t
2
t
n
t
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述， 则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。
状态轨迹：
在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。
uC
(I0 ,U0 )
O
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)
状态变量分析法
contents
1
状态和状态变量
2
连续时间系统状态方程的建立
3
连续时间系统状态方程的求解
4
离散时间系统状态方程的建立求解
5
系统状态方程的稳定性、能控性介绍
一 状态和状态变量
状态和状态变量是描述物理系统特性的一 个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们 专门的含义，是一个专用的术语。
【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程 和输出方程。
R
iL
vs
L
C
vc
图1
R
Cdvdct(t) iL(t )
vs
LdiL(t) dt
vc(t)
RiL(t)
vs(t)
iL L C vc
整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变 量的输入变量而不含有它们的导数。
将状态方程组写成如下形式
状态变量分析法定义：
（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。
（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。
状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。 由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计 算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析， 而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电 路的分析。
状态的定义：一个电路的状态是指在任意 时刻 t 0 必须具备最少量的信息，这些信息与t 0 时刻以后的激励，就能够完全确定 t 0 以后任何 时刻电路或系统响应。
用来定义电路状态的最少数目的变量，则 称为状态变量。
下面来针对电路元件来说明取作状态变
量的是那些物理量。
线性电容元件的电压 u c 和电流i的关系式为：
另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即 W 1 Li2(t)
根据机电类比关系，由于转动部分的动能为1
2
J
2 m
2
，所以在机电系统中，电
容电压，电感电流和角速度都是状态变量。
在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方
程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。
yCxDf
一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的， 且是最少个数的。
状态方程的标准形式：
•
x Ax Bf
其中x=[u c iL ]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
f—为输入向量 x(0+)=[U 0 I 0 ]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
dvdct(t)0
diL(t) dt
－L1
C 1R LviLc((tt))L10vs(t)
xAxBf
在 vC(t), iL(t) 已知后，假设输出u o 是电阻与电感上的电压之和。 vvRL((tt))RvisL((tt))vc(t)RiL(t)
输出电压：
uo vs vc
输出方程：
uo 01ivLctt10vs
时的电容电压uc (t) 。因此电容电压uc (t) 就是电容元件的状态变量。
同理，由于在任选时刻 t 0 以后的电感元件的电流表达式可以表示为
i(t) 1t u (t)d t1t0u (t)d t 1tu (t)d t
L－
L－
Lt0
i(t0)L1
t t0
u(t)d
t
所以，电感的电流值 i (t ) 也是一个状态变量。
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。
（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。 响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
状态轨迹是向外发散的。
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必 需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电 流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立 的电感电流iL作为状态变量。