第二章恒定电场-1_7515_341_20100402104354

说明分界面上电场强度的切向分 量是连续的，电流密度法向分量是连 折射定律为
tan α1 γ 1 = tan α 2 γ 2
图2.3.1 电流线的折射
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讨论： 两种特殊情况分界面上的电场分布。 a ) 媒质1是良导体，如铜，媒质2是不良导体，土壤
γ 1 = 5 × 10 s / m γ 2 = 10 s / m γ 1
dq I = dt
单 位 ： 安 （ A）
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
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2.1.2
恒定电场的基本物理量——电流密度
不同的电荷分布运动时形成不同的电流密度。 1.电流面密度
体密度ρ分布的电荷以速度v作匀速运动时，形成电流密度矢量J。
J = ρv
通过面积元dS的电流
A m2 亦称电流面密度
D2 n − D1n = σ J 2 n − J1n = 0
ε 2 E 2 n－ε1 E 1n = σ γ 2 E 2 n－γ 1 E 1n = 0
分界面上面电荷密度为
⎛ ⎛ ⎞ γ2 ⎞ γ1 − ε 1 ⎟ E1n σ = ⎜ ε 2 − ε1 ⎟ E2n = ⎜ ε 2 γ1 ⎠ ⎝ ⎝ γ2 ⎠
2 2 2
0
0
1 ∂2ϕ2 2 ∇ϕ2 = 2 2 =0 ρ ∂φ
图2.3.3 不同媒质弧形导电片
(γ2 区域）
场域边界条件 ϕ1 衔接条件
φ=
π
2
= U0
ϕ2 φ =0 = 0 ,
φ1 = φ2
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∂ϕ1 ∂ϕ2 π = γ2 γ1 , (φ = ) ρ ∂φ ρ ∂φ 4
电位
4γ 2U 0 (γ 1 − γ 2 )U 0 ϕ1 = φ+ , π (γ 1 + γ 2 ) γ1 +γ 2
τ分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = v 。 τ
2.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。 电路理论中的欧姆定律： U=RI
l R = 式中γ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。 γS
选择一段元电流管，长度dl，横 截面dS，流过该管的电流为 dI = J ⋅ dS
第二章
恒定电场
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恒定电场的知识结构框图
基本物理量
J,E
欧姆定律
J 的散度
边界条件
基本方程 边值问题
E 的旋度
电位
一般解法
特殊解（静电比拟） 电导与接地电阻
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2.1 2.1.1电流强度
导电媒质中的电流
电荷的定向运动形成电流。电流的强弱用电流强度 表示。 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
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2.2.3 恒定电场
恒定电场在恒定电流下，由分布不随时间变化 但做恒定流动的电荷产生的。 恒定电场分为两部分，一是导电媒质中恒定 电场（主要讨论） ；一是导电媒质周围电介 质或空气中的恒定电场。
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2.3 2.3.1
恒定电场的基本方程 分界面上的衔接条件
恒定电场的基本方程
1. 电流连续性方程 由电荷守恒定律
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图2.2.2
恒定电流的形成
2.2.2
电源电动势与局外场强
电源的电动势可以用局外场强表示，电源电动势与 局外场强的关系为
ε = ∫ Ee ⋅ d l (V )
l
电源电动势与有无外电路无 关，它是表示电源本身的特 征量。
考虑局外场强
Ee
图2.2.3 电源电动势与局外场强
J = γ (E + E e )
4γ 2U0 E1 = − eφ π (γ1 +γ 2 )ρ
4γ 1U 0 ϕ2 = φ π (γ 1 + γ 2 )
4γ1U0 E2 = − eφ π (γ1 +γ 2 )ρ
电场强度
电荷面密度
4ε 0U0 σ = ε 0 E1 − ε 0 E2 = (γ 1 - γ 2 ) π (γ 1 + γ 2 ) ρ
E, σ 与φ 无关，是 ρ 的函数。
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作业： P73 2-1-3 P79 2-3-1 P91 习题2-9
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流过任意线段的电流
I =
∫
l
(K ⋅ en )d l
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工程意义： • 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； • 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电 流线密度表示； • 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电 流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
3、线电流
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图2.1.4
媒质的磁化电流
∂ = 0 在恒定电场中 ∂t
∫
∫
S
S
∂q J ⋅ dS = − ∂t
J ⋅ d S = 0 散度定理
∫
V
∇ ⋅ JdV = 0
故
∇ ⋅J = 0
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
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2. 电场强度的环路线积分 所取积分路径经过电源。
∫
l
(E + Ee ) ⋅ dl = ∫ l E ⋅ dl +
焦尔定律的微分形式
导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可 以证明其功率的体密度为
p = J ⋅E
单位 W/m
3
——焦耳定律的微分形式 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P = UI = I 2 R （W）
—— 焦耳定律的积分形式
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2.2 2.2.1 电源
电源电动势与局外场强
要想在导线中维持恒定电 流，必须依靠非静电力将B极 板的正电荷抵抗电场力搬到A 极板。这种提供非静电力将其 它形式的能量转为电能装置称 为电源。
dI = J ⋅ dS
I =
通过任意面积S的电流
学参考
图2.1.2
电流面密度
2. 电流线密度
按面密度 σ 分布的电荷以速度v运动,形成电流 线密度矢量。
K =σ v
Am
流过某元线段的电流 d I = ( K ⋅ e n ) d l
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
E2 E2t E1t
∵ γ 2 = 0 J2 = 0
∴ J2n = J1n = 0
∵E1n =
J
J1n
γ1
∴E1n = 0
J 1t J1
导体与理想介质分界面
E 1 = E 1t =
γ1
=
γ1
表明 导体侧只存在切向分量电流和电场强度, 导体表面是一条电流线
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∵ J 2 n = E2 nγ 2 J 2 n = 0, γ 2 = 0,∴ E2 n不一定为0
∫
e
Edl = 0
导电媒质（电源外）中的恒定电场微分形式基本方程
∇⋅ J = 0
构成方程
J =γE
∇× E = 0
• 恒定电场是无源无旋场。
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2.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ ∫
续的。
L S
E⋅ dl = 0 J ⋅ dS = 0
⇒ E1t = E 2t ⇒
J1n = J 2 n
E2n等于多少呢？
D2n − D1n = σ ∵ D1n＝ε1E 1n＝0
表明
∴ D2n = ε 2 E 2n＝σ
导体与理想介质分界面上有恒定面电荷分布。
思考： 面电荷是静止的吗？
E2t＝E1t ≠ 0
表明 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位 面。
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γ 不同导电媒质分界面处，区域1， γ 1，ε1 区域2，2，ε 2
两端电压为dU， dU = E ⋅ dl 利用欧姆定律
图2.1.6
J与E之关系
J = γE
dl E ⋅ dl = J ⋅ dS γ dS
欧姆定律的微分形式。
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•
欧姆定律的微分形式 。 电流密度与电场强度方向一致。
J = γE
• 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
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2.1.4
∫
l
Ee ⋅ dl = 0 + ε
∫
l
( E + Ee ) ⋅ dl = ε
所取积分路径不经过电源，则
∫
l
E ⋅ dl = 0
斯托克斯定理
∫ (∇ × E ) ⋅ d S = 0
s
得
∇×E = 0
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3. 恒定电场的基本方程 导电媒质（电源外）中的恒定电场积分形式基本方程
∫
s
J ⋅ dS = 0
7
−2
γ2
由折射定理得 γ1 tan α 1 = → ∞ tan α 2 γ2
π
则
α2 ≈ 0
它表明，只要 α1 ≠ ，电流线垂直于良导体表面穿出，良 导体表面近似为等位面。 2
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b）
( (γ 媒质1是导体， 1 ≠ 0 ) 媒质2是理想介质 γ 2 = 0 ) 情况。
E2n γ2(空气) γ1(导体)
ϕ1 = ϕ 2
∂ϕ 2 ∂ϕ 2 γ1 =γ2 ∂n ∂n
边界条件
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下， 求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。
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例2.3.2 ？
试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布
解：选用圆柱坐标，边值问题为：
1 ∂ ∂ϕ1 1 ∂ ϕ1 ∂ ϕ1 (ρ ) + 2 2 + 2 = 0 (γ1 区域 ∇ ϕ1 = ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ）