第二章恒定电场 2012-11

E dl dU dI dl /( dS ) J n R n n E J E dS dS dS dW dP dUdI ( E dl )( J dS ) EJdV dt
dP p EJ E 2 dV
恒定电场的基本方程
l
7. 上面两个积分方程可以推出
J 0, E 0
J 0
恒定电场仍然是一个保守场 . 且电流线方程满足
3.不同媒质分界面上的边界条件
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件
J dS 0
S
E dl 0
l
J1n J 2n
对线性各向同性媒质，
1 E1n 2 E2n
J2
2 E2n 1E1n
2, 2
P

2 1 1 2 J 2n 1 2
1, 1
J1
1-3-1 有恒定电流通过两种不同的导体媒质(介电常数和 电导率分别是 1 , 1和 2 , 2 )的分界面. 问若要使两种电解 质分界面处的电荷面密度为零, 则应该满足何条件?
分布的体电荷以速度v 作匀速运动形成的电流。
J v
电流
A m2
I
亦称电流密度

S J dS
图2.1.2 电流面密度
图2.1.3 电流元示意
注意：1) 电流密度的符号通常用：J , K , I , , 2) 电荷密度的符号通常用：
2. 电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度 v 运动形成的电流。
方,圆柱轴线距离平板的距离为 h，空间充满导电率为 的不良导体. 若导体的电导率远远大于 ,求圆柱和平板 间对应截面单位长度的电阻.
解: 设电轴与圆柱几何轴线重合, 依据经典比拟原理, 先求电容C. 设圆柱带有线电流，则两圆柱 之间电压为

bha U ln (课本 P 45) b h a
深埋球形接地器
图2.5.3深埋球形接地器
解：深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可 与无限大区域 ( ) 的孤立圆球的电流场相似。 解法一 法 直接用电流场的计算方
I I I J I U dr E IJ a 4r 2 4a 2 4r 2 4r
R 1 4a
5. 电流连续方程（电荷连续方程）
S J dS 0
6. 电场强度的环路积分
把作用于单位正电荷上的局外力 Fe / q设想为一等效场强，称 为局外场强Ee ,而电源的电动势 Ξ 就可表示为
Ee dl ( E Ee ) dl ，特别地


l
E dl 0
J 2n 0
2 1
J1
E2n P
n
2
J1n 0
E1n 0
E2n 0
1
因为导体的电导率 1 很大， 而理想介质电导率为0.
导体
E1t E2t J1t / 1 很小。
E2t
J2t
(4) 两种有损电介质分界面上的边界条件 D2n D1n J1n J 2n
n n
§3-2 恒定电场与静电场的比拟
导电媒质中的恒定电场(电源外) 介质中的静电场( = 0处)
只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位 、 电场强度 E 和电流密度 Jc 的分布将分别与静电场中的电位 、电场强度E和电位移矢量D的分布相一致。
D E U / d d
I
以浅埋半球接地器为例
J I 2r 2
x
1 xb bI dr ( ) 2 2r 2 r x 2x( x b) I
为保护人畜安全起见 U UO （危险电压取40V)
相应 X 0
Ib 2U 0
为危险区半径
图2.5.7 半球形接地器的危险区
在电力系统的接地体附近，要注意危险区。
K v
电流
Am
I ( K en )dl
l
en 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量
工程意义： • 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； • 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电 流线密度表示,如图示；
• 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流
图2.1.3 电流线密度及其通量
2l , R2 ln R1
C 则根据 G 关系式得
同轴电缆电导
G
2l R2 ln R1
,
绝缘电阻
R
1 2 l
ln
R2 R1
同轴电缆
0; 时 , U0 。 例2.5.2 求图示电导片的电导，已知给定 0 时，
解：取圆柱坐标系， ( ) ，边值问题：
第二章
相同之处
恒定电场
1) 都是由电荷所激发的不随时间变化的电场 ;
前者电荷静止而后者匀速运动, 都与时间无关 2) 对外界形成电场有相似之处。
不同之处
1) 静电场存在于电介质中，而恒定电场 存在于导体中(包括良导体和不良导体). 2) 前者场强处处为零并且为等位体；后者 (库仑)场强一般不为零并且为非等位体. 3) 电场为恒定电场的条件为任何闭合面 电流量对时间导数为零。
E1t E2t
tg1 1 tg 2 2
J 1 1 E 1 J 2 2 E2
注意: 静电场的边界衔接条件仍然成立.
(2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件
1 2
1 90o
2 0o
J2
例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m，周围土壤的电 导率2 = 10-2 S/m，1 = 89，可知，2 8。 良导体表面可近似看作为等位面 (3) 导体与理想介质分界面上的边界条件
注意1: 下面几何体可以直接用电流强度I表示J: 1) 平行板; 2) 同心圆柱; 3) 同心球； 注意2: 它们与第一章相应几何体的场强公式对比.
例2.5.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2，长度为 l
,中间媒质的电导率为 ，介电常数为 。 解法一 设 直接用电流场的计算方法
解法二 静电比拟法
C G
C 4a ,
G 4a ,
R 1 4a
2. 直立管形接地器
解： 考虑地面的影响，可用镜像法。 由静电比拟法
C , G
则
图2.5.4 直立管形接地器
G
4l C , 4l ln d 4l
4l ln d (2l d )
2 1 2 2 2 0
0 0 , U 0
方程通解为 C1 C2 ，代入边界条件，可得 电位函数 (
图2.5.2 弧形导电片
U0 ) ,
E
U e 0 e
电流密度 电流 电导
两式相比，得
C G
I,I”
对比P43页公式 (a) (b) 图2-9 恒定电场中镜像法 思考: P90 2-5 如果导电媒质不均匀, 媒质中的电位是否 满足方程 2 0 ? P91 2-12 在电流密度不为零的地方, 电荷体密度是 否可以等于零？ (c)
电导及其计算
1. 电导的定义： 电阻是它的倒数：
I S J dS JS
I US / d
图2-7 同一种介质中的静电比拟
1 / 1 2 / 2 3 / 3
图2-8 不同介质中的静电比拟 成立条件
电容与电导的比拟公式
根据上面公式，更加一般地可得：
Q C U I G U D dS S E dS S l E dl l E dl J dS S E dS S l E dl l E dl
趋於表面分布，可用电流线密度表示。
3、线电流
图2.1.4
媒质的磁化电流
分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = v
。
恒定电场中几个主要公式
1) 欧姆(Ohm)定理 : U IR 2) 焦耳-愣次定律:
2
R l / S
P UI I R
3) 欧姆定理和焦耳定理的微分形式如下：
U 0 E dl Ed E U / d ;
d
U 0 E dl Ed E U / d
d
q US / d
x E dl U (d x)/ d q S ds S D d S DS
J dE U / d x E dl U (d x) / d
2.1
2.1.1电流强度
导电媒质中的电流
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 dq I A dt
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
2.1.2 恒定电场的基本物理量—电流密度
图2.1.1 电流面密度矢量
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒 质中，它与电场强度方向一致。 1.电流面密度
G I /U R U / I
2. 电导的求法: I J E U G 1) 已知电流, 按照 U E J I G 2) 已知电压, 按照 3) 从拉普拉斯方程求解. E J I G 4) 满足静电比拟条件, 可以使用静电比拟公式.
图2-11 需要注意几种常见几何图形中电流密度表达
U 0 J E e
R2
1
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
I J dS
2-4-2 半径为a的长直圆柱导体放在无限大的导体平板上
I 2 1 G G, 实际电导 U 2