第二章恒定电场

J v
A m2 亦称电流密度
电流
I S J dS
图2.1.2 电流面密度
2. 电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。
K v
Am
电流
I l (K en )dl
e n
是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量
工程意义：
• 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；
• 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电
2.1.1电流强度
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I dq
A
dt
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
2.1.2 恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒 质中，它与电场强度方向一致。
图2.1.1 电流面密度矢量
1.电流面密度
分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。
（W）
—— 焦耳定律的积分形式
2.2 电源电势与局外场强
2.2.1 电源
要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非 静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板 。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电 能装置称为电源。
图2.2.2 恒定电流的形成
2.2.2 电源电动势与局外场强
设局外场强为
Ee
fe q
(
1 1
2 )U0
2
,
2
4 1U0 ( 1
2)
电场强度
E1
4 2U0 ( 1 2
)
e
E2
4 1U0 (1 2 )
e
电荷面密度
0 E1
0E2
4 0U 0 (1 2 )
( 1
即 Jdv, Kds, Idl 。
2.1.3 欧姆定律的微分形式
电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明
J E
欧姆定律的微分形式。
式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。
图2.1.6 J与E之关系
• 恒定电流场与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 • 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
1. J的散度
电荷守恒定律
SJ
dS
q t
在恒定电场中 0 t
J dS 0 散度定理 S
JdV 0
V
故
J 0
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
2. E的旋度
所取积分路径不经过电源，则
l E dl 0 斯托克斯定理
( E)dS 0
s
得
E 0
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
b） 媒质1是导体，( 1 0) 媒质2是理想介质 ( 2 0) 情况。
2 0 J2 0 J2n J1n 0
表明 1 导体表面是一条电流线。
E2n
J 2n
2
0
E1n
J1n 1
D2n D1n 2 E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态
图2.3.2 导体与理想介质分界面
解：选用圆柱坐标，边值问题为：
0
0
21
1
(
1 )
1
2
21 2
21
z 2
0
( 1 区域）
图2.3.3 不同媒质弧形导电片
2 2
1 2
2 2 2
0
( 2 区域）
场域边界条件 0 0,
2 , U0 2
衔接条件 1 2
1
1
2
2
,
( ) 4
电位
1
4 2U0 ( 1
2
)
，则电源电动势为 l Ee dl
(V )
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
考虑局外场强E e J (E Ee )
因此
(E l
Ee ) dl
E dl
l
l Ee dl
0
局外场 Ee 是非保守场。
图2.2.3 电源电动势与局外场 强
2.3 恒定电场的基本方程 • 分界面上的衔接条件 •边值问题 2.3.1 恒定电场的基本方程
基本概念： • 电介质中的静电场 • 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 • 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场
基本物理量 J
欧姆定律
J 的散度 边界条件 一般解法
基本方 程
边值问题
E 的旋度 电位
电导与接地电阻
特殊解（静电比拟
）
图 2.0.2 恒定电场的知识结构框图
2.1 导电媒质中的电流
• 在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线方向是否一致？ • 电流线密度K E 是否成立？
2.1.4 焦尔定律的微分形式
导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明其功率的体密度为
pJE
（W/m 3 ）
——焦耳定律的微分形式
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P UI I 2R
s J dS 0 e E dl 0
• 恒定电场是无源无旋场。
J 0 E 0
J E
2.3.2 分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
LE dl 0 SJ dS 0
E1t E2t J1n J 2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的， 电流密度法向分量是连续的。
折射定律为
tan 1 1 tan 2 2
图2.3.1 电流线的折射
例2.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布。
解：a
)
媒质1是良导体， 1 5 107 s / m
，媒质2是不良导体,
2
102 s / m 。 土壤
由折射定理得
tan 1 tan 2
1 2
，则
2 0
它表明，只要
1
2
，电流线垂直于良导体表面穿出，良导体表面近似为等位面。
流线密度表示,如图示；
图2.1.3 电流线密度及其通量
• 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流 趋於表面分布，可用电流线密度表示。
3、线电流
分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I
Байду номын сангаас
= v
图2.1.4
。
媒质的磁化电流
4. 元电流的概念：
元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流，
vdq vdv, vds, vdl
平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。
若 1 （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。
导体周围介质中的电场E2 E2tex E2ney
图2.3.3 载流导体表面的电场
2.3.3 恒定电场的边值问题
由基本方程出发 E 0 E
J 0 (E) E E 0
J E
常数
得
2 0
拉普拉斯方程
分界面衔接条件
1 2
1
2
n
2
2
n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程 的解答（边值问题）。
恒定电场中是否存在泊松方程？
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布？