第三章 恒定电场
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第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
03第三章_恒定电场(定稿2学时)
I =
∫ J ⋅ dS
S
（3.1-2）
根据上述同样的定义和推导，我们可以得到导体表面 上电流的线密度（面电流密度）J 为：
S
ρs ⋅Δl ⋅Δw ρυΔw ΔI JS = aJ = aJ = aJ s = ρυ s Δw Δt ⋅Δw Δw
（单位：安培/米） 其中，ρ s 是表面上运动电荷（载流子）的密度，
Δ t
= ρ vΔ S
(电流强度的定义：单位时间内流过某截面的电荷电量）
∴
J = ΔI
Δs
= ρv
写成矢量形式：
J = ρυ （3.1-1） ρ 此处，应特别注意， 是指载流子的体密度，在金
属导体中即是自由电子的密度，而不是导体中净电荷的 密度（下面就会讲到，导体中存在恒定电场时，净电荷 的密度恒定为零，它是单位体积中正电荷与负电荷的代 数和）。 已知 J 后，即可求出流过体积中任意一个曲面Ｓ的 电流为：
ΔI
ΔI J = ΔS
ρ
Δl
电流密度的方向规定为正电荷运动的方向。
可见，电流密度为一个矢量 J ，单位为安培／ 2。 米 体电流的面密度（体电流密度，简称电流密度）的 求解： 设某点处载流子的运动速度为 υ ，该点处的电荷体密 度为 ρ ，则在单位时间内流过面元 ΔS 的电荷为：
Δ I =
ρ ⋅Δ l ⋅Δ S
所以，许多恒定电场问题都可以化为静电场的问题 来解决。
例如，在静电场中，充满均匀介质
q C = U
ε
的两导体间的电容为：
而由高斯定律，得：
q = ∫ D ⋅ dS = ε ∫ E ⋅ dS
S S
另外， U =
∫
2
1
E ⋅ dl
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
3-恒定电场
γ2
=
γ1 γ1
+
I’
γ2 γ2
镜像法
γ1 −γ 2 I′ = I γ1 +γ 2
2γ 2 I ′′ = I γ1 +γ 2
实验——用恒定电场实验模拟静电场 用恒定电场实验模拟静电场
模拟法就是应用一种具有中等导电率的媒质代替静电场所 在空间的介质或真空； 在空间的介质或真空；另外一种具有高导电率的导体制成电极 使其形状与形成静电场的导体电极相同。 使其形状与形成静电场的导体电极相同。在模拟电极上加上与 原静电场中电极上电位成比例的电位， 原静电场中电极上电位成比例的电位，于是在导电媒质中形成 恒定电流场。 恒定电流场。 v v 完全相同。 这个恒定电场的 E 与静电场中的 E 完全相同。电位分布也 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。
第3章 恒定电场 章
导体内电场如何求解？ 导体内电场如何求解？ 1. 2. 3. 4.
恒定电场的特点
导体电位差？ 导体电位差？
电荷处于动态平衡状态。 电荷处于动态平衡状态。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动——转化为热能。 转化为热能。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动 转化为热能 对导电媒质以外而言场相对稳定----与静电场相似 相似， 对导电媒质以外而言场相对稳定 与静电场相似，可用静电场 方法求解。 方法求解。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。
J 2n
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
第三章 恒定电场
能转为电能的装置称为电源。
3.2.2 电源电动势 (Source EMF)
图2.2.1 恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
局外场强
fe Ee q
f e －局外力
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第 三 章
恒定电场
总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势
三种电流：
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
dq I dt
A
返 回 上 页 下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.2 电流密度（Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J dS 0
S
E dl 0
l
J 0
E 0
构成方程
J E
返 回 上 页 下 页
结论： 恒定电场是无源无旋场。
第 三 章
恒定电场
3.3.2 分界面的衔接条件（Boundary Conditions) 由
E dl 0
l
J dS 0
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： 对 J E 两边取面积分
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 返 回 上 页 所以 U RI
下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule’s Law) 导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为
工程电磁场第三章恒定电场
第三章 恒定电场3.0 概述1 本章的主要内容(1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场；(3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场一、导电媒质中的恒定电场恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。
两种情况：1．导电媒质中的恒定电场2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。
电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。
对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。
如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。
如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。
只要利用Eγδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。
二、 局外场强与电动势局外场强（局外力设想为一等效场强） q FE e e =电动势 l d qF C l d E C e e⋅=⋅=⎰⎰+-+-11ε局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。
e 与电荷数量即电流无关。
3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式1．电流密度失量（电流面密度矢量）I dtdq t q t ==∆∆→∆0lim电流强度 A 标量 对面而言 通量dS dIS I S =∆∆=→∆0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数δ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S⋅=⎰δ电流场——电流线描述电流线密度矢量n e dl dI K = A/m2．欧姆定律的微分形式导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 Eγδ=γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。
第三章 恒定电场
相同数学模型
相同的泛定方程-泊松方程 相同的定解条件-边界条件 解等价
17
18
例如两导体电极间的电容为
Q ds E ds C 2 2 U E dl E dl
1 1
两导体电极间的电导为
I G U
2
J ds E ds E dl E dl
9
不同媒质分界面上的边界条件
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件
E dL 0
L
E1t E2t
10
恒定电场 折射定律
J dS 0 J J 2n 1n S c tan 1 1 J E tan 2 2 E1t E2t
积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
I J dS J cosdS
S S
3
有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入面 大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。
电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，
ΔI dI K lim n n ΔS 0 Δl dl
4
q 恒定电流:任一闭合面内没有自由电荷增减的变化，即： 0。 t
I
en dS1 t Jc dS2
dI dq Jc 电流密度－－电流线 dS dS dt
S S1 S2 S侧
en
J c dS J c dS J c dS J c dS ＝ J c en1dS J c en 2 dS
I ˆ J r 2 4r
J I ˆ E r 2 σ 4πr γ
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
相同的泛定方程-泊松方程 相同的定解条件-边界条件 解等价
17
18
例如两导体电极间的电容为
Q ds E ds C 2 2 U E dl E dl
1 1
两导体电极间的电导为
I G U
2
J ds E ds E dl E dl
9
不同媒质分界面上的边界条件
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件
E dL 0
L
E1t E2t
10
恒定电场 折射定律
J dS 0 J J 2n 1n S c tan 1 1 J E tan 2 2 E1t E2t
积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
I J dS J cosdS
S S
3
有时，电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，为此，引入面 大小等于通过垂直于电流方向单位长度上的电流强度。
电流密度。任一点面电流密度的方向为该点正电荷移动的方向，
ΔI dI K lim n n ΔS 0 Δl dl
4
q 恒定电流:任一闭合面内没有自由电荷增减的变化，即： 0。 t
I
en dS1 t Jc dS2
dI dq Jc 电流密度－－电流线 dS dS dt
S S1 S2 S侧
en
J c dS J c dS J c dS J c dS ＝ J c en1dS J c en 2 dS
I ˆ J r 2 4r
J I ˆ E r 2 σ 4πr γ
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
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则电流连续性方程的积分形式可写成： q J dS dV t t V s
( J )dV 0 t V
2018/10/12
J t
（3-3-2）
20
第三章
二、恒定电场的基本方程：
1、恒定电流是连续的：
对恒定电场而言，电荷的空间分布 与时间无关。 0
第三章
由不随时间的真实电流（恒定电流）产生的电场 称为恒定电场。 电荷（载流子）在电场的作用下发生宏观运动， 形成真实电流．这样形成的电流又有传导电流和运 流电流之分． 传导电流：在导电媒质（导体、半导体、漏电介 质）中，电荷（载流子）的流动形成的。 运流电流：真空中或气体中电荷（载流子）流动 所形成。 可见，传导电流和运流电流都是由真实存在的电 荷（正电荷或负电荷，统称为载流子）运动产生。 除了这两种电流外还有一种电流称为位移电流。它 是变化的电场产生的，它不表示任何带电质点的运 动，它遵从麦克斯韦方程组。
S
（3-1-3）
2018/10/12
4
第三章
J 与运动电荷的体密度
v
及运动速度
v 的关系：
在电荷流动区域某点，取一垂直于电流 流动方向的面元 dS ，则dt 时间内，穿过 dS 的电荷量为：
dq v vdt ds
dq
故
J v v
dI J dt v v ds ds
dt 时间内，流过细导线的电荷量为：
I vl v
dq vl vdt
2018/10/12
dq I vl v dt
8
第三章
3.2
欧姆定律 源外
U R U IR I
一、 欧姆定律：
静电场中：导体内部电场处处为零。 恒定电场中：导体内有恒定的电流，因而， 导体内的电场为恒定电场。
一段长为 l，横截面为S 的导线消耗的功率为：
P E JdV E dl J dS UI
V l s
（3-2-8）
此即为我们熟知的焦耳定律。
s
l
2018/10/12 18
第三章
3.3
恒定电场的基本方程
I
一、电流连续性方程： q 1、积分形式： I t
3、含源欧姆定律的微分形式：
若导体内要维持一恒 定的电场（产生一定的 电流），则必须有电源
2018/10/12
I
A E E B
R
12
第三章
存在，在电源内部，正电荷是由负极向正极流动 的，即逆静电场方向运动，那么，电源内部必存 在另一种力——非静电力（非电场力）。 仿静电场的定义：将非静电力与电荷的 比值定义为非库仑场，以E 表示。 只存在于 E 电源内部。但电源内部同时也存在库仑场 E （恒定电场）。电源外部则只有库仑场E 。 E 与 E 方向相反。 I
故恒定电场无旋： 即
2018/10/12
E 0
c
E dl 0
积分 （3-3-5）
微分 （3-3-6）
13
22
第三章
3、恒定电场也可用电位梯度表示：
E
（3-3-7）
4、恒定电场满足拉普拉斯方程（均匀线性各向同性） 均匀线性各向同性媒质中
2 即 E ( ) 0 2 ∴ （3-3-8） 0
2018/10/12 1
第三章
3.1 电流密度
一、电流：
单位时间内通过某一横截面的电量。若 用数学式描述，则
q I lim t 0 t
（3-1-1）
电流是标量（正、负）。反映的是某一横截面 电荷的流动情况。若要研究横截面内某一点的电荷 的流动情况，则必须引入以下几个矢量：
2018/10/12 2
则
A J ( E E) （3-2-3）E E
含源欧姆定律的微分形式为：
源内： 为电源内部导电物质的 电导率；源外： 为导体的电导率。
B
R
13
2018/10/12
第三章
4、含源欧姆定律的积分形式：
∵ 即
J ( E E)
J E E
c
21
14
第三章
令
E dl
c
电源电动势
物理意义：非静电力将单位正电荷从负极 经源内移至正极时所做的功。
而
c
J
dl
IR （3-2-5）
1 I dl dl I IR S S c c
I
A E E B
R
2018/10/12 15
第三章
二、焦耳定律：
宏观上
导体在电场作用下， 导电粒子产生定向 漂移运动。在微观上，则表现为导电粒子在做定 向运动时，还会不断地与晶体点阵上的原子发生 碰撞，结果，导体温度升高。电场能 热能 1、焦耳定律的微分形式： 导电粒子损失动能
dA F dl dqE vdt v dVE vdt
v
的关系：
vs vdt dl dI dt Js vs v dl dl dldt （3-1-7） J s vsv
2018/10/12 7
dq
第三章
3、线电流I：
S 0
若电荷沿细导线或空间一线形区域流动， 则可将此电流视为沿截面为零的几何线流动 的线电流。 若运动电荷的线密度为 vl ，其运动速度为 v 。则
2018/10/12
10
第三章
2、微分形式：
实验证明：
其中 ：
1
J E
源外
（3-2-2）
在均匀、线性、各向同性媒质中，
电导率：[西（门子）每米]S/m
为一常数。
电导率为无限大的导体称为理想导电体。显然，在理 想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见， 在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会 产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任 何能量总是有限的。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为 理想介质。
2018/10/12 11
第三章
媒 质 银 紫铜 金
电导率(S/m)
媒 质 海水 淡水 干土
电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
10 3
10 5
铝
黄铜
变压器油
玻璃
10 11
10 12
1.57 10 7
铁
10 7
橡胶
10 15
2018/10/12
9
第三章
1、欧姆定律的积分形式：
U I R
1
l
P
2
s
2
（3-2-1）
其中
I J dS
S
源外
U 1 2 E dl
1面 s 也有限的导体的导 电规律。若想知道导体中某点的导电情况， 则引入其微分形式的欧姆定律：
0e
t
0e
t
（3-3-10）
其中
驰豫时间。
1 秒后， 将减至初始值的 e
它说明经过
对大多数导体，
0,
19
很短。
例如：铜
10 s
它说明：对均匀导体而言，接入电源后， 瞬间就能使导体进入恒定状态，最终 0
2018/10/12 26
2018/10/12 16
设电流是由体密度为 v 的运动电荷以速 度 v 定向运动形成，则 dt 时间内，电场力 对体积元 dV 中的电荷 dq v dV 所做的功为
第三章
即
dA E vvdVdt E JdVdt
dA
则电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为：
vdt
（3-1-4）
2018/10/12
5
第三章
2、面电流密度矢量 J s
：
当电流在厚度可以忽略的薄层中流动时，则 可以近似认为电流 是在一厚度为零的曲面上流动， 从而引入面电流及面电流密度矢量。
定义： J s 的大小为垂直于电流方向的单位长度上
流过的电流，方向为电流流动方向
即
I dI J s lim n n （3-1-5） l 0 l dl
n
2018/10/12
6
第三章
流过任意线段
l
I J s dl
l 的电流I：
（3-1-6）
在电荷流动区域某点，取一垂直于电流 流动方向的线元 dl ，则dt 时间内，穿过 dl 的电荷量为： dq vs vdt dl
J S与运动电荷的面密度
vs 及速度
I
c
A E E B
( E E) dl
c
J
dl
R
( E E ) d l E d l E d l
∵
2018/10/12
E 是由分布恒定的电荷产生的，与静电场一样。
c
c
c
E dl 0 无旋
, 均与坐标位置有关。
)
恒定电场： J
( ) J J ( )
2018/10/12
0 J ( )
是在媒质中的电流进入恒定状态之前堆积的。
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